高一秋季第8讲.三角函数公式强化.初稿.目标班

1
当前形势
三角函数在近五年北京卷(理)考查11～18分
高考 要求
内容
要求层次 具体要求
A B C 任意角的概念与弧度制 √ 了解任意角的概念和弧度制． 弧度制与角度制的互化
√ 能进行弧度与角度的互化． 任意角的正弦、余弦、正切的定义； 用单位圆中的三角函数线表示任意角的
正弦、余弦、正切
√
借助于单位圆理解任意角三角函数的定义．
同角三角函数的基本关系式
√ 理解同角三角函数的基本关系式． 诱导公式
√
借助于单位圆中的三角函数线推导出诱导公式．
北京 高考 解读 2009年 2010年 （新课标） 2011年 （新课标） 2012年 （新课标） 2013年 （新课标） 第5题5分 第15题⑴6分
第15题13分
第15题13分
第15题13分
第3题5分 第15题13分
新课标剖析
满分晋级
第8讲 三角函数 公式强化
三角函数5级 三角函数公式强化
三角函数4级
正弦定理与 余弦定理
三角函数6级 正弦型函数的图象
与性质
2
<教师备案> 我们在暑假预习时只预习了必修1的内容，没有预习必修4，但必修4我们有四讲预习：
《角的扩充与三角函数的定义》、《基本关系与诱导公式》、《三角函数的图象性质及简单运用》、《向量基本概念与运算》．如果学生普遍进度偏慢，我们会给老师发放预习讲义的随材．这里，我们会在知识点睛中配上少量的题，供老师复习知识点．
考点1． 任意角与弧度制
1．角的概念的推广
⑴ 角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形． ⑵ 角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）． ⑶ 在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上， ① 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角； ② 若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限． ⑷ 终边相同的角的集合
所有与α终边相同的角构成的集合{|360}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，．
练习1：1．判断下列角的终边所在的象限或位置：①600︒；②225-︒；③1200︒；④90-︒；
2．与2130-︒的角终边相同，绝对值最小的角的大小是_____． 3．①终边在y 轴的正半轴上的角的集合为_______________． ②终边在y x =-上的角的集合为________________．
【解析】 1．①第三象限；②第二象限；③第二象限；④y 轴负半轴；
2．30︒；
3．①{|36090}k k αα=⋅︒+︒∈Z ，；②{|18045}k k αα=⋅︒-︒∈Z ，．
2．弧度制和弧度制与角度制的换算
⑴ 角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制．
⑵ 1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
任一已知角α的弧度数的绝对值l
r
α=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制．
⑶ 弧度与角度的换算：180πrad ︒=，1801rad 57.305718π⎛⎫
'=︒≈︒=︒ ⎪⎝⎭
．
<教师备案> 在弧度制中，我们需要注意两点：
知识点睛
8.1三角函数的定义
3
①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；
例如：终边与π6终边相同的角的集合不能写成π|3606k k ββ⎧⎫
=+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭
Z ，；
② 弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用
区间表示，如π02α⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用
[090]︒︒，表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．
1．将下列角度与弧度互化：
π12；2π5；5π6
；4
π3；15︒；225︒；120-︒；1080︒； 2．判断下列角对应的象限：
4π5；2π3
-；111π4；20π3-；1；2；3；4；5；6．
【解析】
1．15︒；72︒；150︒；240︒；π12；5π4；2
π3
-；6π． 2．二、三、四、三、一、二、二、三、四、四．
备注：要确定角的终边所在位置，对于角度制学生比较熟悉，对于由弧度制给出的角，学生通
常是选转化成角度制，再进行判断的．如：157.3≈，第一象限；2114.6≈，第二象限；3171.9≈，在第三象限；...．这时可以引导学生建立实数直接对应角的概念，直接通过弧度去判断角所在象限，如下图，我们把坐标轴对应的角的弧度数直接标明，再通过所给角与坐标轴表示的角比大小即可确定．
2π≈6.28
2
≈4.71π≈3.14π≈1.57
<教师备案> 考虑到扇形中的计算公式难度不大，应用面也不广，我们在同步时略去不再讲解．
<教师备案> 我们从初中的0︒到360︒的角扩充到任意角，有些在初中正确的说法在高中不再正确，例
1⑴考查任意角的相关概念，例1⑵考查终边相同的角的集合的写法．终边在同一射线上的角相差2π的整数倍，终边在同一直线上的角相差π的整数倍．
【例1】 ⑴下列命题正确的是 ．
①终边相同的角必相等； ②小于90︒的角是锐角； ③锐角都是第一象限的角；
④三角形的内角一定是第一象限或第二象限的角；
经典精讲
4
⑤终边在同一直线上的角相差()πk k ∈Z ． ⑵
（目标班专用）填空：角α
终边经过点(1P ，
① 终边与α终边互为反向延长线的角的集合是________________； ② 终边与α的终边在同一直线上的角的集合是_______________； ③ 终边与α的终边垂直的角的集合是_______________．
【解析】 ⑴ ③⑤
①相差2πk ；②还有负角与零角；④直角位于y 轴正半轴．
