人教B版高中数学选修2-2第三章2.2《复数代数形式的乘除运算》ppt课件
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(a bi)(c di) ac bci adi bdi2
(ac bd) (ad bc)i
复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,
并且把实部合并.
2.乘法运算律：
计算 : (1) (1 4i) (7 2i) 15 26i (2) (7 2i) (1 4i) 15 26i
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
4.复数的加法运算满足结合律:
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
问题引入:通过计算,
(a bx)(c dx) ac (ad bc)x bdx2
类比复数是否也可以相乘,结果又如何?
1、复数乘法的法则
2 i (2 i)(2 i)
5
4. 因 为 z 1i ， 所 以 z 1 i , 所 以
z2
2
z
(1
i)2
(1
i)2
2i
2i
0
.
5.
10i 3i
10i(3 i) (3 i)(3 i)
30i 10i2 9 i2
10 30i 10
1 3i
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 z2 是一个怎样的数?
答案:
(1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称.
(2)它们的乘积为实数,并且
zz
(a bi) (a bi) a2
b2
z2
2
z
练习:说出下列复数的共轭复数
3 2i,4 3i,5 i,5 2i,7,2i
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
A. b 2, c 3
B. b 2,c 1
C. b 2, c 1 D. b 2, c 3
1.复数乘法运算律及性质. 2.复数除法运算律及性质. 3.共轭复数. 4.思想：类比的思想方法.
必做题:
1.复数 z 满足 (z i)i 2 i ,则 z
在讲述复数代数形式的乘除法运算应用时，采用例
题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握复数的
乘法运算；通过例2和变式2巩固掌握复数的除法运算；
通过例3和变式3巩固掌握复数方程的应用。采用一讲一
练针对性讲解的方式，重点理解复数代数形式的乘除法
运算在解题中的应用。
复数 z1=a bi, z2 c di (a,b, c, d R) 1.复数z1和z2和的定义 :
各式分解成一次因式的积:
(1) x2 4
(2)
4
x
b4
1.ab 0 a 0 或 b 0 ，而复数 a b a bi 是纯虚数 i
a 0且b 0,ab 0 a b 是纯虚数,故选 B . i
2.由 a bi 11 7i 得
1 2i
3 2i,4 3i,5 i,5 2i,7,2i
复数的除法法则
类比 1 2 (1 2)(2 3) ，写出复数的除法法则 2 3 (2 3)(2 3)
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简分后 母有
写成代数形式(分母实数化).即
理化
(3) [(3 2i) (4 3i)] (5 i) 47 79i (4) (3 2i) [(4 3i) (5 i)] 47 79i
观察上述计算,试验证复数的乘法运算是 否满足交换、结合、分配律?
对任何z1, z2 , z3 C有
(1)交换律: z1 z2 z2 z1
通过观察比较上面两个复数有什么特点?它们 相乘的结果有什么不同? 共轭复数：当两个复的实部相等，虚部互为反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数,
通常记复数z的轭复数为 z
若a,b, c, d R，复数a bi与a bi叫做互为共轭复数， 当b 0时，它们叫做共轭虚数当时.
若 z1, z2 是共轭复数，那么
a
bi
11 7i 1 2i
=
11 7i1 2i 1 2i1 2i
=
11
15i 1 4
14
=5
3i
,
所以 a =5，b=3, a b=8.
3.(1) x2 4 (x 2i)(x 2i) .
(2) x4 b4 (x b)(x b)(x bi)(x bi) .
(2)结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
(3)分配率: z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
3.共轭复数：
计算 : (1) (1 4i) (1 4i) (1 4i) (1 4i)=16
(2) (3 2i)2 (3 2i)2 5 6i
zm zn zmn , zm n zmn , z1 z2 n z1n z2n
③对于复数 z1, z2 ,只有在整数指数幂的范围内才 成立,由此得几个常用的结论:
i2 1,i3 i,i4 1,i4 i,(1 i)2 2i
2.共轭复数: a bi与a bi叫做互为共轭复数.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
23
谢谢欣赏！
2019/8/10
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24
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
例2.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
计算 : (1)1 i 1i
(2) 1 i
答案 : (1)1 i i 1i
(2)1 i i
例3.计算
已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根， 求实数p, q的值.
解:已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根 可知，方程的另一个根也x是1 复3+数2根i,x，2 且3与 2复i 数
2i 3互为共轭复数，即
由韦达定理可得:
p
x1 x2 3+2i 3 2i 6 2 q x1 x2 =(3+2i) (3 2i) 13 2
p 12,q 26
若1+ 2i是关于x的实系数方程
x2 bx c 0的一个复数根，则（D）
3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
复数代数形式的乘除运算
内容：掌握复数的代数形式的乘、除运算、运算律 及共轭复数的概念. 重点:复数代数形式的乘除法运算法则,运算 律及共轭复数的概念. 难点:复数的乘除运算及共轭复数的概念．
应用: 1、复数的乘法运算 2、复数的除法运算
3、复数方程的应用
本课主要学习复数代数形式的乘除运算。在复习 了复数加减法运算法则之后，类比多项式的乘法引入新 课，能够让学生在已有的知识与方法基础上理解和掌握 复数代数形式的乘除运算,接着讲述乘法运算律和共轭 复数。然后讲述复数的除法法则。另外,本节涉及的题 型基础且全面,适合大部分学生,例题与练习和作业针对 性较强,使本堂课知识与技能得到很好的落实.
