分式的加减(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(华东师大版)

专题16.8 分式的加减（专项练习）
一、单选题
1．（2021·西藏达孜县中学八年级期末）化简：2x x
-x-1x-1
=（ ） A ．1
B ．0
C ．x
D ．-x
2．（2020·唐山市第五十四中学八年级月考）化简42
122
a a a +⎛
⎫- ⎪
+-⎝⎭的结果是（ ） A ．1
B ．
2
a
a + C ．
2
a a
- D ．
2
2
a a +- 3．（2020·安仁县思源实验学校八年级期中）设xy=x ﹣y≠0，则
1
1
x y
的值等于（ ）
A ．
1
xy
B ．y ﹣x
C ．﹣1
D ．1
4．（2020·濮阳市油田第十二中学九年级期末）一项工程，甲单独做a 天完成，乙单独做b 天完成．甲乙两人合做这项工程需要的时间是（ ）天 A ．
1a b
+ B ．
1ab
C ．
ab
a b
+ D ．
11a b
+ 5．（2020·晋州市第三中学八年级月考） 若分式2
1
x x +口1x x +，的运算结果为x （x≠0），
则在“口”中添加的运算符号为（ ） A ．+或x
B ．-或÷
C ．+或÷
D ．-或x
6．（2021·上海九年级专题练习）化简分式
233
11x x x
-+--过程中开始出现错误的步骤是（ ）
()()()()()()()()()231333331222
11111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x +----+--+=-===---+-+-+-+--①②③④
A ．①
B ．①
C ．①
D ．①
7．（2021·甘肃陇南市·八年级期末）下列各式的变形中，正确的是（ ） A ．x÷（x 2＋x ）＝
1
x
＋1 B ．
1x x
-＝1x x -
C ．x 2﹣4x ＋3＝（x ﹣2）2＋1
D ．（﹣x ﹣y ）（﹣x ＋y ）＝x 2﹣y 2
8．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若2
41142W a a ⎛⎫+⋅= ⎪--⎝⎭
，则W =（ ） A ．()22a a --≠- B ．()22a a -+≠
C ．()22a a -≠
D ．()22a a +≠-
9．（2020·全国八年级课时练习）下列运算结果正确的是（ ） A ．
a c ac
b d bd
÷=
B ．
1b a a b b a
+=-- C ．2
22224a a a b a b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭
D ．4453⋅=m n m
n m n
10．（2021·重庆巴南区·八年级期末）下列变形不正确．．．的是（ ） A ．
1a b
a b a b
-=-- B ．
1a b
a b a b +=++ C ．22
1
a b a b a b
+=++ D ．
22
1
-=-+a b a b a b
11．（2021·河北衡水市·八年级期末）如图，在数轴上表示222
4411
424x x x x x x
-++÷-+的值的点是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
12．（2021·全国八年级）已知a 、b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设M =
11
a b
a b +++，N =1111
a b +++，则下列两个结论（ ） ①ab =1时，M =N ；ab ＞1时，M ＜N ．①若a +b =0，则M •N ≤0． A ．①①都对 B ．①对①错
C ．①错①对
D ．①①都错
二、填空题
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算：
2221
y y x x y
+=--__________．
14．（2021·上海宝山区·七年级期末）计算：
34
11
x x x +-=--________________． 15．（2020·全国八年级课时练习）某人上山，下山的路程都是s ，上山速度1v ，下山速度2v ，
则这个人上山和下山的平均速度是______．
16．（2020·哈尔滨市第六十九中学校八年级期末）若213a a +=，则代数式2
2
1
a a +的值为______．
17．（2019·山东淄博市·九年级二模）已知3412(1)(2)
A B x x x x x -+=----，则3A+2B=___________
18．（2021·广东潮州市·八年级期末）式子
a b c d
称为二阶行列式，规定它的运算法则为
ab ad bc c d
=-，则二阶行列式
221
11
a a a
a -=- ___________ ． 19．（2020·全国八年级课时练习）
2
1222
933
++=--+m m m ______． 20．（2020·浙江省开化县第三初级中学七年级期中）已知0a >，11
S a
=
，211S S =--，321S S =
，43
1S S =--，541S S =，…（即当n 为大于1的奇数时，1
1
n n S S -=；当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--，当2a =时，3S =____________ ，按此规律，2020S =____________．
21．（2020·浙江杭州市·九年级）已知实数a ，b 满足15403a -=，4032015b =，则11
a b
+=________．
22．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）已知5a b +=，6ab =，
b a
a b
+=______． 23．（2021·北京西城区·八年级期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
3(1)441111
a a a a a +-+==+---，212(1)33
2111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将
1
a a +变形为满足以上结果要求的形式：
1a
a =+_________； （2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；①若32
1
a a +-为正
整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．
三、解答题
24．（2020·重庆南岸区·八年级期末）计算：
（1）211x x x x ++-； （2）249511a a a a -⎛
⎫-+÷
⎪--⎝⎭.