⑵ ①()π|21π3k k ββ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭Z ，；②π|π3k k ββ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，；③5π|π6k k ββ⎧⎫
=
+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，
【拓展】⑴终边与π
4
-终边垂直的角的集合为 ．
⑵终边与π
4
-终边关于x 轴对称的角的集合为 ．
⑶终边与π
4
-
终边关于y =对称的角的集合为 ．
【解析】
⑴πππ|ππ424k k k ββ⎧⎫=-++=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，；⑵π1|()2π2ππ44k k k ββ⎧⎫
=--+=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，； ⑶2ππ11|2π2ππ3412k k k ββ⎧⎫⎛⎫=
--+=+∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
Z ，．
<教师备案> 确定角的终边所在的象限对于后面的诱导公式的符号的确定非常重要，例2⑴可以从角
的旋转与终边对称的角度出发去思考．两个角的和为定值的，关于和的一半所对应的角
的终边所在的直线对称，如α与πα-关于π
2
的终边所在的直线即y 轴对称，而α与α-关
于x 轴对称．另一方面π2
α+可以理解成α的终边逆时针旋转π
2个角度，如果α是第k 象
限的角，则π2α+是第1k +象限的角（15k +=时对称第一象限），同理π
2
α-在第1
k -象限（10k -=时对应第四象限）．
【例2】
⑴（目标班专用）若α是第二象限角，确定下列角的终边所在的象限： α-；πα-；πα+；πα-；π2α-
；π2α+；π2
α-；3π2α+；3π
2α-．
⑵若α是锐角，那么2α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．小于π的正角
⑶若α是第一象限角，则2α，3
α
是第几象限角？
【解析】 ⑴三、一、四、四、一、三、四、一、二．
⑵ D
因为π
02
α<<，所以02πα<<．注意学生容易错选C ．
5
⑶
2α是第一或第三象限角；3
α
是第一、第二或第三象限角． α是第一象限角，故π2π2π2k k k α<<+∈Z ，，从而π
ππ24
k k k α<<+∈Z ，，
当2k n =时，2α是第一象限角；当21k n =+时，2α
是第三象限角；
同理有2π2ππ
3336
k k k α<<+∈Z ，， 当3k n =时，3α在第一象限；当31k n =+时，3α
在第二象限；
当32k n =+时，3
α
在第三象限．
几何法也可以解决此类问题．
将单位圆在第一象限的圆弧分成两等份，（2是
2
α
的分母）， 再将第二、三、四象限的圆弧2等分，
逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止， 则有标号1的（1指的是α所在的象限）就是2
α
所在的象限． 如图所示：
2
α
在第一、三象限． 其实，把一个角除以2之后，原来在四个象限中的角就分别对应到在的1234，
，，四块区域中，因为原来的角相差2π终边相同，故对应的区域有两块．
同理，将单位圆在第一象限的圆弧分成三等份，
（3是
3
α
的分母）再将第二、三、四象限的圆弧3等分， 逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，
则有标号1的（1指的是α所在的象限）就是3
α
所在的象限．
如图所示：3
α
在第一、二、三象限．
考点2：三角函数的定义
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原
点的距离为(0)r r =>，那么 ⑴ 比值
y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； ⑵ 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x
r
α=；
知识点睛
6
⑶ 比值
()0y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan y x
α=．
<教师备案> 除了这三个常用的三角函数外，还有另外三个三角函数：余切（cot α）、正割（sec α）、
余割（csc α），它们的定义分别为：cot x y α=(0)y ≠，sec r
x
α=（0x ≠），
csc r
y
α=(0)y ≠．它们的符号分别与正切、余弦与正弦的符号相同．
2．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：
① 正弦值y
r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（00y r <>，
）； ② 余弦值x
r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（00x r <>，
）； ③ 正切值()0y
x x
≠对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（x y ，异号）．
三角函数的符号有很多记忆的口诀，可以介绍并用来活跃一下课堂气氛．
如：⑴ 一全正、二正弦、三两切（或三正切）、四余弦；是从哪个象限的三角函数名为正出发的；
⑵ 七言绝句的一句：塞（S ）上靠（C ）右探（T ）对角（sin 上面两个象限为正，cos 右边两个象限为正，tan 对角两个象限为正）；
⑶ 还有人总结成一个字“才”，按笔画顺序分别对应：一横对应正弦，一竖对应余弦，一撇对应正切．
三角函数的符号从定义非常容易得到，但需要通过练习熟悉掌握，本讲很多内容都属于基本功范畴，如特殊角的弧度数与三角函数值，需要深入骨髓，非常非常熟练才行．
<教师备案> 三角函数的定义是在初中的锐角三角函数定义基础上的推广，与初中的定义是融洽的．初
中正弦的定义是对边比斜边，余弦的定义是邻边比斜边，正切的定义是对边对邻边，是在直角三角形中解决的，而现在定义的三角函数值对于象限角来说仍然可以借助于直角三角形，再加上符号．
