吉林省长春市19中2025届数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析

吉林省长春市19中2025届数学高三第一学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S S λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．32-
D ．32
2．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）
A ．147
B ．294
C ．882
D ．1764
3．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A ．114
B ．112
C ．3
28 D ．以上都不对
5．已知f (x )=-1
x x e e a +是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）
A ．(-2,6)
B ．(-6,2)
C ．(-4,3)
D ．(-3,4)
6．已知变量的几组取值如下表：
x 1 2 3 4
y 2.4 4.3 5.3 7
若y 与x 线性相关，且ˆ0.8y x a =+，则实数a =（ ）
A ．74
B ．11
4 C ．9
4 D ．13
4
7．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）
A ．a b ab +=
B ．4a b +>
C ．()()22112a b -+-<
D ．228a b +>
8．函数的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）
A ．2
B ．4
C ．1
2 D ．8
10．已知i 为虚数单位，则()2312i i i +=-（ ）
A ．74
55i + B ．74
55i - C ．4755i + D ．4
7
55i -
11．已知函数2,0()2,0x x
x f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2
g x f x k x =-+在
R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（
） A ．2
(0,)3e B ．2(,0)3e - C ．(2e D ．)2e
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）
A ．25
B ．32
C ．35
D ．40
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量()24,X
N σ，且()260.8P X <≤=，则()2P X <=______ 14．4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．
15．()6
2122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 16．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈.
（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标；
（2）设P 是椭圆2
214
x y +=上的动点，求PMN 面积的最大值. 18．（12分）已知数列的前n 项和为n S ，且满足*11()2
n n a S n N =
+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，11n n n c b b +=，且数列{}n c 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 19．（12分）设函数()f x x p =-．
（1）当2p =时，解不等式()41f x x ≥--；
（2）若()1f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞，()120,01
p m n m n +=>>-，求证：211m n +≥． 20．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A 在椭圆C 上，点B 在直
线y =上的点，且OA OB ⊥．
()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切；
()2求AOB 面积的最小值．
21．（12分）设函数()()ln x f x a x e bx c x =-+-.
（1）若3a =，0c 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值范围；
（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，l 是过定点()4,2P 且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M N 、，求PM PN +的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312
S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出
11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12
x y ==，从而可求得结果. 【详解】
如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，
所以12312
S S S S ==+，
由此可得22232322322(
)1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，
所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，
将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022
PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==
， 从而132122x y +=+
=. 故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 2、A
【解析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.
【详解】
依题意列表如下：
所以6603020151210147S =+++++=.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
3、B
【解析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.
【详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同
分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时，
共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院，
在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时，
共有33A +12
2210C A =种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
【点睛】
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 4、A
【解析】
首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.
【详解】
不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；
其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，
故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814
P =
=． 故选：A .
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
5、C
【解析】
由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.
【详解】 因为()1x x e f x e a
-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=， 即11101e e e a a e
--+=++，解得1a =，即()12111
x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数.
又()()239f x f x
-<-，所以239x x -<-，解得43x -<<. 故选：C.
【点睛】
本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
6、B
【解析】 求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ．
【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =
+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114
a =． 故选：B ．
【点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．
7、C
【解析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】
∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++ 23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确
故C ．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
8、C
【解析】
因为
，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，
所以
，排除D ．选C ． 9、B
【解析】
根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案. 【详解】
4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩
（舍去）. 故2314a a q ==.
故选：B .
【点睛】
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
10、A
【解析】
根据复数乘除运算法则，即可求解.
【详解】 ()()()()()2322323741222255
i i i i i i i i i i +-++===+-++-. 故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数运算，属于基础题题.
11、D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2
y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2
-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知()y f x =与1()2
y k x =+有4个公共点即可，
即()
0,k k ∈切，当设切点()00,x y ， 则0
000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
2k e ∴∈.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 12、C
【解析】
设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．
【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则
313127339
a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.1
【解析】
根据2σ原则，可得()()12622P X P X -<≤<=
，简单计算，可得结果. 【详解】
由题可知：随机变量()24,X
N σ，则期望为4 所以()()12610.820.122
P X P X -<≤-<=
== 故答案为：0.1
【点睛】
本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.
14、3
【解析】
试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．
考点：二项式定理．
15、3 -260
【解析】
(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()6
2122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项. 【详解】
将1x =代入()6
2
122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭，得所有项的系数和为3.
因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()3
33
612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，所以()6
2
122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.
故答案为：3； -260 【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 16、1- 【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可． 【详解】
作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立20
0x y y m -+=⎧⎨+=⎩
，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---.
由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，
241m m ∴---=-，解得1m =-.
故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2cos ρθ=，()0,0M ，1,3N π⎛⎫ ⎪⎝⎭；
（2
. 【解析】
（1）利用公式即可求得曲线C 的极坐标方程；联立直线和曲线C 的极坐标方程，即可求得交点坐标； （2）设出点P 坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得. 【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程：2cos ρθ=
联立2cos 3ρθ
πθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得1,3N π⎛⎫
⎪⎝⎭，又因为()0,0M 都满足两方程，
故两曲线的交点为()0,0M ，1,3N π⎛⎫
⎪⎝⎭. （2）易知1MN =
，直线:l y =
.
设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l
的距离d =
∴
1
2
PMN S
MN d '
=⋅⋅=
（其中tan ϕ=.
PMN ∴△
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.