25．（2021·河南商丘市·八年级期末）先化简，再求值：（1－22a -）÷2
2816
4
a a a -+-，其中
a ＝0(2021)π-
26．（2019·山东聊城市·八年级期中）先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知
2343212
x A B
x x x x -=+-+--，求A 、B 的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：()()3421x A x B x -=-+-，
即：()()342x A B x A B -=+-+，①()3
24A B A B +=⎧⎨
-+=-⎩ 解得1
2A B =⎧⎨=⎩
．
解法二：在已知等式中取0x =时，有22
B
A -+=--，整理得24A
B +=； 取3x =，有
5
22
A B +=，整理得25A B +=． 解24
25
A B A B +=⎧⎨+=⎩，得：12A B =⎧⎨=⎩．
（1）已知
2
1131424643x A B
x x x x
=+--++-，用上面的解法一或解法二求A 、B 的值． （2）计算：
()1111
11(1)(1)(1)(3)(3)(5)(9)(11)x x x x x x x x x ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎢⎥-+++++++⎣
⎦，并求x 取何整数时，这个式子的值为正整数．
参考答案1．C
【分析】
利用同分母分式相加减的法则计算即可
【详解】
解：原式=
() 2x x-
-x1
x
==x x-1x-1
故选：C
【点拨】
本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握法则是解题的关键
2．A
【分析】
根据分式混合运算法则，先计算小括号内，再进行乘法运算即可．【详解】
原式＝
22
1
22
a a
a a
-+
⋅=
+-
，
故选：A．
【点拨】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．3．C
【分析】
运用异分母分式的加减法法则将原式进行化简，即可得出结果．【详解】
解：①xy=x﹣y≠0
①原式
y x
xy xy
=-y x
xy
-
=
x y
xy
-
=-1
=-
故答案为：C．
【点拨】
本题考查了分式的加减，解答此题的关键是熟练掌握异分母分式的加减法法则．4．C
【分析】
根据题意列出代数式，再化简即可． 【详解】
解：根据题意得：1
11
1ab
a b a b a
b
ab
=
=
+++
． 故选：C ． 【点拨】
此题考查了列代数式和分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 5．C 【分析】
分别将,,,+-⨯÷运算代入，根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】
2(1)
111x x x x x x x x ++==+++ 2(1)
111
x x x x x x x --=
+++ 23
2
11(1)x x x x x x ⋅=+++ 221
111x x x x x x x x x
+÷=⋅=+++ 综上，在“口”中添加的运算符号为+或÷ 故选：C ． 【点拨】
本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 6．B 【分析】
根据异分母分式的加法法则可以检查出出错的步骤． 【详解】
解：①2
3333(1)
11(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x --++=---+-+- 33(1)33326
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x --+-----=
==+-+-+-
经过仔细比对，发现出错的步骤是题中所示①，分子相减时没有把第二个分子当作整体用括号括起来， 故选：B ． 【点拨】
本题考查了异分母分式的加减，先对异分母分式通分并在加减过程中把每个分子当作一个整体是解题关键 ． 7．D 【分析】
根据分式的约分、分式的减法、完全平方公式的应用、平方差公式计算，判断即可． 【详解】 解：A.x÷(x 2＋x)＝
2x x x +＝1
1
x +，故A 选项计算错误； B.1x x -＝21x x
-，故B 选项计算错误； C.x 2﹣4x ＋3＝x 2﹣4x ＋4﹣1＝(x ﹣2)2﹣1，故C 选项计算错误； D.(﹣x ﹣y)(﹣x ＋y)＝(﹣x)2﹣y 2＝x 2﹣y 2，故D 选项计算正确； 故选：D ． 【点拨】
本题考查了分式的约分、分式的减法、完全平方公式的应用、平方差公式计算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 8．A 【分析】
首先利用分式的加减运算法则，求得24142a a +--的值，又由24
