《空间向量的直角坐标运算》 学历案

《空间向量的直角坐标运算》学历案
一、学习目标
1、理解空间向量直角坐标的概念。

2、掌握空间向量的直角坐标运算规则。

3、能够运用空间向量的直角坐标运算解决空间几何中的相关问题。

二、学习重难点
1、重点
（1）空间向量直角坐标的定义。

（2）空间向量的直角坐标运算公式。

2、难点
（1）空间向量直角坐标运算在空间几何问题中的应用。

（2）空间向量的坐标表示与空间几何图形的关系。

三、知识回顾
在平面向量中，我们已经学习了平面向量的坐标表示和运算。

对于
平面向量\（＼overrightarrow{a}＝（x_1,y_1)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（x_2,y_2)＼），有加法\（＼overrightarrow{a} ＋
＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2)＼），减法\（＼
overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2)＼），数
乘\（k\overrightarrow{a} ＝（kx_1, ky_1)＼），数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2\）。

四、新课导入
在空间中，为了更精确地描述物体的位置和方向，我们引入空间向量。

那么如何用坐标来表示空间向量，并进行相关运算呢？
五、空间向量直角坐标的定义
在空间直角坐标系\（Oxyz\）中，分别取与\（x\）轴、＼（y\）轴、＼（z\）轴方向相同的单位向量\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼），＼（＼overrightarrow{k}＼）。

对于空间任意一
个向量\（＼overrightarrow{A}B\），都存在有序实数组\（（x,y,z)＼），使得\（＼overrightarrow{A}B ＝ x\overrightarrow{i} ＋
y\overrightarrow{j} ＋ z\overrightarrow{k}＼），则称\（（x,y,z)＼）为
向量\（＼overrightarrow{A}B\）的直角坐标。

六、空间向量的直角坐标运算
1、加减法
设\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则
＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2,
y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼）
＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1
y_2, z_1 z_2)＼）
例如，若\（＼overrightarrow{a} ＝（1,2,3)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（4,5,6)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（5,7,9)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（－3,－3,－3)＼）。

2、数乘
设\（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），实数\（k\），则
＼（k\overrightarrow{a} ＝（kx,ky,kz)＼）
比如，若\（＼overrightarrow{a} ＝（2,3,4)＼），＼（k ＝ 2\），则\（2\overrightarrow{a} ＝（4,6,8)＼）。

3、数量积
设\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则
＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋
y_1y_2 ＋ z_1z_2\）
例如，若\（＼overrightarrow{a} ＝（1,2,3)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（4,5,6)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 1×4 ＋ 2×5 ＋ 3×6 ＝ 32\）
4、模长
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（｜＼overrightarrow{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ z^2}＼）
比如，若\（＼overrightarrow{a} ＝（3,4,5)＼），则\（｜＼overrightarrow{a}｜＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2} ＝ 5\sqrt{2}＼）
5、夹角
设\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼）的夹角
为\（＼theta\），则\（＼cos\theta ＝＼frac{＼overrightarrow{a} ＼cdot
＼overrightarrow{b}｝｛｜＼overrightarrow{a}｜｜＼
overrightarrow{b}｜｝＼）
例如，若\（＼overrightarrow{a} ＝（1,2,3)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（4,5,6)＼），先计算\（＼overrightarrow{a} ＼
cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 32\），＼（｜＼overrightarrow{a}｜＝＼sqrt{14}＼），＼（｜＼overrightarrow{b}｜＝＼sqrt{77}＼），则\
（＼cos\theta ＝＼frac{32}｛＼sqrt{14}×＼sqrt{77}｝＝＼frac{32}
｛＼sqrt{1078}｝＼）
七、空间向量直角坐标运算的应用
1、证明线线平行
如果两条直线的方向向量分别为\（＼overrightarrow{a}＼），＼
（＼overrightarrow{b}＼），且\（＼overrightarrow{a} ＝
k\overrightarrow{b}＼）（＼（k\）为非零实数），则这两条直线平行。

2、证明线面平行
如果直线的方向向量为\（＼overrightarrow{a}＼），平面的法向量
为\（＼overrightarrow{n}＼），且\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{n} ＝ 0\），则直线与平面平行。

3、证明面面平行
如果两个平面的法向量分别为\（＼overrightarrow{n_1}＼），＼
（＼overrightarrow{n_2}＼），且\（＼overrightarrow{n_1} ＝
k\overrightarrow{n_2}＼）（＼（k\）为非零实数），则这两个平面平行。