但如果终边落在坐标轴上，那么就只能用定义求出三角函数值，对这类角的三角函数值学生会有个熟悉过程，可以通过下面的练习3让学生练习一下．
ππππsin 0cos0tan 0sin cos sin cos sin πcos πtan π2222⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，，，，，．
【解析】
010*******--，，，，，，，，，．
7
【铺垫】⑴ 已知角θ
的终边经过点12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，那么sin θ= ；cos θ= ；tan θ= ． ⑵ 若1
cos 3
θ=，且角θ的终边经过点()4x -，，则θ是第 象限角，x = ， sin θ= ，
tan θ= ． 【解析】 ⑴ 12
；
；．
⑵ 四，
-
依题意有22213
4x r y x y r ⎧=⎪⎪=-⎨⎪+=⎪⎩
，解得x r ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以sin y r θ==
，tan θ=-
【例3】 ⑴已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离比为7:24，求2s
i n c o s αα+的值． ⑵已知角α的终边是射线3(0)y x x =-≤，求tan α与sin cos αα⋅的值．
⑶（目标班专用）角α的顶点为坐标原点，终边在直线2y x =上，且sin 0α<，若()P m n ，是α
终边上的一点，且||OP =m n -的值．
【解析】
⑴ 由已知可得7
24
y x
=
，设()247P ，或()247P -，或()247P -，或()247P --，， ∴25r =，则724
sin cos 2525αα=±
=±，， ∴2sin cos αα+=3825或25
或25-或38
25-．
⑵ 在终边上取一点(13)-，
，则sin cos αα=
=，tan 3α=-，3
sin cos 10αα=-． ⑶ ∵角α终边在直线2y x =上，且sin 0α<．∴002.n m n m <⎧⎪
<⎨⎪=⎩
，，
∵||OP =∴22255m n m +==，∴1
2m n =-⎧⎨=-⎩
，∴1m n -=．
【例4】 ⑴
已知点()tan cos P αα，
在第三象限，则角α在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
⑵若三角形两内角αβ，满足sin cos 0αβ⋅<，则此三角形为（ ）
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．不确定 ⑶若3θ=，下列函数值中为负的是( )
A ．cos 2θ
B ．cos2θ
C ．cos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．sin 2θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
经典精讲
8
⑷sin1cos3tan5的值（ ）
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不存在
⑸
（目标班专用）设θ是第二象限角，则点()()()sin cos cos cos P θθ，在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
⑹（目标班专用）若sin |cos |
0|sin |cos θθθθ
+=，则()()sin cos cos sin θθ⋅的值（ ）
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不确定，与θ有关 【解析】
⑴ B 依题意，tan 0α<，且cos 0α<． ⑵B
αβ∵，是三角形的内角，0παβ<<∴，
，sin 0α>∴，即cos 0β<，β∴为钝角. ⑶ D
3θ=为第二象限角，26θ=为第四象限角，322θ=为第一象限角，3
22
θ-=-为第四象限角．
故只有选项D ，sin 02θ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
．
⑷ B
π3π
013π52π22
<<<<<<，，∴sin10cos30tan50><<，
，． ⑸ B
∵θ是第二象限角，∴1cos 0θ-<<，角cos θ在第四象限内． 故()sin cos 0θ<，()cos cos 0θ>．所以点P 在第二象限．
⑹ D ；
cos sin 0sin cos θθθθ
+=sin cos θθ⇔，异号θ⇔为第二或第四象限角 ①若θ是第二象限角，则cos 0sin 0θθ<>，，又由正余弦函数的定义知1sin cos 1θθ-≤≤，．
故1cos 0θ-<<，将它看成一个弧度数，cos θ为第四象限角，从而sin(cos )0θ<； 同理0sin 1θ<<，为第一象限角，故cos(sin )0θ> 所以，当θ是第二象限角时，sin(cos )cos(sin )0θθ⋅< ②若θ是第四象限角，类似讨论得sin(cos )0cos(sin )0sin(cos )cos(sin )0θθθθ>>⇒⋅>，．
考点（目标班专用）：三角函数的定义的进一步挖掘
<教师备案> 从三角函数的定义中可以得到一些代数关系，包括三角函数的有界性、不同范围的角的正弦值与余弦值的大小关系、包括后面的同角三角函数的基本关系式．这些内容在讲完三角
函数的图象时，会从图象角度去理解，现在也可以从单纯的三角函数定义的角度去思考．
此考点仅限目标班，结合三角函数的定义与特殊角的三角函数值，提出sin x 与cos x 的有界性，即1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤．紧接着是后面的目标班的专用版块——单位圆的三角函数线，利用三角函数线能更直观的解决更多与三角函数相关的不等式问题． 对于尖子班，这些内容会等到下一讲正弦函数与余弦函数的图象时再提出．
【例5】 ⑴
函数y = ）
A ．π2π2ππ2k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，，
B ．π2π(21)π2k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，