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc c2运算律： ①复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加 法的分配律 ②实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中 仍然成立,即对任何 z1, z2 C及m, n N
(1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称.
(2)它们的乘积为实数,并且
z z (a bi) (a bi) a2 b2
z2
2
z
两个共轭复数的乘积相当于实数里的平方差公式: z z (a bi) (a bi) a2 (bi)2 a2 b2
z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
2.复数z1和z2差的定义 :
z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
3.复数的加法运算满足交换律: z1 z2 z2 z1
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
(3)(1 2i)(3 4i)(2 i)
(11 2i)(2 i)
20 15i
计算: (1)( 3 2i) ( 3 2i) (2)(1 i)2
答案: (1)( 3 2i) ( 3 2i) 5 (2)(1 i)2 2i
,实部为
1,虚部为 3 ,对应复平面上的点为 (1,3) .
选做题:
1.设 a,b R , i 是虚数单位,则“ ab 0 ”是“复数 a b 为 i
纯虚数”的（ ）条件
2.设 a ，b R , a bi 11 7i（i 为虚数单位），则 a b 的值
1 2i
为
．
3.设 a ，b R ,利用公式 (a bi) (a bi) a2 b2 ,把下列
.
2.复数 z 3 i 的共轭复数是
.
2i
3. 若 复 数 z 满 足 z(2-i) 11 7i ( i 为 虚 数 单 位 ), 则 z
为
.
4.若复数 z 1 i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数,则
z2
2
z
的虚部为
.
5. 在 复 平 面 内 , 复 数 10i 对 应 的 点 的 坐 标
3i
为
.
1. (z i)i 2 i z i 2 i 1 i . i
2. z 3 i (3 i)(2 i) 5 5i 1 i ,所以其共轭复 2 i (2 i)(2 i) 5
数为 z 1 i .
3. z 11 7i (11 7i)(2 i) 15 25i 3 5i .
(ac bd) (ad bc)i
复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,
并且把实部合并.
2.乘法运算律：
计算 : (1) (1 4i) (7 2i) 15 26i (2) (7 2i) (1 4i) 15 26i
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
4.复数的加法运算满足结合律:
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
问题引入:通过计算,
(a bx)(c dx) ac (ad bc)x bdx2
类比复数是否也可以相乘,结果又如何?
1、复数乘法的法则
2 i (2 i)(2 i)
5
4. 因 为 z 1i ， 所 以 z 1 i , 所 以
z2
2
z
(1
i)2
(1
i)2
2i
2i
0
.
5.
10i 3i
10i(3 i) (3 i)(3 i)
30i 10i2 9 i2
10 30i 10
1 3i
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 z2 是一个怎样的数?
答案:
(1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称.
(2)它们的乘积为实数,并且
zz
(a bi) (a bi) a2
b2
z2
2
z
练习:说出下列复数的共轭复数
3 2i,4 3i,5 i,5 2i,7,2i
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
A. b 2, c 3
B. b 2,c 1
C. b 2, c 1 D. b 2, c 3
1.复数乘法运算律及性质. 2.复数除法运算律及性质. 3.共轭复数. 4.思想：类比的思想方法.
必做题:
1.复数 z 满足 (z i)i 2 i ,则 z
在讲述复数代数形式的乘除法运算应用时，采用例
题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握复数的
乘法运算；通过例2和变式2巩固掌握复数的除法运算；
通过例3和变式3巩固掌握复数方程的应用。采用一讲一
练针对性讲解的方式，重点理解复数代数形式的乘除法
运算在解题中的应用。
复数 z1=a bi, z2 c di (a,b, c, d R) 1.复数z1和z2和的定义 :
各式分解成一次因式的积:
(1) x2 4
(2)
4
x
b4
1.ab 0 a 0 或 b 0 ，而复数 a b a bi 是纯虚数 i
a 0且b 0,ab 0 a b 是纯虚数,故选 B . i
2.由 a bi 11 7i 得
1 2i
3 2i,4 3i,5 i,5 2i,7,2i
复数的除法法则
类比 1 2 (1 2)(2 3) ，写出复数的除法法则 2 3 (2 3)(2 3)
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简分后 母有
写成代数形式(分母实数化).即
理化
(3) [(3 2i) (4 3i)] (5 i) 47 79i (4) (3 2i) [(4 3i) (5 i)] 47 79i
观察上述计算,试验证复数的乘法运算是 否满足交换、结合、分配律?
