湖南省长沙市雅礼中学第二次模拟考试高三(文科)数学试卷

湖南省长沙市雅礼中学2008届高三第二次模拟考试
数学（文史类）
命 题：雅礼中学高三数学备课组 程金辉 考试时间：2008年5月21日星期三下午3：00
本试卷满分150分.考试时量120分钟.
参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率是()(1)k k n k
n n
P k C P P -=- 球的体积公式 34
3
V R π=
,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A
B 为 （ ）
A ． {1}-
B ．{0}
C ．{0,1}-
D ．{1,1}-
2．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 （ ） A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 48
3．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）
4．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于 （ ） Ａ {}|01x x << Ｂ {}|01x x <≤
Ｃ {}|12x x ≤<
Ｄ {}|23x x ≤<
5. 在10103cos ,21tan ,==∆B A ABC 中，则tan C 的值是 （ ）
A ．-1
B ．1
C
D ．2
6．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ）
A ．45种
B ．56种
C ．90种
D ．120种
7．某爱心人士于2008年5月18日为四川汶川地震孤儿刘强去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄；2009年5月18日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年5月18日他都按照同样的方法，在银行存款和取款；假设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，等到2013年5月18日刘强准备上大学时，她将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共为 （ ） A ．5
)1(r a + 元 B ．)]1()1[(5
r r a +++ 元 C ．
)]1()1[(6r r r a +-+元 D ．])1[(5r r r
a
-+元 8．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是 （ ） Ａ．2
1
)2()3(2
2
=
-++y x Ｂ．2
1)2()3(2
2=
++-y x Ｃ．2)2()3(2
2
=-++y x
Ｄ．2)2()3(2
2
=++-y x
9．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是 （ ）
A. ①、③
B. ①、④
C. ②、③
D. ②、④
10．记集合},4,3,2,1,|7777{
},6,5,4,3,2,1,0{4
4
33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是 （ ） A ．
23411017777+++ B ．4327
2
767575+++
C ．
43273767575+++ D ．4327
3707171+++ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．函数12-=
x y 的定义域是 .
12．若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1的展开式中的第4项含有3
x ，则n 的值为
13．已知实数,x y 满足21x y +≥，则2242a x y x y =++-的最小值为 ．
14．已知,OA OB ==u u r u u u r
a b ，且||||2==a b ，∠AOB=60°，则
（i ） ||+a b = ； （ii ） +a b 与b 的夹角为
15．将三条侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过“直角三棱锥”的“直角顶点”及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质： （1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； （3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 写出直角三棱锥相应性质（两条）
（i ） ； （ii ）
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)
已知α
为第二象限角，且sin α=求1
2cos 2sin )
4sin(+++ααπ
α的值.
17．(本小题满分12分)
雅礼中学高三文四同学积极参加向汶川地震灾区的捐款活动．现通过简单随机抽样的方法，抽取了其中20名同学进行统计：捐款100元的有4人，捐款200元的有10人，捐款
300元的有6人。

请用所学知识解答下列问题：
（I ）从文四班这20名同学中任选三人，至少有一人捐款300元的概率是多少？ （II ）从文四班这20名同学中任选三人，三人捐款之和不少于600元的概率是多少？
18．(本小题满分12分)
如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，
ABC 60,PA AC a PB PD ∠=====，，点E 在PD 上，且PE ：ED=2：1
(Ⅰ)证明：PA ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求二面角P —AC —E 的大小．
19．(本小题满分13分)
已知点),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n
n n b a P （n 为正整数）都在函数x
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21的图像上．
(Ⅰ)若数列}{n a 是首项为1，公差也为1的等差数列，求{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的数列{}n a 和{}n b ，过点n P ，1+n P 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
n c ，求n c 的通项公式．
20．(本小题满分13分)
已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）．
(Ⅰ)若椭圆的半焦距1=c ，且2
a ，2
b ，2
c 成等差数列，直线1+=kx y 与椭圆C 相交于P 、
Q 两点，求⋅的取值范围；
(Ⅱ)设A 为椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的长轴的一个端点，B 为椭圆C 的短轴的
一个端点，F 为椭圆C 的一个焦点，O 为坐标原点，记θ=∠BFO ．当椭圆C 同时满足下列两个条件：①4
6
π
θπ
≤
≤；②O 到直线AB 的距离为
2
2
．求椭圆长轴的取值范围．
21．(本小题满分13分)
已知定义在R 上的函数2
()(3)f x x ax =-，其中a 为常数. （Ⅰ）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,0)-上是增函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 []()()(),0,2g x f x f x x '=+∈，在0x =处取得最大值，求正数a 的取值范围.
雅礼中学2008届高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案
一、选择题： ABCBA ACCBA 二、填空题：
11． ),0[+∞. 12． 9 13． 95-
． 14．（i ） （ii ）6
π 15． (1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
三、解答题：
16解： 17．略
18．解：(Ⅰ) 略 (Ⅱ)
3
π
19． (Ⅰ)n
n b ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21 (Ⅱ) 22
(2)2n n n c ++= 20．解：(Ⅰ) ]2
1
,2(-
- (Ⅱ) ]10,6[． 21．解：（Ⅰ） 2a =； （Ⅱ）2a ≥-. （Ⅲ） 6(0,]5
a ∈.。