，
9
C ．ππ(1)π2k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，， D ．[]2π(21)πk k k +∈Z ，，
⑵若方程22sin 10x x θ++=有实根，求角θ的所有可能的取值．
【解析】 ⑴ B
定义域需满足sin 0x ≥且cos 0x ≤，再结合定义可得到x 的取值范围．
⑵ 一元二次方程有实根0⇔∆≥，即()2
2sin 40θ-≥，而sin 1θ≤，则2sin 1θ=，∴角θ
的终边在y 轴上．即所求角θ的集合为π|π2k k θθ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，．
【拓展】已知θ
为锐角，用三角函数的定义证明：1sin cos θθ<+．
【解析】 在角θ的终边上任取一点(),P x y
（异于原点），则sin θ=
cos θ=
∵θ为锐角，∴0x >，0y >．
∵()2
0x y -≥，∴()()2
22222x y x y x y +<++≤．
x y <+
∵sin cos θθ+=
∴1sin cos θθ<+．
考点（目标班专用）：三角函数线
1． 单位圆：一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．
<教师备案> 如下图，角α的终边与单位圆交于点()P x y ，．过P 作x 轴的垂线，垂足为M ．过点
(10)A ，作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T ．根据三角函数的定义，我们有：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==；|||tan
|
AT α=
．
坐标轴是规定了方向的直线，直角坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关．因此一个自然的想法就是以坐标轴的方向来规定线段OM MP ，的方向，以使它们的取值与P 点的坐标联系起来．
知识点睛
单位圆与三角函数线
10
当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点，M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，
OM 的方向为正，
且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负，且有负值x ．其中x 为P 点的横坐标．所以无论哪一种情况都有cos OM x α==．同理，可以得到，无论哪
一种情况都有sin MP y α==；tan y
AT x α==．
有向线段：像MP ，OM ，AT 这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．
2．与单位圆有关的有向线段，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线．
<教师备案> ① 三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线
在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外．
② 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指 向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．
③ 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
利用三角函数线就可以解决一些与三角不等式相关的问题：
1
sin 2α>的角α的范围．
⑵在单位圆中，利用三角函数线求出满足1
sin 2
≤α的角α的范围．
【解析】 ⑴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，． ⑵如图所示，5π132ππ2π66k k k α
α⎧⎫
++∈⎨⎬⎩⎭
Z ≤≤，．
12
【铺垫】已知π02α⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，试证明：sin tan ααα<<．
【解析】 作出单位圆如图，所以
12OAP S OA MP =⋅△，2
12OAP S OA α=⋅扇形，12
OAT S OA AT =⋅△．
又OAP OAT S S
S <<△△扇形，
经典精讲
所以
2
111222OA MP OA OA AT α⋅<⋅<⋅． 因此sin tan ααα<<．
【例6】 ⑴
已知α为锐角，求证：π1sin cos 2
αα<+<
． ⑵若α∈()0,2π，求使sin cos αα>成立的α的取值范围．
【解析】 ⑴ 如图，设角α的终边与单位圆相交于点(,)P x y ，
过P 作PM x ⊥轴，PQ y ⊥轴，,M Q 为垂足，连结AP ，BP
∵sin y α=，cos x α=，在OPM ∆中，PM OM OP +>， ∴sin cos 1αα+>．
∵111
sin 222POA S OA PM y α=⋅==△，
111
cos 222POB S OB PQ x α=⋅==△
211
π1π44
OAB S =⨯=扇形，而OAP OPB OAB S S S ∆∆+<扇形
∴111sin cos π224αα+<,即πsin cos 2
αα+<， 故π
1sin cos 2
αα<+<．
⑵ 由三角函数定义结合三角函数线，在(0,2π)内，
使sin cos αα>成立的α的取值范围是π5π,4
4⎛⎫
⎪⎝⎭．
【点评】 可根据三角函数线快速写出正余弦大小关系所对应的角的终边范围，从而写出角的范围．
【拓展】以下命题正确的是（ ）
A ．αβ，是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ>
B ．αβ，是第二象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>
C ．αβ，是第三象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ>