1142W a a ⎛⎫+⋅= ⎪--⎝⎭
，即可求得答案． 【详解】
解：
2
414221
42(2)(2)(2)(2)(2)(2)2
a a a a a a a a a a a +-+=-==---+-+-+-+， 241142W a a ⎛⎫+⋅= ⎪--⎝⎭
，
2W a ∴=--．
故选：A ． 【点拨】
此题考查了分式的混合运算法则．注意掌握符号的变化是解此题的关键． 9．D 【分析】
分别根据分式的乘除法、加减法及分式的乘方法则分别进行计算，即可得出结论． 【详解】
解：A.
a c ad
b d b
c ÷=，故此选项错误； B. 1-+==----b a b a a b b a a b
，故此选项错误；
C. 2
222242a a a b a ab b
⎛⎫= ⎪--+⎝⎭，故此选项错误； D. 4453⋅=m n m
n m n
，故此选项正确．
故选D ． 【点拨】
本题考查了分式的相关运算，掌握分式的加减、乘除法及乘方运算法则是解答此题的关键． 10．C 【分析】
A 、
B 两项利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可得到结果；
C 、
D 通过能否继续进行因式分解，继续化简，即可得到答案． 【详解】
A.
=1a b a b
a b a b a b --=---，故此项正确； B.
=1a b a b a b a b a b
++=+++，故此项正确；
C.
22
a b
a b ++为最简分式，不能继续化简，故此项错误；
D.
()()221
a b a b a b a b a b a b
--==-+-+，故此项正确；
故选C ． 【点拨】
此题考查了分式的加减法、约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．C 【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可． 【详解】
解：222
4411
424x x x x x x
-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)x x x x x x -=+⨯+-+， 24
22x x x -=
+++， 242x x -+=+，
2
2
x x +=
+， =1，
在数轴是对应的点是M ， 故选：C ． 【点拨】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 12．C 【分析】
对于①，计算M -N 的值可以判断M>N 还是M<N ；对于①，计算M N 的值，然后根据a 、b 满足的条件判断其大于0还是小于0． 【详解】
①M =11
a b a b +++，N = 1111a b +++，
①M ﹣ N =11
a b a b +++﹣（ 11
11a b +++）
=
22
(1)(1)
ab a b -++，
①当ab =1时，M ﹣N =0， ①M =N ，
当ab ＞1时，2ab ＞2，
①2ab ﹣2＞0，
当a ＜0时，b ＜0，（a +1）（b +1）＞0或（a +1）（b +1）＜0， ①M ﹣N ＞0或M ﹣N ＜0， ①M ＞N 或M ＜N ； 故①错误； ①M •N =（
11
a b a b +++）•（ 1111a b +++）
=
()
()()()2
21111a
a b b a b a b ++
+
++++．
①a +b =0， ①原式=
()
()
2
2
11a
b
a b +
++
=
22
4(1)(1)ab
a b ++．
①a ≠﹣1，b ≠﹣1， ①（a +1）2（b +1）2＞0． ①a +b =0， ①ab ≤0， M •N ≤0， 故①对． 故选：C ． 【点拨】
本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 13．
1x y
+ 【分析】
根据分式的混合运算的顺序即可求解． 【详解】 解：
2221
y y x x y
+--
=()()21
y x y x y x y
-++--
=
()()()()
2y x y
x y x y x y x y -+++-+-
=()()
x y x y x y -+- =
1x y
+ 故答案为：1
x y
+． 【点拨】
本题主要考查分式的加减运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 14．1 【分析】
根据分式的减法法则计算即可． 【详解】 解：
3411x x x +-=--341x x +-=-1
11
x x -=- 故答案为：1． 【点拨】
此题考查的是分式的减法运算，掌握分式的减法法则是解题关键．
15．12
12
2v v v v +
【分析】
平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可． 【详解】
解：由题意上山和下山的平均速度为：12121
2
22v v s
s
s v v v v =
++
.
