辽宁省六校2019-2020学年高一数学下学期期中试题[含答案]

辽宁省六校2019-2020学年高一数学下学期期中试题
一、单选题（共8道,每题5分,共40分,每题4个选项,只有一个符合题目要求） 1.若复数z 满足
（i 是虚数单位）,则z 为（ ）
A. 1
B.
12 C.2
2 D. 2 2.不等式
的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设tan ,tan αβ是方程2
320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为 （ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
4. 已知△ABC 的外心是边BC 的中点,AB =(k,1),AC =(2,3),则k 的值为( ) A. 5
B. -5
C.
3
2
D. -3 2
5. 已知角θ的终边过点P(﹣4k ，3k ）（k ＜0）,则2sinθ+cosθ的值是( ) A ．
52
B. 5
2
-
C ．52或5
2- D.随着k 的取值不同其值不同
6. 下列函数中,周期为π,且在），（2
4π
π上单调递减的是（ ）
A.x x y cos sin =
B.x x y cos sin -=
C.)4
tan(π
+=x y
D.x y 2cos =
7.棱台的上、下底面面积分别为4和9,则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 （ ） A ．
21 B.31 C.32 D.4
3 8.一船沿北偏西45方向航行,正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里,航行半小时后,看见一灯
塔在
船的南偏东60,另一灯塔在船的南偏东75,则这艘船的速度是每小时（ ） A ．5海里
B ．5
2海里 C ．10海里 D ．102海里
二、多选题（共4小题,每题5分,共20分,每题4个选项中有多个正确选项,全部选对得5分,漏选得3分,错选得0分）
9.以下命题（其中a ，b 表示直线，表示平面）,其中错误的是 （ ） A.若αα//a 则,,//a ⊂
b b B.若b b //a 则,//,//a αα
C.若αα//则,//,//a b b a
D.若α//a ,β⊂a ,b =⋂βα,则a//b
10.已知ABC ∆,则下列命题是真命题的有（ ） A.若B A
2sin 2sin =,则ABC ∆是等腰三角形
B.若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形
C.若0cos cos cos <C B
A ,则ABC ∆是钝角三角形
D.若,1)cos()cos(）（cos =---A C C B B A 则ABC ∆是等边三角形
11.ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,满足a =,+=a ，则下列结论
正确的是（ ）
b =2 B.b a ⊥ C.2=⋅
b a D.⊥+)2(
12.关于函数12
3
3sin 33cos sin 3)(f 2+-+=x x x x ,下列命题正确的是（ ）
A. 由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍
B. ()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216
f x x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭
C. ()y f x =的图像关于点3,14π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D. ()y f x =的图像关于直线12
x π
=-
对称
三、填空题（共4小题,每题5分,共20分） 13. 5==b a ,向量b a 与的夹角为
3
2π
,则b +2=___________.
14. 已知, A=,则b=_________.
15. 一个四面体的所有棱长都为
2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为
______________;该四面体的体积为_____________.(第一空2分，第二空3分) 16.函数()m -6-x 2sin 2⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
πx f
,若()0f ≤x 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0x π上恒成立,则m 的取值范围是______;
若()
x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0x π上有两个不同的解,则m 的取值范围是_________.(第一空2分，第二空
3分)
四、解答题（写出必要的解题步骤,文字说明等）
17.（本小题满分10分）
已知|a |＝2|b |＝2,且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1,求 (1)a 与b 的夹角θ; (2)(a －2b )·b .
18.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且
（1）求角B ;（2）若sin 3sin A C =,求c
b .
19.（本小题满分12分） 已知5
1cos ,sin 02
=
+<<-
x x x π
（1）求x x cos sin -的值;（2）求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值.
20.（本小题满分12分）
如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,作如图棱锥P ABCD -,其中点P 在侧棱1DD 所在直线
E B
C
P
上,4,3PD DC ==,E 是PC 的中点. （1）证明：//PA BDE 平面;
（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积.
21.（本小题满分12分） 在ABC ∆中,3
1cos =
A . （1）求A C
B 2cos 2
sin
2
++的值;
（2）若3a =,求ABC ∆面积的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))0,0(πϕω<<>的图像相邻对称轴之间的距离是
2
π
,若将f (x )的图像向右移
6
π
个单位,所得函数g(x )为奇函数. （1）求f (x )的解析式; （2）若函数h (x )= f (x )-
53
的零点为x 0,求⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0x 2-6cos π; （3）若对任意x ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈3，0π, f 2
(x )- f (x )-a=0有解,求a 的取值范围.
数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B
A
D
B
A
B
D
ABC
BCD
AD
BD
题号 13
14
15
16
答案
35
π3
3
1 2m ≥ 2m 1<≤
17.（1）由题意，||=2, ||=1, ||=-1,所以.
又因为,所以. (5)
分 （2）（）
=-1-2=-3. ……………………………………………………10分
18、解：（1）由正弦定理可得B C B A C B cos sin 3-sin sin 2cos sin 3=
B A B
C C B sin sin 2cos sin 3cos sin 3=+
B A
C B sin sin 2)sin(3=+
B A A sin sin 2sin 3=
在0sin 中，≠∆A ABC ,所以
2
3
sin =
B …………………………………………………………………4分 120或60所以=B ，因为AB
C ∆为锐角三角形
B 60=︒所以 (6)
分
（2）由正弦定理得：3a c =，
又由余弦定理：222
1cos cos6022a c b B ac
+-=︒==，
代入3a c =，可得
7b
c
=……………………………………………………………………12分 19、（1）对于51cos sin =+x x ，两边平方得25
24
2sin -=x
∴25
492sin 1)cos (sin 2
=-=-x x x
∵02
<<-x π
，∴cosx ＞0，sinx ＜0
∴
sinx
－
cosx<0
，
∴
sinx
－
cosx
＝
－
5
7
……………………………………………………6分 （2）联立1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得⎪⎩⎪⎨
⎧=
-=54
cos 53sin x x ∴
原
式
＝
2
343
2()2()2455531755
145
⨯-⨯+⨯-=---………………………………………………………12分
20.(1)连接AC 交BD 于O ，连接EO.ABCD 是正方形，O 为AC 中点; 又E 为PA 的中点，
又
包含于平面BDE ，PA 不包含于平面BDE.
PA 平面BDE. ……………………………………………………………………6分 (2)过D 作PA 的垂线，垂足为H,则
以PA 为轴旋转所围成的的几何体是以DH 为半径，
分别以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. 侧棱PD 底面ABCD,AD 包含于底面ABCD,PD
,
PA=5,DH=, ………………………………………………………
………10分
体
积
V=. ……………………………………………………………………………………………12分 21.(1)
原
式
=
;………………4分
(2)cosA=, 则
由余弦定理知
所以有bc
则,所以面积最大值为,此时……………………………………12分
22.(1)f(x)=; (4)
分
(2)由已知方程f(x)-的解为x0。

即=，
所以cos()= cos()=cos()==……………………………8分
(3)
要是f2(x)- f(x)-a=0有解，即a=在[0,1]上有解；
.所以a. ……………………………………12分。