D ．αβ，是第四象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>
【解析】 D
如图，设12P P ，是角的终边与单位圆的交点，过12P P ，
分别作x 的垂线12P M P N ，．则12MP NP ，
分别为二角的正弦线，OM ，分别为余弦线．由于αβ，值越大，从而1OP 为α的终边，2OP 为β的终边，显然sin sin αβ<故A 不正确．同理可知，Ｂ，Ｃ错，Ｄ正确．
【拓展】a b c ，，均属于区间π02⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，且满足cos a a =，()sin cos b b =，A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<
【解析】 C
对于任意π02α⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，如图，在单位圆中，sin AC α=，AB 的长度为α，
而OAB OAB S S ∆<扇形，即11
sin 22
αα<，∴sin αα<，
结合三角函数图象，可知，对任意π
02
αβ<<<，
有cos cos sin sin αβαβ><，，
∴若a c ≥，即()cos cos sin a c ≥，由于sin a c ，都属于π02⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，
则sin a c ≤，则有a c <，矛盾！ 从而a c <．
即()cos cos sin a c <，即sin a c >，
∴sin c a c <<
若sin b c ≥，即()sin cos sin b c ≥，则()cos cos sin b c c =≥， 所以sin b c ≤，即sin sin c b c ≤≤，所以sin b c =， 从而有b a c <<．
考点3：同角三角函数基本关系
22sin sin cos 1tan cos x
x x x x
+==，．
<教师备案> 同角三角函数的基本关系式解决的是同角问题，揭示的是同一个角的正弦、余弦与正切
之间的关系，这三个关系式有以下几个应用：
⑴ 基本应用：知一求二，可以通过构造直角三角形求值，同时注意三角函数值的符号；
例：①设α
是第二象限角，sin α=，则cos α=_______ ;tan α=_______．
②设α是第四象限角，5
tan 12
α=-，则sin α=_______ ;cos α=_______．
答案：
①、1
3-
；可以构造一个13，
的直角三角形，再判断符号； ②513-、12
13
；可以构造一个51213，，的直角三角形，再判断符号．
⑵ 变形应用一：由()2
sin cos 12sin cos x x x x ±=±⋅得：
s i n c o s
s i n c o s s i n c o s
x x x x x x +↔
-
在符号确定的情况下，可以知一求二．进而求出sin cos tan x x x ，，的值．
例：已知7
sin cos 13
αα-=，则sin cos αα= ; sin cos αα+= ．
知识点睛
8.2同角三角函数基本关系与诱导公式
答案：()2
4960
sin cos 12sin cos sin cos 169169
αααααα-=
=-⇒=
； ()2
289sin cos 12sin cos 169αααα+=+=17sin cos 13
αα⇒+=±； ⑶ 变形应用二：在已知tan x 的情况下，可以直接处理关于sin x 与cos x 的齐次分式（所
谓齐次分式是指分子与分母的所有单项式次数都相同）．
例：已知tan 2α=，则s i n 2c o s 3s i n 4c o s αα
αα
+=+_____；2222
sin sin cos 2cos sin 2cos αααααα+-=+_____． 分析：前者是一次齐次分式，分子分母同时除以cos α；后者是二次齐次分式，分子
分母同时除以2cos α，都可以转化成只关于tan α的式子．也有人将sin 2cos αα=的式子代入，将分子转化成只含cos α或sin α的式子． 答案：25，2
3
；
sin 2cos tan 22
3sin 4cos 3tan 45
αααααα++==++;
222222sin sin cos 2cos tan tan 22
sin 2cos tan 23
ααααααααα+-+-==++．
⑷ 注意“1”的变形使用：221sin cos αα=+．可用于配平方式与齐次式转化． 后面三角恒等变换中还会学习更多的关于1的转化．
例：① π02θ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，
=( )
A ．sin cos θθ+
B ．sin cos θθ--
C ．sin cos θθ-
D ．cos sin θθ-
②已知tan 2α=，则2sin sin cos 1
α
αα=+_____．
答案：
，
π02
θ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，sin 0cos 0θθ>>，，故sin cos 0θθ+>，A 正确；
②222222
sin sin tan 4sin cos 1sin cos sin cos tan tan 17
ααααααααααα===+++++．
<教师备案> 如果把另外三个三角函数cot y x =，sec y x =，csc y x =加进来，还会有一些其它的公式：
cot tan 1x x ⋅=；sec cos 1x x ⋅=；csc sin 1x x ⋅=；22sec 1tan x x =+；22csc 1cot x x =+．
【例7】
⑴
=______；
⑵
若π3π24θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
( )
A ．sin cos θθ+
B ．sin cos θθ--
C ．sin cos θθ-
D ．cos sin θθ-
经典精讲
⑶ (目标班专用（ ）
A ．sin4cos4-
B ．cos4sin4-
C ．0
D ．(sin 4cos4)±-
⑷
已知tan 2α=，求下列各式的值．
①2212sin cos sin cos αααα
+-；②sin cos αα；③332
