人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第1讲实数

第一部分教材知识梳理·系统复习
第一单元数与式
第1讲实数
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()
A．48 B．60
C．76 D．80
【答案】C
【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴AB=2222
6810
AE BE
+=+=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-S Rt△ABE=102-1
68 2
⨯⨯
=100-24
=76.
故选C.
考点：勾股定理.
2．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）
A．1
2
B．
1
4
C．
1
6
D．
1
12
【答案】C
【解析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解. 【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：
21 126
=．
故答案为C．【点睛】
本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
3．已知
=2
{
=1
x
y
是二元一次方程组
+=8
{
=1
mx ny
nx my
-
的解，则2m n
-的算术平方根为（）
A．±2 B．C．2 D．4
【答案】C
【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵
=2
{
=1
x
y
是二元一次方程组
+=8
{
=1
mx ny
nx my
-
的解，∴
2+=8
{
2=1
m n
n m
-
，解得
=3
{
=2
m
n
．
∴2=232=4=2
m n
-⨯-．即2m n
-的算术平方根为1．故选C．
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE
【答案】B
【解析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误,
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 5．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于
1
2
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）
A ．68︒
B ．112︒
C ．124︒
D ．146︒
【答案】B
【解析】根据题意可知DE 是AC 的垂直平分线，CD=DA ．即可得到∠DCE=∠A ，而∠A 和∠B 互余可求出∠A ，由三角形外角性质即可求出∠CDA 的度数. 【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴DA=DC ， ∴∠DCE=∠A ，
∵∠ACB=90°，∠B=34°， ∴∠A=56°，
∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°， 故选B ． 【点睛】
本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 6．已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）都在反比例函数y=2
x
-的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是（ ） A ．m+n ＜0 B ．m+n ＞0
C ．m ＜n
D ．m ＞n
【答案】D
【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】∵y=−
2
x
的k=-2＜1，图象位于二四象限，a ＜1， ∴P （a ，m ）在第二象限， ∴m ＞1； ∵b ＞1，
∴Q （b ，n ）在第四象限， ∴n ＜1． ∴n ＜1＜m ， 即m ＞n ， 故D 正确； 故选D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k ＜1时，图象位于二四象限是解题关键． 7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．600
50x -＝
450x
B ．600
50x +＝
450x
C ．
600x ＝450
50x + D ．
600x
＝450
50x - 【答案】B
【解析】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．
【详解】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：600450
50x x
=+． 故选B ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（ ） A ．0.86×104 B ．8.6×102
C ．8.6×103
D ．86×102
【答案】C
【解析】科学记数法就是将一个数字表示成a×
10的n 次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂． 【详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×
103
故选C．
【点睛】
用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
9．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5
【答案】B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；
故选B．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为42，则a的值是（）
A．4 B．32C．2D．33
【答案】B
【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，
∴AE=BE=1
2
AB=
1
2
×42=22，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=22
3-22=1
（），
∴PD=2PE=2，
∴a=3+2．
故选B．
考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．
【答案】4π
【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
【详解】解:∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A ，∠BOD=∠BCD ， ∴2∠A+∠A=180°， 解得：∠A=60°， ∴∠BOD=120°， ∴BD 的长=
4181206
ππ=⨯，
故答案为4π. 【点睛】
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A 的度数是解题的关键.
12．如图，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合连接CD ，则∠BDC 的度数为_____度．
【答案】1
【解析】根据△EBD 由△ABC 旋转而成，得到△ABC ≌△EBD ，则BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出15BDC ∠=︒. 【详解】解：∵△EBD 由△ABC 旋转而成， ∴△ABC ≌△EBD ，
∴BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，
∴∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°， ∴()1
180150152
BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒； 故答案为：1． 【点睛】
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
13．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____． 【答案】20
【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】设原来红球个数为x个，
则有
10
10
x
=
10
30
，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.
