2012高考数学函数奇偶性经典练习题(含答案)

函数奇偶性专练
一、判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）f （x ）=（x －1）·
x
x
-+11； （3）f （x ）=2
|2|12
-+-x x ；
（4）f （x ）=⎩⎨
⎧>+<-).
0()
1(),0()
1(x x x x x x
（5
）()f x =
（6
）()f x =（7）1cos sin ()1cos sin x x
f x x x -+=
++
（8
）()f x =
（9
）log )a y x =
（10）x x
y a a -=+ （11）x
x
y a a
-=-
（12）x x
x x a a y a a ---=+
（13）1
1
x x a y a -=+
（14）1log 1a
x
y x
-=+ （15
）log )a y x =
（16）2
122)(x
x x f ---=
（17）f （x ）＝x （
121-x
＋2
1
）
二、选择题
（1）．已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3
＋bx 2
＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 （2）．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．3
1
=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 （3）．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）
A ．y ＝x （x －2）
B ．y ＝x （｜x ｜－1）
C ．y ＝｜x ｜（x －2）
D ．y ＝x （｜x ｜－2） （4）．已知f （x ）＝x 5＋ax 3
＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10
（5）．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1=（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．１
D ．３
（6）．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，
16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是
（ ）A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 （7）.下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）
A.1
B.2
C.3
D.4
（8）.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是
A.f （cos α）＞f （cos β）
B.f （sin α）＞f （cos β）
C.f （sin α）＞f （sin β）
D.f （cos α）＞f （sin β）
（9） 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则
A.f （0）＜f （－1）＜f （2）
B.f （－1）＜f （0）＜f （2）
C.f （－1）＜f （2）＜f （0）
D.f （2）＜f （－1）＜f （0）
（10)已知二次函数f (x )＝x 2
－ax ＋4，若f (x ＋1)是偶函数，则实数a 的值为( )
A.－1
B.1
C.－2
D.2
（11)若函数f (x )＝x 2＋a
x
(a ∈R)，则下列结论正确的是 ( )
A.∀a ∈R ，f (x ) 在(0，＋∞)上是增函数
B.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C.∃a ∈R ，f (x )是偶函数
D.∃a ∈R ，f (x )是奇函数
（12）.已知函数f (x )＝ax 4＋b cos x －x ，且f (－3)＝7，则f (3)的值为( )
A.1
B.－7
C.4
D.－10
（13）.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98 (14).设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝1
2
，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ( )
A.0
B.1
C.5
2
D.5
(15)．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3 （16）定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝( )
A ．13
B ．2 C.13
2
D.213
（17）定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意α，β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A ．f (x )－1是奇函数
B ．f (x )＋1是奇函数
C ．f (x )－2010是奇函数
D ．f (x )＋2010是奇函数
（18）设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12
(1－x )，
则函数f (x )在(1,2)上( )
A ．是增函数，且f (x )<0
B ．是增函数，且f (x )>0
C ．是减函数，且f (x )<0
D ．是减函数，且f (x )>0
(19)．已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)4()(+-=-x f x f ， 当2>x 时，
)(x f 单调递增，若421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 （ ）
A ．恒大于0
B ．恒小于0
C ．可能等于0
D ．可正可负
(20)已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：
①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；
③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称；
④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确命题的个数为 （ ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
(21)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则
)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
（22）．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x
之和为( ) A ．－3 B ．3 C ．－8 D ．8
(23) 2．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )
A ．2
B ．－3
C ．－12 D.1
3
(24)函数y ＝log 22－x
2＋x
的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
三、填空题
（1）.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg
x
+11
，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.
(2)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 .
(3)．若y ＝（m －1）x 2
＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． (4)．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1
1)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解
析式为_______．
（5）已知函数f(x)定义域为R ，则下列命题：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y 轴对称；②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。

其中正确的命题序号为_______． (6)．定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于f(x)的判断： ①()x f 关于点P(
02
1
,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.
其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)
(7).已知f(x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图像对称轴是_______．
（8）已知定义在R 上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2)= -f(x)，且函数y=f(x-3/4)为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称；③函数f(x)为R 上的偶函数；④函数f(x)为R 上的单调函数。