5sin cos 2cos sin cos ααααα++⋅；④3
sin cos αα．
【解析】 ⑴ sin10cos10cos10sin10︒-︒==︒-︒，∵cos10sin100︒>︒>， ∴上式cos10sin101cos10︒-︒
=
=︒-；
⑵ =，
π3π24
θ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，sin cos θθ>-，即sin cos 0θθ+>，故A 正确；
⑶ B
sin cos αα=-
当5π
π4
α<<时，sin cos αα<，sin 0cos 0αα<<，
．∴原式sin cos αα=-． 当
5π3π
42
α<≤时，sin cos αα>，sin 0cos 0αα<<，
．∴原式cos sin αα=-． ∵53
π4π,42
<<∴原式cos sin cos4sin4αα=-=- ⑷ ①()()()2
22
sin cos 12sin cos sin cos tan 1
3sin cos sin cos sin cos sin cos tan 1
αααααααααααααααα++++====-+---． ②原式=
2222sin cos tan 22
sin cos tan 1215
αααααα===
+++． ③原式322323225sin cos (sin cos )5tan tan 14515
2cos sin cos 2tan 62
αααααααααα++++====++.
④33322222sin cos tan 8
sin cos (sin cos )(tan 1)25
αααααααα===++．
【拓展】若28sin 6sin cos 10ααα+⋅+=，则
21
cos 2sin cos ααα
+的值为( )
A. 103 B ．53
C ．23
D ．2-
【解析】 A
由已知得：229sin 6sin cos cos 0αααα+⋅+= ，即()2
3sin cos 0αα+=,
所以3sin cos 0αα+=.
2222222
1sin cos 10sin 10
cos 2sin cos cos 2sin cos 9sin 6sin 3
ααααααααααα+===++-．
【拓展】⑴ 已知2sin sin 1θθ+=，则244cos cos 3sin 2012θθθ+-+=_____．
⑵ 若cos 2sin αα+，则tan α=（ ）
A ．12
B ．2
C ．1
2- D ．2-
【解析】
⑴ 2013; ∵2sin sin 1θθ+=，∴22sin 1sin cos θθθ=-=． ∴244cos cos 3sin 2012θθθ+-+
224sin sin 3sin 2012sin sin 20122013θθθθθ=+-+=++=． ⑵ B
因为cos 2sin αα+，所以()()
2
22
cos 2sin 55cos sin αααα+==+，
即()2
22sin 4sin cos 4cos sin 2cos 0αααααα-⋅+=-=．所以tan 2α=．
考点4：诱导公式
我们如何将一个非常大或者非常小的角转化成一个我们熟悉的，最好是π02⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭，范围内的角，这是
我们诱导公式要解决的问题．
⑴ 整圈不变，即相差2π的整数倍三角函数值不变，即公式一，这样一个角可以转化到[)02π，上； ⑵ 对弦来说半圈改变，即相差π的奇数倍，弦的值变成相反数，正切不变，于是转化到[0π)，上；
⑶ 然后我们想到ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的角转化到π02⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，上，终边关于y 轴对称的两个角，正弦值相等，余
弦与正切值都变为相反数；其实通过⑴⑵⑶所有的角都可以转化成π02⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭，内的角了．
为了让有些转化更直接，我们还可以考虑：
⑷ 终边考虑关于x 轴对称的两个角，余弦值相等，正弦与正切值变成相反数，这在后面会对应函数的奇偶性；
⑸ 当两个角的终边关于y x =对称时，两个角的正弦与余弦值互换，即公式五，由于不讲余切，所以这个公式只针对正弦与余弦，否则对正切与余切也有同样的关系．
课本的诱导公式还有一组ππsin cos cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫
+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，的，这组公式很容易由上面的公
式得到，所以不再作为一组公式．
<教师备案> 诱导公式的推导可以从点的对称得到：
如图，若角α的终边与单位圆的交点为()P x y ，，则cos x α=，sin y α=．
根据圆的对称性，有如下结论：
⑴ πα+的终边与角α的终边关于原点对称，与单位圆的交点为()1P x y --，
； πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称，与单位圆的交点为()2P x y -，； ⑵ α-的终边与角α的终边关于x 轴对称，与单位圆的交点为()3P x y -，；
知识点睛
⑶
π
2
α-的终边与角α的终边关于直线y x =轴对称，与单位圆的交点为()4P y x ，．
⑴ 公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
()sin 2πsin k αα+=，()cos 2πcos k αα+=，()tan 2π=tan k αα+；
⑵ 公式二：角α与πα+的三角函数间的关系．
()sin πsin αα+=-，()cos πcos αα+=-，()tan πtan αα+=；
⑶ 公式三：角α与πα-的三角函数间的关系．
()sin πsin αα-=，()cos πcos αα-=-，()tan πtan αα-=-．
⑷ 公式四：角α与α-的三角函数间的关系．
()sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-； ⑸ 公式五：角α与
π