14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
【答案】1
【解析】分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠COD=1°，
故答案为：1．
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．
【答案】1
【解析】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，
设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，
∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．
故答案为1．
16．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是
【答案】k≥，且k≠1
【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，
∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥1，
解得：k≥-，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠1．
考点：根的判别式．
17．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为_________________________．
【答案】（32
，2）． 【解析】解：如图，当点B 与点D 重合时，△BEF 面积最大，
设BE=DE=x ，则AE=4-x ，
在RT △ABE 中，∵EA 2+AB 2=BE 2，
∴（4-x ）2+22=x 2，
∴x=52， ∴BE=ED=52
，AE=AD-ED=32， ∴点E 坐标（
32，2）． 故答案为：（
32
，2）． 【点睛】 本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
18．因式分解：34a 16a -=______．
【答案】()()4a a 2a 2+-
【解析】解：原式=4a （a 2﹣4）=4a （a+2）（a ﹣2）．故答案为4a （a+2）（a ﹣2）．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．求此抛物线的表达式；如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积．
【答案】（1）y ＝－12
(x －3)2＋5（2）5
【解析】（1）设顶点式y=a （x-3）2+5，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式； （2）利用抛物线的对称性得到B （5，3），再确定出C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，
将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-， ∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2
y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3，
∴B(5，3)．
令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2
C ，， ∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=
⨯-⨯-= ⎪⎝
⎭ 【点睛】 考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.
20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tanB 12
=，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．求证：AB 为⊙C 的切线．求图中阴影部分的面积．
【答案】 (1)证明见解析；(2)1-π.
【解析】（1）解直角三角形求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形面积公式求出CF ，根据切线的判定得出即可；
（2）分别求出△ACB 的面积和扇形DCE 的面积，即可得出答案．
【详解】（1）过C 作CF ⊥AB 于F ．
∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=tanB 12AC BC =
=，∴BC ＝5AB 22AC BC =+=1．
∵△ACB 的面积S 1122AB CF AC BC =
⨯⨯=⨯⨯，∴CF 525⨯==2，∴CF 为⊙C 的半径． ∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；
（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE
2
1902
525
2360
π⨯
=⨯⨯-=1﹣π．
【点睛】
本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．
21．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．
判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；若⊙O的半径为4，
AF=3，求AC的长．
【答案】解：（1）AF与圆O的相切．理由为：
如图，连接OC，
∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC．
∴∠OCP=90°．
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∴∠AOF=∠COF．
∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS）．∴∠OAF=∠OCF=90°．
∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切．
（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF．
∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．
∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245
． ∴AC=2AE=
． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．
试题解析：（1）连接OC ，如图所示：
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF ∥BC ，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF ⊥AC ，
∵OC=OA ，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF 和△OCF 中，
{32OA OC
OF OF
=∠=∠=，
∴△OAF ≌△OCF （SAS ），
∴∠OAF=∠OCF ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA ⊥OA ，
∴AF 是⊙O 的切线；
（2）∵⊙O 的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=222234OF OA +=+=1
∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，
∴AC=2AE ，△OAF 的面积=
12AF•OA=12
OF•AE ， ∴3×4=1×AE ， 解得：AE=
125
， ∴AC=2AE=245． 考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．
22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y （件)与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；求每天的销售利润W （元)与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）()401016y x x =-+≤≤ （2）()2
25225x --+，16x =，144元 【解析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；
（2）根据“总利润=每件的利润⨯销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，
将()10,30、()16,24代入，得：10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩
，
所以y 与x 的函数解析式为()y x 4010x 16=-+；
（2）根据题意知，()()()2
W x 10y x 10x 40x 50x 400=-=--+=-+- ()2
x 25225=--+， a 10=-<，
∴当x 25<时，W 随x 的增大而增大，
10x 16，
∴当x 16=时，W 取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
23．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A 到地面的铅直高度AC 长度为15米，原坡面AB 的倾斜角∠ABC 为45°，原坡脚B 与场馆中央的运动区边界的安全距离BD 为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E 到地面的铅直高度EG 长度保持15米不变，使A 、E 两点间距离为2米，使改造后坡面EF 的倾斜角∠EFG 为37°．若学校要求新坡脚F 需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD 至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34
）
【答案】不满足安全要求,理由见解析．
【解析】在Rt △ABC 中，由∠ACB=90°，AC=15m ，∠ABC=45°可求得BC=15m ；在Rt △EGD 中，由∠EGD=90°，EG=15m ，∠EFG=37°，可解得GF=20m ；通过已知条件可证得四边形EACG 是矩形，从而可得GC=AE=2m ；这样可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“设计方案不满足安全要求”.
【详解】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在Rt △ABC 中，AC=15m ，∠ABC=45°，
∴BC=0
tan45AC =15m ． 在Rt △EFG 中，EG=15m ，∠EFG=37°，
∴GF=0
tan37EG ≈1534
=20m ． ∵EG=AC=15m ，AC ⊥BC ，EG ⊥BC ，
∴EG ∥AC ，
∴四边形EGCA 是矩形，
∴GC=EA=2m ，
∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5.
∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．
24．为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；2017年该市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年该市能否完成计划目标.