其中真命题的序号是_______．
（9）关于y=f(x)，给出下列五个命题：
①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数；②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数； ③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数；④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x) 的图像关于直线x=1对称；⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称； 其中真命题的序号是_______．
(10)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x
)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．
(11)．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. (12)．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________． ①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；
②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数； ④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．
(13) 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知
]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .
(14) )已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0，给出下列命题：
①f (3)＝0；
②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．
其中正确．．命题的序号为________(把所有正确命题的序号都．
填上) (15) )已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫11
6的值为________． (16) )已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0,1]时，
f (x )＝2－x ，则f (－2005.5)＝________.
四.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．
五..已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a
是奇函数.
(1)求a 、b 的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.
六..函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.
七．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3.
(1)若a＝4，求当x∈[2,5]时函数f(x)的最大值；
(2)若函数f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
答案
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由
x
x
-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.
40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=
2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－x
x 2
1-=－f （x ），故f （x ）为奇函
数.
（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，
∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数.（5）（6）既奇且偶 （17）偶 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 2、选择题
（1）． A （2）．解析：由f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3
1
=
a ．故选A ． （3）．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，
∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2
＋2x ）＝－x 2
－2x ＝x （－x －2）． ∴,
,)0()0()
2()
2()(<≥---=⎩⎨
⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D
（4）解析：f （x ）＋8＝x 5
＋ax 3
＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A （5）A （6）D （7）A （8）B 解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.
（9）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.
∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.
（10）D （11）C （12）A 解析：设g (x )＝ax 4
＋b cos x ，则g (x )＝g (－x ).由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1.
（13）A 解析：由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12
＝2，∴f (7)＝－2.故选A. (14) C 解析：由f (1)＝12，对f (x ＋2)
＝f (x )＋f (2)，令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2).又∵f (x ) 为奇函数，∴f (－1)＝－f (1).于是f (2)＝2f (1)＝1；令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，于是f (5)＝f (3)＋f (2)＝52. (15)
C 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C （16）C 解析：由
f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，
周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝
13f (1)＝13
2
. （17） D 解析：依题意，取α＝β＝0，得f (0)＝－2010；取α＝x ，β＝－x ，得f (0)－f (x )－f (－x )＝2010，f (－x )＋2010＝－[f (x )－f (0)]＝－[f (x )＋2010]，因此函数f (x )＋2010是奇函数，选D. （18）解析：由题意得当x ∈(1,2)时，0<2－x <1,0<x －1<1，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝log 12
[1－(2－x )]
＝log 12
(x －1)>0，则可知当x ∈(1,2)时，f (x )是减函数，选D. (19) B (20)C (21) B （22）
C (23) C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝1
3，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )
(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－1
2.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝
1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1
f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4. (24)A
3、填空题
（1）解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg
x
-11
=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）(2) 3 (3) 0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2
＋2mx ＋3为偶函数， ∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．(4)解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得1
1
)()(--=-x x g x f ，
联立1
1)()(-=
+x x g x f ，∴1
1
)1111(21)(2
-=----=
x x x x f ．答案：
1
1)(2
-=
x x f (5) ②③⑤ (6) (1)(2)(4) （7）x=1/2
（8）①②③ （9）①③ (10) 设g (x )＝x ，h (x )＝e x
＋a e －x
，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x
＋a e －x
为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1. (11)-2 (12) ：①③ (13) 1)4x ()x (f 2
++-= (14) ①②④
[解析] ∵x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0，∴f (x )在[0,3]上递增．∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令
x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)，∴f (－3)＝0，∵f (x )为偶函数，∴f (3)＝0.①对．
∴f (x ＋6)＝f (x )．∴f (x )周期为6，画出示意图如下：
由图象知：②④正确，③不正确，故填①②④. (15)-2 (16) 1.5
[解析] 由条件知，f (－x ＋1)＋f (－x )＝3，∴f (x －1)＋f (x )＝3，∵⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (x ＋1)＋f (x )＝3f (x －1)＋f (x )＝3，
∴f (x －1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (x ＋2)，∴函数f (x )的周期为2.又∵f (x )是偶函数，
∴f (－2005.5)＝f (－2006＋0.5)＝f (0.5)＝2－0.5＝1.5. 4、f （x ）＝x 3
＋2x 2
－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．
当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3
＋2（－x ）2
－1＝－x 3
＋2x 2
－1， ∴f （x ）＝x 3
－2x 2
＋1．
因此，.
)0()0()0(1
20
12)(,,2323
<=>+--+=⎪⎩⎪
⎨⎧x x x x x
x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 5解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，
即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋1
4＋a ＝－－1
2＋11＋a ，解得a ＝2.
故a ＝2，b ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1.
由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数. 又因f (x )是奇函数，
从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0
等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ). 因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ， 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0. 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－1
3
.
6（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.
令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组
⎩
⎨
⎧≤-+>-+64)62)(13(,
0)62)(13(x x x x 或⎩
⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x
或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>53
7,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x
∴3＜x ≤5或－
37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3或3＜x ≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
7. [解析] (1)当a ＝4时，f (x )＝x |x －4|＋2x －3.
若2≤x <4，则f (x )＝－x 2＋6x －3＝－(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，f (x )有最大值是f (3)＝6. 若4≤x ≤5，则f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴当x ＝5时，f (x )有最大值f (5)＝12. 故当x ∈[2,5)时，f (x )的最大值是12.
(2)由于f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－(a －2)x －3 x ≥a
－x 2＋(a ＋2)x －3 x <a
11 依题意，f (x )是R 上的增函数⇒⎩⎨⎧
a －22≤a a ＋22≥a ⇒－2≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是－
2≤a ≤2.。