4、证明线线垂直
如果两条直线的方向向量分别为\（＼overrightarrow{a}＼），＼
（＼overrightarrow{b}＼），且\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\），则这两条直线垂直。

5、证明线面垂直
如果直线的方向向量为\（＼overrightarrow{a}＼），平面的法向量
为\（＼overrightarrow{n}＼），且\（＼overrightarrow{a} ＝
k\overrightarrow{n}＼）（＼（k\）为非零实数），则直线与平面垂直。

6、证明面面垂直
如果两个平面的法向量分别为\（＼overrightarrow{n_1}＼），＼
（＼overrightarrow{n_2}＼），且\（＼overrightarrow{n_1} ＼cdot ＼overrightarrow{n_2} ＝ 0\），则这两个平面垂直。

八、例题讲解
例 1：已知空间三点\（A(1,0,0)＼），＼（B(0,1,0)＼），＼
（C(0,0,1)＼），求向量\（＼overrightarrow{AB}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼），并计算它们的模长和夹角。

解：＼（＼overrightarrow{AB} ＝（－1,1,0)＼），＼（＼overrightarrow{AC} ＝（－1,0,1)＼）
＼（｜＼overrightarrow{AB}｜＝＼sqrt{（－1)＾2 ＋ 1^2 ＋ 0^2} ＝＼sqrt{2}＼）
＼（｜＼overrightarrow{AC}｜＝＼sqrt{（－1)＾2 ＋ 0^2 ＋ 1^2} ＝＼sqrt{2}＼）
＼（＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC} ＝（－1)×（－1) ＋ 1×0 ＋ 0×1 ＝ 1\）
＼（＼cos\angle BAC ＝＼frac{＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC}｝｛｜＼overrightarrow{AB}｜｜＼overrightarrow{AC}｜｝＝＼frac{1}｛＼sqrt{2}×＼sqrt{2}｝＝＼frac{1}｛2}＼）
所以\（＼angle BAC ＝ 60^＼circ\）
例 2：已知向量\（＼overrightarrow{a} ＝（2,1,－1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（1,－1,2)＼），求\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b}＼），＼（2\overrightarrow{a} 3\overrightarrow{b}＼）。

解：＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（2 ＋ 1, 1 1, －1 ＋ 2) ＝（3,0,1)＼）
＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（2 1, 1 （－1)，－1 2) ＝（1,2,－3)＼）
＼（2\overrightarrow{a} 3\overrightarrow{b} ＝ 2(2,1,－1) 3(1,－1,2) ＝（4,2,－2) （3,－3,6) ＝（1,5,－8)＼）
例 3：已知平面\（＼alpha\）的法向量为\（＼overrightarrow{n} ＝（1,2,3)＼），直线\（l\）的方向向量为\（＼overrightarrow{a} ＝（4,－1,2)＼），判断直线\（l\）与平面\（＼alpha\）的位置关系。

解：＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{n} ＝ 1×4 ＋
2×（－1) ＋ 3×2 ＝ 8\）
因为\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{n} ＼neq 0\），所以直线\（l\）与平面\（＼alpha\）不平行。

又因为\（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{n}＼）不共线，所以直线\（l\）与平面\（＼alpha\）相交。

九、课堂练习
1、已知\（＼overrightarrow{a} ＝（1,2,3)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（3,2,1)＼），求\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b}＼），＼（｜＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b}｜＼）。

2、已知平面\（＼beta\）的法向量为\（＼overrightarrow{m} ＝（2,－1,1)＼），直线\（m\）的方向向量为\（＼overrightarrow{c} ＝（1,1,－1)＼），判断直线\（m\）与平面\（＼beta\）的位置关系。

3、已知空间三点\（P(1,2,3)＼），＼（Q(2,1,4)＼），＼（R(3,4,5)＼），求向量\（＼overrightarrow{PQ}＼），＼（＼overrightarrow{PR}＼），并计算它们的夹角。

十、课堂小结
1、空间向量直角坐标的定义和运算规则。

2、空间向量直角坐标运算在空间几何中的应用。

十一、课后作业
1、课本习题具体页码。

2、思考：空间向量直角坐标运算与平面向量坐标运算有哪些相同点和不同点？。