北师大版高中数学选修2-2同步练测：第三章3.1函数的单调性与极值(含解析).docx

3.1 函数的单调性与极值（选修2-2北师大版）
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满分 实际得分
90分钟
100分
一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1. 给出下列四个函数：
①f (x )=x +1,②f (x )= ,③f (x )=,④f (x )=sin x , 其中在（0，+∞）上是增函数的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.函数的极值点个数 为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．由a 确定 3.已知是R 上的单调增函数,则b 的取值范围是( )
A. {b|b-1或b2}
B. {b|b-1或b2}
C. {b|-2b1}
D. {b|-1b2}
4. 函数f (x )= 的单调递减区间是（ ） A.［e,+∞） B.［1,+∞） C.［0,e ） D.［0,1］
5.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )
A ．9
B ．－9
C ．1
D ．－1 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 6.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿. 7．函数3
2x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________. 8.如果函数3
2
2
()f x x ax bx a =+++在
1=x 时
有极值10，那么a=_____，b=______.
9.已知函数f(x)＝，其导函数y ＝
的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．
①当x ＝3
2
时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．
三、解答题（本题共3小题,共55分）
10.（15分）如果函数f(x)= (a ＞0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求函数f(x)的解析式.
11.（20分）已知函数f (x )=-3-9x +11.
(1)写出函数f (x )的递减区间；
（2）讨论函数f (x )是否有极大值或极小值，如有，试写出极值. .
12.（20分）若函数y =f （x ）在x =处取得极大值或
极小值，则称为函数y =f （x ）的极值点.已知a ，
b 是实数，1和-1是函数f （x ）=+bx 的两个极值
点.
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数g （x ）的导函数g ′（x ）=f （x ）+2， 求g （x ）的极值点；
（3）设h （x ）=f （f （x ））-c ，其中c ∈［-2，2］，求函数y =h （x ）的零点个数.
3.1 函数的单调性与极值答题纸
得分：
一、选择题
二、填空题
6. 7. 8. 9.
三、解答题
10.
11.
12.
3.1 函数的单调性与极值 答案
一、选择题
1. C 解析：对各函数求导后可得①③为(0,+∞)上的增函数，②在(0,+∞)上是减函数，④在(0,+∞)上不单调.
2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.
3.D 解析：因为是R 上的单调增函数， 所以对x ∈R 恒成立， 即解得.
4. A 解析：由f ′(x )= ≤0得1-ln x ≤0,解得x ≥e.
5.C 解析：，由，得的两个解，则＝1. 二、填空题
6.(] 解析：当时，f(x)是减函数. 而 7．2
(0,)
3
解析：因为， 令得
当变化时，的变化情况如下表：
x () 0 () —
0 + 0 —
y
所以函数的单调增区间为单调减区间为
8．4 －11 解析：22
()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a ''=++=++==+++=由已知得，
联立2239a b a a b +=-⎧⎨++=⎩
，，解得34311.a a b b =-=⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩，，
或当a =-3，b =3时，1x =不是极值点. 当时满足题意.
9.① 解析：从图象上可以看到：当x ∈(,1)时，；当x ∈(1,2)时，；当x ∈(2，＋∞)时，.所以f(x)有两个极
值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确． 三、解答题 10. 解：. 令,即,即.
因为x =±1是极值点,所以,即5a=3b,所以. 当x 变化时, 的变化情况如下表： x
(-∞,-1）
-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1，+∞)
+
0 —
0 —
0 +
极大值
无极值
极小值
由上表可知，当时，有极大值；当时，有极小值， 所以解得所以
11.解：,令f ′(x )=0，得.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：
x (-∞,-1-1 (-1,3) 3
(3,+∞)
（1）由表可得函数的递减区间
为（-1，3）.
（2）由表可得，当x=-1时，
函数有极大值f(-1)=16;当x=3
时，函数有极小值f(3)=-16.
12.解：（1）由题设知f′（x）=3+2ax+b，且f′（-1）=3-2a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3.
（2）由（1）知f（x）=-3x.因为f（x）+2=（x+2），
所以g′（x）=0 的根为，
于是函数g（x）的极值点只可能是1或-2.
当x<-2 时，g′（x）<0;当-2<x<1时，g′（x）>0，
故-2是g（x）的极值点.当-2<x<1 或x>1 时，g′（x）>0，
故1不是g（x）的极值点.所以g（x）的极值点为-2.
（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈［-2，2］.
当|d|=2时，由（2）可知，f（x）=-2 的两个不同的根为1和-2，
注意到f（x）是奇函数，所以f（x）=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2 时，因为f（-1）-d=f（2）-d=2-d>0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d<0，
所以-2，-1，1，2 都不是f（x）=d的根.
由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，
此时f（x）=d无实根.同理，f（x）=d在（-∞，-2)上无实根.
②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.
又f（1）-d<0，f（2）-d>0，y=f（x）-d的图象不间断，
所以f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.
同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.
③当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，
故f（x）是单调减函数.又f（-1）-d>0，f（1）-d<0，y=f（x）-d的图象不间断，
所以f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.
由上可知：当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根满足||=1，||=2；
当|d|<2时，f（x）=d有三个不同的根满足| |<2，i=3，4，5.
现考虑函数y=h（x）的零点.
（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根满足||=1，||=2，而有三个不同的根，有两个不同的根，故y=h （x）有5个零点.
（ⅱ）当|c|<2时，f（t）=c有三个不同的根满足||<2，i=3，4，5，而（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.
综上可知，当|c|=2 时，函数y=h（x）有5个零点;当|c|<2时，函数y=h（x）有9个零点.。