【答案】（1）这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，2017年该市能完成计划目标．
【解析】试题分析：（1）设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率x ，根据2014年的绿色建筑面积约为700万平方米和2016年达到了1183万平方米，列出方程求解即可；
（2）根据（1）求出的增长率问题，先求出预测2017年绿色建筑面积，再与计划推行绿色建筑面积达到1500万平方米进行比较，即可得出答案．
试题解析：（1）设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x ，
根据题意得：700（1+x ）2=1183，
解得：x 1=0.3=30%，x 2=﹣2.3（舍去），
答：这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为30%；
（2）根据题意得：1183×（1+30%）=1537.9（万平方米），
∵1537.9＞1500，
∴2017年该市能完成计划目标．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件和增长率问题的数量关系，列出方程进行求解．
25．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
求A，B两种品牌的足球的单价．求该校购买20个A品牌的足球和2个B
品牌的足球的总费用．
【答案】（1）一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；（2）1．
【解析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；
（2）把（1）中的数据代入求值即可．
【详解】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，依题意得：
23380 {
42360
x y
x y
+=
+=
，
解得：
40
{
100 x
y
=
=
．
答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×40+2×100=1（元）．
答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1元．
考点：二元一次方程组的应用．
26．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．
【答案】11
【解析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0，
解得：m=1．
当m=1时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=1＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11．
【点睛】
考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数
y kx b =+的图象可能是:
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,
可得()4410kb =-+＞，
解得0kb ＜，即k b 、异号，
当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，
当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B.
2．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A ．（﹣2，1）
B ．（﹣8，4）
C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）
D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．
【详解】∵点A （-4，2），B （-6，-4），以原点O 为位似中心，相似比为
12
，把△ABO 缩小， ∴点A 的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故选D ．
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为
位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
3．下列四个多项式，能因式分解的是()
A．a－1 B．a2＋1
C．x2－4y D．x2－6x＋9
【答案】D
【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．
试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．
故选D．
考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．
4．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是()
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】D
【解析】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D．原来数据的方差=
222 (12)2(22)(32)
4
-+⨯-+-
=
1
2
，
添加数字2后的方差=
222 (12)3(22)(32)
5
-+⨯-+-
=
2
5
，
故方差发生了变化．
故选D．
5．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【答案】D
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，
在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23
≈0.67>0.16，故A 选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327
≈0.48>0.16，故B 选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12
=0.5>0.16，故C 选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是
16≈0.16，故D 选项符合题意， 故选D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n ），则下列结论：①4a+2b ＜0； ②﹣1≤a≤23
； ③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-
3c ，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23
，结论②正确； ③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ），
∴-2b a
=1， ∴b=-2a ，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-3
c ． 又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-23
，结论②正确； ③∵a ＜0，顶点坐标为（1，n ），
∴n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，
∴对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ），
∴抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，
又∵a ＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
7．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A ．五边形
B ．六边形
C ．七边形
D ．八边形
【答案】D
【解析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】设多边形的边数是n ，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
8．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．
A ．25
B ．253
C ．10033
D ．25253+
【答案】B 【解析】解：过点B 作BE ⊥AD 于E ．
设BE=x ．
∵∠BCD=60°，tan ∠BCE BE CE
=， 3CE x ∴=， 在直角△ABE 中，3x ，AC=50米， 3350x x =， 解得253x =即小岛B 到公路l 的距离为253，
故选B.
9．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）
A ．4.5m
B ．4.8m
C ．5.5m
D ．6 m
【答案】D 【解析】根据题意得出△ABE ∽△CDE ，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：由题意可得：AE ＝2m ，CE ＝0.5m ，DC ＝1.5m ，
∵△ABC ∽△EDC ， ∴， 即，
解得：AB ＝6，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE ∽△CDE 是解答此题的关键． 10．已知关于x 的方程()2
kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A ．当k 0=时，方程无解
B ．当k 1=时，方程有一个实数解
C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解
D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解．
当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：
∵()()()22
1k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+，
∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由___________个这样的正方体组成.
【答案】1
【解析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【详解】易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有1个正方体． 故答案为1．
12．如图，CB=CA ，∠ACB=90°，点D 在边BC 上(与B 、C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC=FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG =1：2；③∠ABC=∠ABF ；④AD 2=FQ•AC ，其中正确的结论的个数是______．
【答案】①②③④ ．
【解析】由正方形的性质得出∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，证出∠CAD ＝∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC ＝FG ，①正确；
证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB ＝12FB•FG ＝12
S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；
证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出④正确．
【详解】解：∵四边形ADEF 为正方形，
∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，
∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°，
∵FG ⊥CA ，。