2019高中数学 模块综合测评 新人教A版选修1-2

模块综合测评
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2
－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
【导学号：48662218】
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1
B [由题意知，⎩
⎪⎨⎪⎧
m m ＋＝0m 2
－1≠0，∴m ＝0.]
2．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12
x 是对数
函数，所以y ＝log 12
x 是增函数”所得结论错误的原因是( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．大前提和小前提都错误
A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]
3．i 是虚数单位，复数1－3i
1－i
的共轭复数是( )
【导学号：48662219】
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1＋2i
D ．－1－2i
A [∵1－3i 1－i ＝
－＋－
＋
＝
4－2i 2＝2－i ，∴1－3i
1－i
的共轭复数是2＋i.] 4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]
5．实数的结构图如图1所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )
【导学号：48662220】
图1
A ．有理数、零、整数
B ．有理数、整数、零
C ．零、有理数、整数
D ．整数、有理数、零
B [由实数的包含关系知B 正确．]
6．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表，下列结论正确的是( )
关”；
B ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；
C ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
D ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”．
A [K 2
＝－
2
30×70×50×50
≈4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超5%过的前提下，
认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．]
7．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2
在复平面内对应的点位于( )
【导学号：48662221】
A ．第一象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第四象限
D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12在第四象限．]
8. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^
＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A ．83%
B ．72%
C ．67%
D ．66%
A [由(x,7.765)在回归直线y ^
＝0.66x ＋1.562上．
所以7.765＝0.66x ＋1.562，则x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4
×100%≈83%.]
9．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则
AG GD
＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A ­BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG G
D ＝2类比AO OM
＝3，故选C.] 10．如图2所示的程序框图是为了求出满足3n
－2n
>1 000的最小偶数n ，那么在和
两个空白框中，可以分别填入( )
【导学号：48662222】
图2
A ．A >1 000和n ＝n ＋1
B ．A >1 000和n ＝n ＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
D[因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以
内填入“A≤1 000”．
故选D.]
11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
D[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]
12．如图3所示，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为( )
【导学号：48662223】
图3
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2D．n
B[第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
“性别与喜欢数学课之间有关系”.
【导学号：48662224】[答案]97.5%
14．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔，多少鸡？”其解答流程图如图4所示，空白部分应为________．
图4
[答案]解方程组
15．若复数z＝
1
a＋5
＋(a2＋2a－15)i为实数，则实数a的值是________.
【导学号：48662225】
3[若复数z＝
1
a＋5
＋(a2＋2a－15)i为实数，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧a2＋2a－15＝0
a＋5≠0
，解得a＝3.]
16．观察下列不等式
1＋1
22<
3
2
，
1＋1
2＋
1
3
<
5
3
，
1＋1
22＋
1
32
＋
1
42
<
7
4
，
……
照此规律，第五个不等式为________．
1＋1
22＋
1
32
＋
1
42
＋
1
52
＋
1
62
<
11
6
[左边的式子的通项是1＋
1
22
＋
1
32
＋…＋
1
n＋2
，右边式子
的分子是分母的2倍减1，还可以发现右边分母与左边最后一项分母相等，所以第五个不等
式为1＋1
22＋
1
32
＋
1
42
＋
1
52
＋
1
62
<
11
6
.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0用分析法证明：a＋b
2
≥
2ab
a＋b
.
[证明]因为a>0，b>0，
要证
a ＋b
2
≥
2ab
a ＋b
， 只要证，(a ＋b )2
≥4ab ，只要证(a ＋b )2
－4ab ≥0， 即证a 2
－2ab ＋b 2
≥0，
而a 2
－2ab ＋b 2
＝(a －b )2
≥0恒成立， 故
a ＋b
2
≥
2ab
a ＋b
成立． 18．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数
z
2＋i 的虚部.
【导学号：48662226】
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，得出x 2
＋y 2
－i ＝x －y i
＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨
⎧
x 2＋y 2＝x ＋2
3－y ＝－1
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝4，
∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i
2＋i
＝2＋i ，虚部为1.
19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单
位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x
2
i
＝720.
(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． [解] (1)由题意知， n ＝10，x ＝
1
n ∑i ＝1
n
x i ＝80
10
＝8，
y ＝
1
n ∑i ＝1
n
y i ＝20
10
＝2，
b ＝
184－10×8×2720－10×8＝
24
80
＝0.3， a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.
(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：
(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码；
(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩；
(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．
试画出该远程教育学院网上学习流程图.
【导学号：48662227】
[解] 某大学远程教育学院网上学习流程图如图所示：
21. (本小题满分12分)复数z ＝
＋
3
a ＋b
1－i
且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，
若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
[解] z ＝
＋
2
＋
1－i
(a ＋b i)＝－2a －2b i.
由|z |＝4得a 2
＋b 2＝4，①
因为复数0，z ，对应的点构成正三角形， 所以|z －z |＝|z |.
把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2
＝3b 2
，② 代入①得，|b |＝1.
又因为Z 点在第一象限，所以a <0，b <0. 由①②得⎩⎨
⎧
a ＝－3，
b ＝－1，
故所求值为a ＝－3，b ＝－1.
22．(本小题满分12分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，
人，抽到肥胖的学生的概率为4
15
.
(1)请将上面的列联表补充完整．
(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生(其中有2名女生)中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到1男1女的概率是多少？
【导学号：48662228】
[解] (1)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则x ＋2
30＝4
15
，解得x ＝6. 列联表如下：
(2)由已知数据可得K 2
＝10×20×8×22
≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为
肥胖与常喝碳酸饮料有关．
(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，则任取2人有AB ，AC ，
AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中是1男1女的有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种，
故正好抽到1男1女的概率P ＝8
15.。