小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第17讲 不定方程(含答案)

第17讲 不定方程
知识与方法
1、不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组。

2、解不定方程的一般方法有：
①尝试法；
②奇偶分析法；
③尾数分析法（如5的倍数的个位只能是0或5）。

④倍数分析法。

⑤整除性分析法。

初级挑战1
下列方程，哪些的解是唯一的？哪些是不唯一的？不唯一的请找出至少两组的解。

①823＝＋x ②5355＋＝－y y ③52＝＋y x
思维点拨：
我们已经学过只含有一个未知数的方程，题目中很容易得出①和②的解是唯一的。

只有③中的方程含有两个未知数。

所以③的解不是唯一的。

可通过尝试法，先设定x 的值，再求出y 的值。

答案：①②的解唯一，③的解不唯一，有：⎩⎨⎧21＝＝y x ，⎩⎨⎧5.12＝
＝y x ……（答案不唯一）。

能力探索1
请找出下列方程的解,每个至少写两组。

①2323＝＋y x ②72＝＋b a
答案：
①解：⎩
⎨⎧101＝＝y x ，⎩⎨⎧5.82＝＝y x （答案不唯一）。

②解：⎩⎨⎧31＝＝b a ，⎩
⎨⎧5.22＝＝b a （答案不唯一）。

初级挑战2
若2032＝＋y x ，且y x 、均为非零自然数，求y x 、的所有解。

思维点拨：
要求y x 、均为非零自然数，即y x 、取大于0的整数，可通过尝试法，从x 最小取值开始试起，注意不遗漏不重复。

答案：解：⎩⎨⎧61＝＝y x ， ⎩⎨⎧44＝＝y x ，⎩⎨⎧2
7＝＝y x 。

能力探索2
若2343＝＋y x ，且y x 、均为非零自然数，求y x 、的所有解。

答案：
尝试法得：⎩⎨⎧51＝＝y x ，⎩
⎨⎧25＝＝y x 。

中级挑战1
若4092＝＋y x ，且y x 、均为非零自然数，求y x 、的所有解。

思维点拨：
观察发现x 2是偶数，40也是偶数，那么y 9肯定也是偶数，即y 必须是偶数。

那么y 只能为2或4。

这就是奇偶分析法，大大缩小了取值范围，提高了解题速度。

答案：解：⎩⎨⎧211＝＝y x ，⎩⎨⎧42＝＝y x 。

能力探索3
若2747＝＋y x ，且y x 、均为非零自然数，求y x 、。

答案：奇偶分析法，y 4是偶数，27是奇数，那么x 7肯定是奇数，即x 必须是奇
数。

那么x 只能为1或3。

得：⎩
⎨⎧51＝＝y x 。

中级挑战2
已知x 、y 均为大于0的自然数，且2865＝＋y x ，求x 、y 的值。

思维点拨：
尾数分析法：5的倍数末尾要么是0，要么是5，所以x 5的末尾只有两种情况，
而和是28，末尾是8，因此y 6的末尾要么是8，要么是3，y 6是偶数，所以只可能末尾是8。

答案：解：⎩⎨⎧32＝＝y x 。

能力探索4
1、已知x 、y 为大于0的自然数，求满足1652＝＋y x 的所有x 、y 的值。

答案：尾数分析法。

y 5的个位是0或5，所以x 2的个位是6或1，x 2是偶数，个位不可能是1，那么x 2的个位只能是6。

那么x ＝3或8，当x ＝8时，y ＝0
不符合要求，所以只有一组解：⎩
⎨⎧23＝＝y x 。

2、已知x 、y 为自然数，求满足45310＝＋y x 的所有x 、y 的值。

答案：尾数分析法。

x 10的个位是0，所以y 3的个位是5，那么y ＝5或15，所
以解为：⎩⎨⎧5y 3x ＝＝或⎩⎨⎧15y 0x ＝
＝ 聪明泉
数学家朱世杰
朱世杰（公元1300年前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。

朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。

《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。

《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。

拓展挑战
已知x 、y 为非零自然数，求下列方程的解。

①82＝＋y x ②25.025.0＝＋y x ③802010＝＋y x
思维点拨：
观察这三式，发现②式是①式左右两边同时缩小4倍而来，③式是①式左右两边同时扩大10倍而来。

根据等式的性质，x 、y 的取值相同，因此求出一个即可。

解得：⎩⎨⎧32＝＝y x ，⎩⎨⎧24＝＝y x ，⎩⎨⎧16＝
＝y x 。

能力探索5
1、下列方程的解与1232＝
＋y x 相同的是（ ） A 、2462＝＋y x B 、126＝
＋y x C 、1264＝
＋y x D 、3696＝＋y x 答案： D
2、求下列不定方程的解（为非零自然数、y x ）。

（1）1801030＝＋y x （2）8.102.15.1＝＋y x
答案：（1）化简得183＝＋y x ，
解得：⎩⎨⎧151＝＝y x ，⎩⎨⎧122＝＝y x ，⎩⎨⎧93＝＝y x ，⎩⎨⎧64＝＝y x ，⎩
⎨⎧35＝＝y x 。

（2）等式两边同时乘以10，得1081215＝＋
y x ，等式两边再同时除以3，得3645＝＋y x ，解得：⎩
⎨⎧44＝＝y x 。

课堂小测：
1、请写出方程1425＝
＋y x 的两组以上的解。

答案：解：⎩⎨⎧70＝＝y x ，⎩
⎨⎧22＝＝y x 。

（答案不唯一） 2、已知y x 、为自然数，求1632＝
＋y x 的解。

答案：奇偶分析法，y 是偶数。

解得：⎩⎨⎧08＝＝y x ，⎩⎨⎧25＝＝y x ，⎩
⎨⎧42＝＝y x 。

3、已知y x 、为非零自然数，求4553＝＋y x 的解。

答案：尾数分析法，x 3的个位是5或0。

解得：⎩⎨⎧65
＝＝y x ，⎩⎨⎧3
10＝＝y x 。

4、求满足2603640＝＋y x ，且y x 、为自然数的解。

答案：化简得：65910＝＋y x ，解得：⎩⎨⎧52＝＝y x 。

课后作业
1、若5737＝＋y x ，且y x 、均为非零自然数，求y x 、。

答案：尝试法，解得：⎩⎨⎧123＝＝y x ，⎩⎨⎧56
＝＝y x 。

2、求满足1832＝＋y x 的解。

（y x 、是非零自然数） 答案：奇偶分析法，y 是偶数。

解得：⎩⎨⎧26
＝＝y x ，⎩
⎨⎧43
＝＝y x 。

3、已知y x 、为自然数，求6457＝＋y x 的解。

答案：尾数分析法，x 7的尾数是4或9，解得：⎩⎨⎧102＝＝y x ，
⎩⎨⎧37
＝＝y x 。