2020年高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.2-4.2.3直线与圆的方程的应用优化练

4.2.2-4.2.3 直线与圆的方程的应用
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径r1＝1.将圆C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25)，得圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径r2＝25－m(m<25)．由两圆相外切得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，解方程得m＝9.
答案：C
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x －4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
答案：A
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条B．3条
C．2条D．1条
解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＋2＋－8－2＝13，
∴r－R<|O1O2|<R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
答案：C
4．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该
直线与直线OP垂直即可．又已知P(1, 1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1,1)，易求得该直线的方程为x＋y－2＝0.
答案：A
5．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A．k＝± 3 B．k∈(－2,2)
C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝± 3
解析：y＝1－x2表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B)，y＝kx＋2过定点(0,2).1－x2＝kx＋2有唯一解，由图(图略)可以看出，在两条切线处和过x轴上AB 线段上的点(不包括A，B)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.
答案：D
6．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝a2＋b2＝2＝r1＋r2，两圆外切．
答案：外切
7．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，则m的取值范围是________．解析：由曲线C：y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，
∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示，l：y＝x＋m是斜率为1
的平行直线系，记当m＝1时的直线为l1，记当l与半圆相切时的直
线为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝ 2.当l在
l1与l2之间时(或与l1重合时)，l与C有两个不同的交点．故m∈
[1，2)．
答案：[1，2)
8．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)
解析：以B为原点，正东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－2514≤a≤－150＋2514，
∴t1＝2|a1|
40
＝
2|－150＋2514|
40
≈2.0，
Δt＝2|a2－a1|
40
＝
2×5014
40
≈6.6.
故从现在起经过约2.0 h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6 h. 答案：2.0 6.6
9．已知两圆C 1：x 2
＋y 2
＝1，C 2：(x －2)2
＋(y －2)2
＝5，求经过点P (0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程．
解析：设所求直线为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.
由题意知圆C 1(0,0)，r 1＝1， 圆C 2(2,2)，r 2＝5，
则两圆圆心到直线的距离分别为
d 1＝
|1|
1＋k 2，d 2＝|2k －1|1＋k
2
， 因为直线被两圆截得的弦长相等，所以 2
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＋k 22＝25
2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|2k －1|1＋k 22， 解得k ＝－1.
∴y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0.
当所求直线垂直于x 轴时，所求直线方程为x ＝0.分别代入圆C 1，C 2，可知都满足条件，所以所求直线方程为x ＋y －1＝0，或x ＝0.
10．设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？ 解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南
北方向为y 轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋y b
＝1(a >3，b >3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有
⎩
⎪⎨⎪⎧
|ab |
a 2＋b
2
＝3，
a 2
＋b 2
＋a 3v ＝b
v
.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝5，
b ＝3.75.
所以乙向北前进3.75 km 时甲、乙两人相遇．
[B 组 能力提升]
1．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
(r >0)的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以a <0，b >0，故圆心位于第二象限． 答案：B
2．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，
A 、
B 是切点，
C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值是( )
A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：∵点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，如图所示，
∴设P ⎝
⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x ，
C 点坐标为(1,1)，
S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝|AP |·|AC |＝|AP |，
∵|AP |2
＝|PC |2
－|AC |2
＝|PC |2
－1，
∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形PACB 的面积最小． ∴|PC |2＝(1－x )2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2
＝2516x 2＋52x ＋10＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫54x ＋12
＋9， ∴|PC |min ＝3.当|PC |最小时，|PA |＝ 32
－1＝22， ∴四边形PACB 面积的最小值为2 2. 答案：C
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2
＋y 2
＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．
解析：如图，圆x 2
＋y 2
＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1.即|c |122
＋5
2
<1，|c |<13，
∴－13<c <13. 答案：－13<c <13
4．已知圆O 的方程是x 2
＋y 2
－2＝0，圆O ′的方程是x 2
＋y 2
－8x ＋
10＝0，由动点P 向圆O 和圆O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 解析：对圆O ：圆心O (0,0)，半径r ＝2； 对圆O ′：圆心O ′(4,0)，半径r ′＝ 6.
设动点P (x ，y )，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x 2
＋y 2
－2＝(x －4)2
＋y 2
－6，解
得x ＝3
2.这就是动点P 的轨迹方程．
答案：x ＝3
2
5．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，求k 的值． 解析：由圆的方程得x 2
＋(y －1)2
＝1，所以圆心为(0,1)，半径r ＝1，
四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，
所以若四边形PACB 的最小面积是2，所以S △PBC 的最小值为1，而S
△PBC
＝1
2
r |PB |， 即|PB |的最小值为2，
此时|PC |最小为圆心到直线的距离， 此时d ＝
|5|
k 2＋1
＝ 12＋22
＝5， 即k 2
＝4，因为k >0，所以k ＝2.
6．AB 为圆的定直径，CD 为动直径，自D 作AB 的垂线DE ，延长ED 到P ，使|PD |＝|AB |，求证：直线CP 必过一定点．
解析：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)，定直径AB 位于x 轴上，动直径为CD .
令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为
y －y 0＝
－y 0－2r －y 0
－x 0－x 0
(x －x 0)，
即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.
∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点(0，－r)．。