2α-的三角函数间的关系． πsin cos 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πcos sin 2αα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
．
<教师备案> 诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．奇变偶不变指的是对于任意三
角函数，以πsin 2y m ϕ⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭
为例，若m 为偶数，则函数名不改变．若m 为奇数，则函数
名改变成余弦；符号看象限是指，假定ϕ为第一象限内的角，根据πsin 2m ϕ⎛⎫
⋅+ ⎪⎝⎭
的正负判
断变换后的三角函数的符号，所以主要是看π
2
m ϕ⋅+所在的象限．
如：πsin 22ϕ⎛⎫
⋅+ ⎪⎝⎭
，偶不变，值与sin ϕ同，ϕ是第一象限角时，π22ϕ⋅+在第三象限，于
是πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭为负，故有负号，即πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫
⋅+=- ⎪⎝⎭
；
再如：πsin 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，奇变，π2ϕ+在第二象限，正弦为正，故πsin cos 2ϕϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
．
ϕ为什么要取第一象限角？
其实诱导公式都是恒等式，即对任意的ϕ都成立，所以ϕ取第几象限的角都没关系，但是
当ϕ不是第一象限角时，推导符号时需要考虑两边，如πsin 22ϕ⎛⎫
⋅+ ⎪⎝⎭
与sin ϕ相关，当ϕ为
第三象限角时，sin 0ϕ<，π22ϕ⋅+是第一象限角，πsin 202ϕ⎛⎫
⋅+> ⎪⎝⎭
，从而符号为负，即
有πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫
⋅+=- ⎪⎝⎭
．我们当然希望越简单越好，所以我们默认取第一象限角．其实
不是必须的，只是为了符号好确定．
【挑战五分钟】利用公式求下列三角函数值：
经典精讲
⑴πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑵πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑶3tan π4；⑷10cos π3；⑸10πsin 3⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
；⑹29πcos 6； ⑺19tan π4⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；⑻4π25π5πsin cos tan 364⋅⋅．
【解析】
⑴；
；⑶1-；⑷12-；
；
⑹；⑺1；⑻3
4
-．
【铺垫】 若2cos 3
α=，α是第四象限角，求()()
()()πcos sin 3πcos 3π23sin πcos πcos 4π2αααααα⎛
⎫-+--- ⎪⎝
⎭⎛⎫----- ⎪⎝⎭
的值．
【解析】 原式()()()
()
sin sin cos sin 1cos tan cos cos cos cos 1cos ααααααααααα+⋅--=
==----⋅--， 而2cos 3α=
，α是第四象限角，
∴tan α=，∴
原式=．
【例8】 ⑴
若()()sin π +sin m αα+-=-，则()()sin 3π2sin 2παα++-等于（ ） A ．23m - B ．32
m - C ．23m D ．
32m
⑵
已知πsin 4α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭3πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）
A ．12
B ．12- C
D
． ⑶已知31
cos π24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos(7π)cos(2π)cos [cos(π)1]cos(2π)cos(π)cos()θθθθθθθ+--+=--+++-_____．
⑷
（目标班专用）已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25ππcos sin 66αα⎛⎫⎛
⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭______．
【解析】
⑴ B ()()sin π +sin m αα+-=-即2sin m α-=-，sin 2
m
α=
， 而()()3sin 3π2sin 2πsin 2sin 3sin 2
m ααααα++-=--=-=-． ⑵ C
3πππsin sin πsin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
⑶ 32；
∵31
cos π24
θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 4θ=-．
∴cos(7π)cos(2π)
cos [cos(π)1]cos(2π)cos(π)cos()
θθθθθθθ+--+--+++-
cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+cos cos cos (cos 1)cos (cos 1)
θθθθθθ=-+-
2
1
1
2
cos 1cos 1
cos 1θθθ-=
-
=
+--2222
32sin 14θ===⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． ⑷ 23
+-
； 因为5πππ3cos cos πcos 666ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
2
