圆锥曲线中的弦长、三角形和四边形面积问题(考题猜想,易错必刷3大题型)(原卷版)25年高二数学上学期

圆锥曲线中的弦长、三角形和四边形面积问题
（易错必刷3大题型）
【题型一：弦长问题】一、解答题
1．（23-24高二下·吉林长春·开学考试）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线24y x =的焦
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M ，N 两点，8MN =，求直线方程．
2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF =，求线段AB 的长．
3．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =
点(2,．(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的左焦点1F 作斜率为1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求AB ．
4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
())
12
12,,4F F MF MF -=，动点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)若直线3
:4
l y x t =-+交C 于,A B 两点，且AB =，求直线l 的方程．
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长为2(1)求C 的方程和焦点坐标；
(2)设C 的右焦点为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为3，求AB ．
6．（23-24高二上·河南新乡·期中）已知椭圆22
:1124x y C +=，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．
(1)若弦AB 被点(),1m -平分，且直线l 的斜率为1m -，求m ；(2)若直线l 的方程为1x my =+，求弦AB 的长（结果用m 表示）．
7．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知点P 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，记点P 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；
(2)过点F 的直线与C 交于,A B 两点，且2AF FB =uuu r uuu r
，求AB ．
8．（2024·安徽·一模）已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b -=>>的离心率为2.且经过点()2,3.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ×=uuu r uuu r
（点O 为坐标原点），求AB 的取值范围.
9．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：，以椭圆C 的四个顶点为顶
点的四边形的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 是圆22
3
4
x y +=
的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB 的最大值．
【题型二：三角形面积问题】一、解答题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知12,F F 分别为双曲线22:14
x
C y -=的左，右焦点，过双曲线C 左顶点
A 的直线l 与圆22:(1)(1)5E x y -+-=相切.
(1)求直线l 的方程；
(2)若直线l 与双曲线交于另一点,P 求12PF F V 的面积.
2．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知(2,P 为抛物线()2
:20C y px p =>上一点，经过点P 且斜
率为k 的直线l 与C 的另一个交点为A ，与l 垂直的直线AB 与C 的另一交点为B ．(1)若直线l 经过C 的焦点F ，求直线l 的方程；
(2)若直线PA 与直线PB 关于2x =对称，求PAB V 的面积．
3．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值．
4．（24-25高三上·河北保定·开学考试）已知双曲线22
22Γ:1(0,0)x y a b a b -=>>的实轴长为4，离心率32e =.
(1)求Γ的方程；
(2)过Γ上任意一点作圆221x y +=的切线l ，求切线l 斜率最大时，l 与Γ的渐近线围成的三角形面积.
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>过点且()0b c c =>.(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，111
2AF BF ×=uuur uuu r ，求1ABF V 的面
积.
6．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知椭圆22
22:1(0)43x y C a a a
+=>的右焦点为F ，直线:40l x y +-=.
(1)若F 到直线l 的距离为a ；
(2)若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且ABO V 的面积为
48
7
，求a ；
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知O 为坐标原点，P 是圆()222
:21401A x y x a a +++-=>上一点，且
()10B ,，线段PB 的垂直平分线交线段PA 于点M ，设动点M 的轨迹为曲线C ，且曲线C 与直线y =(1)求C 的方程；
(2)过点()0,4且斜率为k 的直线l 与曲线C 交于,D E 两点，求ODE V 面积的最大值．
8．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，点F (0，1)，P 为动点，以PF 为直径的圆与x 轴相切，记Р的轨迹为G .(1)求Р的方程；
(2)设M 为直线1y =-上的动点，M 的直线与Р相切于点A ，过A 作直线MA 的垂线交G 于点B ，求MAB V 面积的最小值．
9．（24-25高三上·全国·单元测试）已知抛物线2:2(0),C x py p C =>的焦点是F ．(1)若过原点O 作两条直线交曲线C 于,A B 两点，且OA OB ^，求证：直线AB 过定点；
(2)若过曲线C 上一点()2,1P 作两条直线交曲线C 于,A B 两点，且0FA FB ×=uuu r uuu r ，求AFB △的面积的取值范围．
【题型三：四边形面积问题】一、解答题
1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()0,P x p 在抛物线C
上，()1,0Q -，1FP FQ =+.(1)求C 的方程.
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与C 相交于M ，N 两点，若l 的斜率为1，求四边形AMBN 的面积.
2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，
点P 为椭圆C 上任意一点，且12PF F V 的周长为6+．(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线1:l y x =2:l y x =C 于,A B 和,C D 两点，求四边形ABCD 的面积．
3．（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一
个焦点到 E 上的点的最小距离为 2．(1)求E 的方程；
(2)已知直线2l y x =-：与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ,B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ,C ,求四边形ABCD 的面积.
4．（23-24高二上·湖南·期中）椭圆E：
22
1
43
x y
+=的左、右焦点分别为1F，2F.过1F作直线1l交E于A，B
两点.过2F作垂直于直线1l的直线2l交E于C，D两点.直线1l与2l相交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求四边形ACBD面积的取值范围.
5．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆
22
:1
43
x y
C+=的左、右焦点,
F F
₁₂作两条平行直线，与C
在x轴上方的曲线分别交于点,P Q．
(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
(2)求四边形12
PF F Q的面积的最大值．
6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆2
2:12
y T x +=，其上焦点F 与抛物线K 的焦点重合.若过点F 的直线l 交椭圆T 于点,A B ，同时交抛物线K 于点,C D （如图1所示，点,A C 在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.
(1)求抛物线K 的标准方程，并证明AC BD <；
(2)过点F 与直线l 垂直的直线EG 交抛物线K 于点,E G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.
7．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆22
:11612
x y E +=的左右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上，且在第一象限内，满足15AF =.
(1)求12F AF Ð的平分线所在的直线l 的方程；
(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点，且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ，
若四边形1234P P P P 的面积最大时，求双曲线M 的标准方程.
8．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，双曲线()2
22:11y x m m G -=>，过原点O 的直线12,l l 与双曲线G
分别交于A 、C 、B 、D 四点，且12l l ^．
(1)若m ，P 为双曲线G 的右顶点，记直线PA 、PB 、PC 、PD 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ，求1234k k k k 的值；
(2)求四边形ABCD 面积的取值范围．
9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C ：()22211x y a a +=>椭圆C 的动弦AB 过椭圆C 的右焦点F ，当AB 垂直x 轴时，椭圆C 在A ，B 处的两条切线的交点为M ．
(1)求点M的坐标；
(2)若直线AB的斜率为1
m
，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为
2
m
-，直线NF与
椭圆C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．。