四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三9月月考——数学

四川省成都市龙泉驿区第一中学校
2019届高三9月月考
数学（理）试题
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.设全集,集合,∁U 则实数的值是
A.2
B.8
C.-2或8
D.2或8 2．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则 A ． B ． C ． D ．
3.设A ＝{}x |x 2
－x －2<0，B ＝{}0，a ，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是
A. ()－1，2
B. ()－1，0∪()0，2
C. ()－∞，－1∪()2，＋∞
D.()0，2 4.设等差数列的前项和为，若，则中最大的是 A ．
B ．
C ．
D ．
5.甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 A ．210
B.84
C.343
D.336
6.设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C ，2tan B 依次成等差数列，则sin 2B ＝
A. 1
B.－45
C.45
D.±4
5
7．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．
D ．
8.下列命题为真命题的个数是
①；②；③；④
A.1
B.2
C.3
D.4 9.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是 A. B. C. 2x D.
10.已知函数()1,2,
{
2log ,2
a x x f x x x -≤=+>且的最大值为,则的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知函数图象的两相邻对称轴间的距离为．若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，则在下列区间上为减函数的是 A. B. C. D. 12.设函数()=-
-21
2ln 2
f x x mx nx ，若是的极大值点，则的取值范围为 A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .
14.若，满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
，则的最小值为 ．
15.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n+1-a n =sin 错误！未找到引用源。

,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2
017=
.
16.设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到
椭圆上点的最大距离为，则分别以为实半轴长和虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线
标准方程为.
三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知在数列中，，且．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和
18.（本题满分12分）光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.
(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；
(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？
19．（本题满分12分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求AE 的长度．
20．（本题满分12分）已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求函数f (x )的值域．
21.（本题满分12分）设函数12
1
1)(,ln )(--=
--=x e
x x g x a ax x f ,其中, e=2.718…为自然对数的底数.
(I)讨论的单调性； (II)证明：当x>l 时， >0；
(Ⅲ)如果>在区间（1，+∞)内恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程； （2）已知，，圆上任意一点，求面积的最大值.
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．
成都龙泉中学2016级高三9月月考试题
数学（理工类）参考答案
1—5 DCBBD 6—10 CADDA 11—12 DA
13.14. 6 15. 1009 16.
17.【答案】（1）．（2）．
【解析】试题分析：(Ⅰ)根据叠乘法求解数列的通项公式；(Ⅱ)根据裂项相消法求解数列的前项和．试题解析：（1）∵，∴，
∴．
（2）因为==，
所以==
18.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)元.
【解析】试题分析：（1）频率近似概率及古典概型可求得，由样本估计总体和，可知服从二项分布，EX=np.(2)由样本期望估计总体期望，得该自然村年均用电量约156 000度.
由剩余电量可求得收益。

试题解析：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则.
由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故.
(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得
则该自然村年均用电量约156 000度. 又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.
(2)解：以O 为原点，以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1，0，3)．
设AE ＝a ，则E (1，0，a )，
所以OF →＝(－1，0，3)，DB →＝(0，23，0)，EB →
＝(－1，3，－a )，
20.解：(1)f (x )＝2sin x ·
⎝⎛⎭
⎫32sin x ＋12cos x
＝3×1－cos 2x 2＋12
sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3
2. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z ，
所以函
数
f (x )的单调
递增区间是
⎣⎡⎦
⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.
21．【解】：（Ⅰ）()2121
2(0).ax f x ax x x x
-=-=
>' <0，在内单调递减. 由=0有.
当时， <0，单调递减； 当时，＞0，单调递增. （Ⅱ） 令=，则=.
当时，＞0，所以单调递增，又，， 从而时， =＞0.
（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0. 当，时， =.
故当＞在区间内恒成立时，必有. 当时，＞1. 由（Ⅰ）有,而，
所以此时＞在区间内不恒成立. 当时，令=（）.
当时， =122111112e x
ax x x x x x x --+->-+-=3222
21210x x x x x x
-+-+>>. 因此，在区间单调递增.
又因为=0，所以当时， =＞0，即＞恒成立. 综上，.
22.【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析：直角坐标系与极坐标系的转换时满足关系式
，圆的直角坐标方程为，
将其中的利用前面的关系式换作，即可得到极坐标方程；
先求出点到直线：的距离，再求的面积，然后求最值。

解析：（1）圆的参数方程为（为参数）
所以普通方程为.
圆的极坐标方程：.
（2）点到直线：的距离为
的面积
所以面积的最大值为
23.【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）零点分段求解不等式的解集即可；（2）结合题意和绝对值三角不等式的性质整理计算即可求得最终结果．
试题解析：（1）当时，，
①当时，，由，解得，所以；
②当时，恒成立，所以；
③当时，，由，解得，所以；
综上所述，不等式的解集为．
（2）若对任意的，都有，使得成立，
设，，则，
因为，
，
所以，解得或，
因此，实数的取值范围为．。