对任何z1, z2 , z3 C有
(1)交换律: z1 z2 z2 z1
通过观察比较上面两个复数有什么特点?它们 相乘的结果有什么不同? 共轭复数：当两个复的实部相等，虚部互为反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数,
通常记复数z的轭复数为 z
若a,b, c, d R，复数a bi与a bi叫做互为共轭复数， 当b 0时，它们叫做共轭虚数当时.
若 z1, z2 是共轭复数，那么
a
bi
11 7i 1 2i
=
11 7i1 2i 1 2i1 2i
=
11
15i 1 4
14
=5
3i
,
所以 a =5，b=3, a b=8.
3.(1) x2 4 (x 2i)(x 2i) .
(2) x4 b4 (x b)(x b)(x bi)(x bi) .
(2)结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
(3)分配率: z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
3.共轭复数：
计算 : (1) (1 4i) (1 4i) (1 4i) (1 4i)=16
(2) (3 2i)2 (3 2i)2 5 6i
zm zn zmn , zm n zmn , z1 z2 n z1n z2n
③对于复数 z1, z2 ,只有在整数指数幂的范围内才 成立,由此得几个常用的结论:
i2 1,i3 i,i4 1,i4 i,(1 i)2 2i
2.共轭复数: a bi与a bi叫做互为共轭复数.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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谢谢欣赏！
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
例2.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
计算 : (1)1 i 1i
(2) 1 i
答案 : (1)1 i i 1i
(2)1 i i
例3.计算
已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根， 求实数p, q的值.
解:已知2i 3是关于x的方程2x2 px q 0的一个根 可知，方程的另一个根也x是1 复3+数2根i,x，2 且3与 2复i 数
2i 3互为共轭复数，即
由韦达定理可得:
p
x1 x2 3+2i 3 2i 6 2 q x1 x2 =(3+2i) (3 2i) 13 2
p 12,q 26
若1+ 2i是关于x的实系数方程
x2 bx c 0的一个复数根，则（D）
3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
复数代数形式的乘除运算
内容：掌握复数的代数形式的乘、除运算、运算律 及共轭复数的概念. 重点:复数代数形式的乘除法运算法则,运算 律及共轭复数的概念. 难点:复数的乘除运算及共轭复数的概念．
应用: 1、复数的乘法运算 2、复数的除法运算
3、复数方程的应用
本课主要学习复数代数形式的乘除运算。在复习 了复数加减法运算法则之后，类比多项式的乘法引入新 课，能够让学生在已有的知识与方法基础上理解和掌握 复数代数形式的乘除运算,接着讲述乘法运算律和共轭 复数。然后讲述复数的除法法则。另外,本节涉及的题 型基础且全面,适合大部分学生,例题与练习和作业针对 性较强,使本堂课知识与技能得到很好的落实.
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd) (bc c2运算律： ①复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加 法的分配律 ②实数集R中整数指数幂的运算律,在复数集C中 仍然成立,即对任何 z1, z2 C及m, n N
(1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称.
(2)它们的乘积为实数,并且
z z (a bi) (a bi) a2 b2
z2
2
z
两个共轭复数的乘积相当于实数里的平方差公式: z z (a bi) (a bi) a2 (bi)2 a2 b2
z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
2.复数z1和z2差的定义 :
z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
3.复数的加法运算满足交换律: z1 z2 z2 z1
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
(3)(1 2i)(3 4i)(2 i)
(11 2i)(2 i)
20 15i
计算: (1)( 3 2i) ( 3 2i) (2)(1 i)2
答案: (1)( 3 2i) ( 3 2i) 5 (2)(1 i)2 2i
,实部为
1,虚部为 3 ,对应复平面上的点为 (1,3) .
选做题:
1.设 a,b R , i 是虚数单位,则“ ab 0 ”是“复数 a b 为 i
纯虚数”的（ ）条件
2.设 a ，b R , a bi 11 7i（i 为虚数单位），则 a b 的值
1 2i
为
．
3.设 a ，b R ,利用公式 (a bi) (a bi) a2 b2 ,把下列
.
2.复数 z 3 i 的共轭复数是
.
2i
3. 若 复 数 z 满 足 z(2-i) 11 7i ( i 为 虚 数 单 位 ), 则 z
为
.
4.若复数 z 1 i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数,则
z2
2
z
的虚部为
.
5. 在 复 平 面 内 , 复 数 10i 对 应 的 点 的 坐 标
3i
为
.
1. (z i)i 2 i z i 2 i 1 i . i
2. z 3 i (3 i)(2 i) 5 5i 1 i ,所以其共轭复 2 i (2 i)(2 i) 5
数为 z 1 i .
3. z 11 7i (11 7i)(2 i) 15 25i 3 5i .