故答案为：12
12
2v v v v +．
【点拨】
本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 16．7 【分析】 对代数式2
21
a a
+利用完全平方公式变形后，将213a a +=代入化简即可． 【详解】
解：①213a a +=，
①4222222
2
2222
211(1)29277a a a a a a a a a a a a
++--+=====， 故答案为：7． 【点拨】
本题考查代数式求值，主要考查分式的加法、完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，能对代数式正确变形是解题关键． 17．7 【分析】
已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件求出A 与B 的值，代入原式计算即可得到结果. 【详解】
解：已知等式整理得：(2)(1)34
(1)(2)(1)(2)
A x
B x x x x x x -+--=----，
可得(A B)2A B 34x x +--=-，即3
24
A B A B +=⎧⎨+=⎩，
解得：A=1，B=2， 则3A+2B=3+4=7， 故答案为7. 【点拨】
此题考查了分式的加减法，以及分式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18．2
1
a a -+
【分析】
根据二阶行列式的定义及分式的运算可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：
(
)
()()()
22
2
221111111111
a a a a a a a a a a a a a a
a -=-⨯-=-⨯-=--+-+-；
故答案为2
1
a a -+．
【点拨】
本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 19．0 【分析】
先根据平方差公式通分，再加减计算即可． 【详解】 原式21222
933m m m =
-+--+
222122626999m m m m m +-=-+--- 2
1226269
m m m --+-=-
0=．
故答案为：0 【点拨】
本题考查了分式的加减法，熟悉掌握通分、约分法则是解题的关键． 20．23-
1
3
- 【分析】
根据已知条件计算，找出S n 的值每6个一循环，结合2020＝336×6＋4，即可得出S 2020＝S 4，此题得解． 【详解】
11S a
=
， 2111+1=1=a
S S a a
=-----，
3211
a S S a =
=-+， 431
1111
a S S a a =--=
-=-++， ()54
1
1S a S =
=-+， ()65111S S a a =--=+-=，
7611S S a
=
=， …，
①S n 的值每6个一循环． ①2020＝336×6＋4， ①S 2020＝S 4＝1
1
a -
+， 当2a =时，3212=13a S S a ==--+，S 2020＝S 4＝13
-， 故答案为：23-；13
- 【点拨】
本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出S n 的值，每6个一循环是解题的关键． 21．1 【分析】
根据同底数幂的乘法可得52015a =，根据幂的乘方可得55a ab b -=，从而可得a+b=ab ，将
11
a b
+变形，再代入计算即可． 【详解】
解：①15403a -=，
①1154035a -+=⨯，即52015a =， ①4032015b =， ①()
1
52015b
a -=，
①55a ab b -=， ①a=ab -b ， ①a+b=ab ， ①
11a b
+=a b ab +=1，
故答案为：1． 【点拨】
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，以及分式的加法运算，灵活运用公式，得到a+b=ab 是解题的关键． 22．
136
【分析】
原式整理成222()2b a b a a b ab
a b ab ab
++-+==
，再整体代入即可求解． 【详解】
①5a b +=，6ab =，
①222()2b a b a a b ab a b ab ab
++-+== 2526
6-⨯=
136
=． 故答案为：136
． 【点拨】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和完全平方公式． 23．111a -
+ 531
a +- 2或6 【分析】
（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a
a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把32
1
a a +-变形为满足要求的形式；①令
325311
a x a a +==+--，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件
的a ，x 的值，即可得出结论． 【详解】
解：（1）
111
1111