18、（1）2n
n a =（2）112n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，
【解析】 （1）由111
12
a S =
+，可求1a ，然后由2n 时，1n n n a s s -=-可得12n n a a -=，根据等比数列的通项可求 （2）由22log log 2n
n n b a n ===，而11111
(1)1
n n n c b b n n n n +===-++，利用裂项相消法可求n T . 【详解】
（1）当1n =时，111
12
a S =+，解得12a =， 当2n 时，111
12
n n a S --=
+⋯① 1
12
n n a S =
+⋯② ②-①得11
2
n n n a a a --=
，即12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴2n n a =；
（2）22log log 2n
n n b a n ===
∴11111
(1)1
n n n c b b n n n n +=
==-++， ∴11111111112233411
n T n n n =-+-+-+⋯+-=-++， *n N ∈，∴
11(0,]12n ∈+ ∴1
[,1)2
n T ∈.
【点睛】
本题考查递推公式1n n n a s s -=-(2)n 在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 19、（1）17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
；（2）见解析.
【解析】
（1）当2p =时，将所求不等式变形为214x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三段解不等式
214x x -+-≥，综合可得出原不等式的解集；
（2）先由不等式()1f x ≥的解集求得实数1p =，可得出1211
m n +=-，将代数式2m n +变形为()212m n +-+，将()21m n +-与121
m n +-相乘，展开后利用基本不等式可求得()21m n +-的最小值，进而可证得结论. 【详解】
（1）当2p =时，不等式为214x x -+-≥，且23,2211,1232,1x x x x x x x -≥⎧⎪
-+-=<<⎨⎪-≤⎩
.
当1x ≤时，由214x x -+-≥得324x -≥，解得12x ≤-
，此时12
x ≤-； 当12x <<时，由214x x -+-≥得14≥，该不等式不成立，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由214x x -+-≥得234x -≥，解得72x ≥
，此时72
x ≥. 综上所述，不等式()41f x x ≥--的解集为17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
； （2）由()1f x ≥，得1x p -≥，即1x p ≤-或1x p ≥+， 不等式()1f x ≥的解集为(]
[),02,-∞+∞，故1012
p p -=⎧⎨
+=⎩，解得1p =，12
11m n ∴+=-， 0m >，0n > ，()()()
21122212155911n m m n m n m n n m -⎛⎫∴+-=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
， 当且仅当3m =，4m =时取等号，()22129211m n m n ∴+=+-+≥+=． 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20、()1证明见解析；()2 1. 【解析】
()1由题意可得椭圆C 的方程为2
212x y +
=，由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论
当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆2
2
1x y +=相切；
()2由()1知，
AOB 的面积为1
12
S OA OB =
⋅ 【详解】
解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==
，所以a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B
在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0
时，OA =
OB =
于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆22
1x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，22
2212A k y k =+，从而222
2212k OA k
+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B
在y =
上，故x =， 从而2
2
22OB k =+，于是
2
2
111OA
OB
+
=．
此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． 综上，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切．
()2由()1知，
AOB 的面积为
2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，
上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB 面积的最小值为1． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题． 21、（1）(,]e -∞-（2）见解析 【解析】
(1) ()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可. 【详解】 （1）3a =，0c
时，()(3)x f x x e bx =-+，
()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，
∵()f x 在(0,)+∞上单调递减． ∴(2)0x x e b -+≤，(2)x b x e ≤-． 令()(2)x
g x x e =-，
()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，
01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，
∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数． ∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-． ∴b 的取值范围为(,]e -∞-．
（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln x
f x x e x x =-+-，
44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛
⎫'=-+-+-
=-- ⎪⎝
⎭， 令4
()x
h x e x
=-
，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2
(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ． 且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；
0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，
∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数． ∴()()0max 0000()244ln x
f x f x x e x x ==-+-．
又()0
0040x h x e x =-
=，∴004
x e x =，004x x e =，00ln ln 4x x +=． ∴()()0
000000
8
2444ln 444ln 4x f x e
x x x x x =-+-=
-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
． 18244ln 4168ln 22⎛⎫
<+--=- ⎪⎝⎭
，()012x <<．
∴当1x >时，()168ln 2f x <-． 【点睛】
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
22、（1）4cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），()2
224x y -+=；（2）(
4, 【解析】
分析：（1）直线l 的参数方程为4cos 2sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），其中t 表示()(),,2,4P x y Q 之间的距离，而极坐标方
程4cos ρθ=可化为24cos ρρθ=，从而C 的直角方程为()2
224x y -+=.
（2）设()()11224cos ,2sin ,4cos ,2sin M t t N t t αααα++++，则12PM PN t t +=+ ，利用,M N 在圆上得到12,t t 满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和. 详解：（1）直线l 的参数方程为4cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）.
曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=可化为24cos ρρθ=. 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得
224x y x +=，即()2
224x y -+=.
（2）把直线l 的参数方程为4cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入圆的方程可得：()2
4sin cos 40t t αα+++=.
∵曲线C 与直线相交于不同的两点M N 、， ∴()2
16sin cos 160αα∆=+->， ∴sin cos 0αα>，又[)0,απ∈，
∴0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
.
又()124sin cos t t αα+=-+，124t t =.
∴1212PM PN t t t t +=+=+=4sin cos 4πααα⎛⎫
+=+
⎪⎝
⎭
， ∵0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴3,444πππα⎛⎫⎛⎫
+
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
∴sin 4πα⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
. ∴PM PN +
的取值范围是(
4,.
点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（α为直线的倾斜角，t 是参数），这样的
参数方程中的参数t 有明确的几何意义，它表示()()00,,,P x y Q x y 之间的距离. （2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是
利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=
⎪⎩
，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2
,cos ,sin ρρθρθ以便转化.。