222πππ32sin sin 1cos 16663ααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
． 所以25ππ3223cos sin 663αα+⎛⎫⎛
⎫+--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
⑴若ABC △三条边长依次为3sin
4a =，3
cos 4
b =，1
c =，则三内角A B C 、、的大小顺序为（ ）
A ．A
B
C << B ．B A C << C ．C B A <<
D ．C A B <<
⑵x 表示三角形一个内角的大小，并且33sin cos sin cos x x x x +=+，则该三角形是（ ） A ．直角三角形或钝角三角形 B ．直角三角形或锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形
【解析】 ⑴ A
∵3π044<<，∴3ππ3
0sin sin cos cos cos014444
<<=<<=，
即a b c <<，在三角形中，大边对大角，∴A B C <<． ⑵A
33sin cos sin cos x x x x +=+22sin (1sin )cos (cos 1)x x x x ⇔-=-
22sin cos cos sin x x x x ⇔=-sin cos (cos sin )0x x x x ⇔+=． ∵x 表示三角形一个内角，则(0π)x ∈，． ∴x 为直角或cos sin 0x x +=．
当cos sin 0x x +=时，则cos sin 0x x =-<，((0π))x ∈，，∴x 为钝角，此时3
π4
x =．
故三角形为直角三角形或钝角三角形．
【演练1】若1
sin 3
θ=，且θ的终边经过点()4y -，
，则θ是第 象限角，y = ， cos θ= ，tan θ= ．
实战演练
【解析】 二
；． 依题意有222134
x y r y r x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩
，解得y r ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以cos 3x r θ==-
，tan 4θ=-．
【演练2】已知sin sin θθ=-，cos cos θθ=-，且s i n c o s 0θθ⋅≠，判断点()tan sin P θθ，在第几象限．
【解析】 由sin sin θθ=-，可知sin 0θ<；又由cos cos θθ=-，可知cos 0θ<；θ∴在第三象限，
tan 0θ>，()tan sin P θθ∴，
在第四象限．
【演练3
】化简：cos α，其中α为第三象限角． 【解析】 2-；
原式cos cos = ∵α为第三象限角 ∴cos 0α<
∴c o s s i n
)
α
=∴
原式=-(1sin )(1sin )2αα=-+--=-．
【演练4】记()cos 80k -︒=，那么tan100︒=( )
A
B
． C
D
．
【解析】 B
()cos 80cos800k -︒=︒=>
，sin80︒=
∴sin80tan100tan80cos80︒︒=-︒=-=︒．
【演练5】已知tan 2α=-，则()
()π2cos cos π2πsin 3sin π2αααα⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
的值为 ． 【解析】 1-
原式2sin cos 2tan 12(2)1
1cos 3sin 13tan 13(2)
αααααα-+-+-⨯-+=
===-+++⨯-．
【演练6】已知tan 3β=-，
求值：①3sin 2cos 2sin cos ββββ
-+；②2
4sin 3sin cos βββ-⋅；③332
5sin cos 2cos sin cos βββββ++⋅．
【解析】 cos 0β≠，
① 3sin 2cos 3tan 2112sin cos 2tan 15
ββββββ--==++；
② 222
2224sin 3sin cos 4tan 3tan 4sin 3sin cos sin cos tan 1βββββββββββ-⋅--⋅==++92
=；
③ 332232325sin cos 5sin cos (sin cos )2cos sin cos 2cos sin cos ββββββββββββ+++=+⋅+⋅3225tan tan 12tan βββ++==+125
11
-
．
1．已知2
2
3sin 2sin 2sin αβα+=，求22sin sin αβ+的取值范围．
【解析】 2223sin 2sin 2sin 0ααβ--=-≤≤，∴2
2
3sin 2sin 23sin 2sin 0αααα⎧-⎪⎨-⎪⎩
≥-≤，解不等式2
0sin 3α≤≤． 又222
2231sin sin sin (sin sin )sin sin 22
αβααααα+=+-=-+
21[(sin 2sin 1)1]2αα=--+-211(sin 1)22α=--+，
∵11sin 13α---≤≤，21(sin 1)19α-≤≤，2111
(sin 1)1822
α----≥≥，
2111140(sin 1)222189α--+-=≤≤，即2240sin sin 9
αβ+≤≤，
∴22sin sin αβ+的取值范围是409⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，．
2．（目标班专用）如果1
sin cos 2
αβ=，则cos sin αβ的取值范围是_____．
【解析】 1122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，．
∵1sin cos 2αβ=，则221
sin cos 4
αβ=，
又()()()
22222222cos sin 1sin 1cos 1sin cos sin cos αβαβαβαβ=--=-++，
而()2
22sin cos 2sin cos sin cos 0αβαβαβ+-=-≥，
即22sin cos 2sin cos 1αβαβ+=≥，
从而2211cos sin 1144αβ-+=≤，即11
cos sin 22
αβ-≤≤．
当sin cos αβ==
时，cos α=
，sin β=，故等号都可以取到．
大千世界。