a a a a a +-==-+++； 故答案为：1
11
a -+；
（2）①323(1)55
3111
a a a a a +-+==+---； 故答案为：5
31
a +-；
①①323(1)55
3111
a a a a a +-+==+--- 令5
31
x a =+-，
当x ， a 都为整数时，11a -=±或15a -=±， 解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4， 当a ＝2时，x ＝8； 当a ＝0时，x ＝-2；
当a ＝6时，x ＝4； 当a ＝-4时，x ＝2； ①x ， a 都为正整数， ①符合条件的a 的值为2或6． 故答案为：2或6． 【点拨】
此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． 24．（1）2
1x -；（2）33
a a -+． 【分析】
（1）分式的非同分母加法计算需先确定公分母通分，然后分母不变，分子相加，整理约去分子和分母的公因式，即得到最简分式
2
1
x -； （2）先算括号内的，运用分式的加法法则把5a -看成一个整体，通分成公分母为1a -分式，然后运用分式的除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，之后把分子和分母分别分解因式，约去公因式，即可得最简分式3
3
a a -+． 【详解】
（1）原式
()11=1x x x x ++- ()11
=1x x x x -++-
2=
1
x -． （2）原式()()25149
=111a a a a a a --⎡⎤-+÷
⎢⎥---⎣⎦
()()
26541
=133a a a a a a -++-⋅-+-
()()()
2
31
=
1
33a a a a a --⋅
-+-
3
=
3
a a -+． 【点拨】
本题主要考查了分式的加法及混合运算，其中分母不同的分式的加法运算需先通分，分式的除法需把除数颠倒相乘，最后整理分解因式，约去公因式即可得． 25．
2
4
a a +-；-1 【分析】
先进行括号内的分式减法，再计算分式除法，代入求值即可． 【详解】
解：原式＝
222
a a ---÷2(4)(2)(2)a a a -+- ＝
42
a a --×2(2)(2)(4)a a a +--
＝
24
a a +-； 当a ＝（π－2021）0＝1时， 原式＝
12
14
+=-－1． 【点拨】
本题考查了分式的化简求值和0指数，解题关键是熟练按照分式化简的顺序与法则进行计算．
26．（1）3,2A B =-=；（2）6
1
x -，当x 取2,3,4,7时，这个式子的值为正整数． 【分析】
（1）解法一：先等式两边同乘以(6)(43)x x +-去分母，去括号化简可得一个关于A 、B 的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取0x =和1x =可得一个关于A 、B 的二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再计算分式的加减法与乘法运算即可得，
然后根据整数性质求出符合条件的整数x 的值即可． 【详解】 （1）解法一：
2
1131424643x A B
x x x x
=+--++-， 等式两边同乘以(6)(43)x x +-去分母，得11(43)(6)x A x B x =-++， 即11(3)46x A B x A B =-+++，
则311
460
A B A B -+=⎧⎨
+=⎩，
解得32A B =-⎧⎨=⎩
；
解法二：
2
1131424643x A B
x x x x
=+--++-， 取0x =，得064A B
+=，即230A B +=，
取1x =，得
1177
B A
=+，即117A B +=， 联立230711A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得32
A B =-⎧⎨=⎩；
（2）()1111
11(1)(1)(1)(3)(3)(5)(9)(11)x x x x x x x x x ⎡
⎤+++⋅⋅⋅+⎢
⎥-+++++++⎣⎦
，
()111111111112111335911x x x x x x x x x ⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪-++++⎝⎭=+++， ()111112111x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
=-+， ()11
112(1)(11)(11()1)11x x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥-+-+⎣⎦
+=， ()1112(1)(11)
12x x x ⋅⋅++=
-， 61
x =
-， 要使
6
1
x -为正整数，则整数1x -的所有可能取值为1,2,3,6， 即整数x 的所有可能取值为2,3,4,7，
经检验，当x取2,3,4,7时，分式的分母均不为零，
故当x取2,3,4,7时，这个式子的值为正整数．
【点拨】
本题考查了分式的加减法与乘法运算、二元一次方程组的应用，读懂阅读材料中的两种解法是解题关键．
21。