数学上册 第23章 解直角三角形周周测4沪科版.doc
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。
沪科版(上海)九年级上册数学第23章解直角三角形单元试卷
沪科版（上海)九年级上册数学 第23章解直角三角形单元试卷 考试时间：100分钟；满分120分 一、单选题（计30分） 1．（3分）tan60︒的值为( ) A ．3 B ．3 C D 2．（3分）小明同学爱好登山运动，一天他沿坡角为60的斜坡登山，此山的坡度是（ ）A ．1:2B ．2:1C ．D 3．（3分）在实数0、tan 45︒、1-中，最大的是（ ） A ．0 B ． C ．0tan 45 D ．-1 4．（3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，AB =5，则cosA 的值是（ ） A ．35 B ．43 C ．34 D ．45 5．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ） A ．3sin α米 B ．3cos α米 C ．3sin α米 D ．3cos α米 6．（3分）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝，则AB 的长为（ ）A ．4B ．C ．5D ． 7．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A ．n mileB ．60 n mileC ．120 n mileD ．(30+n mile8．（3分）如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若2AB =，5BC =，则tan AFE ∠的值（ ）A ．等于25 B ．等于27C ．等于57 D ．不确定，随点E 位置的变化而变化9．（3分）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43 B ．34 C ．35 D ．4510．（3分）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50） A ．300米 B ．250米 C ．400米 D ．100米二、填空题（计30分） 11．（4分）计算：0(2019)2cos 60π︒--=______． 12．（4分）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______． 13．（4分）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．14．（4分）如图所示，九()1班数学课外活动小组在河边测量河宽AB （这段河流的两岸平行），他们在点C 测得30ACB ∠︒＝，点D 处测得6080ADB CD m ∠︒＝，＝，则河宽AB 约为_____m （结果保留整数， 1.73≈）． 15．（4分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=23，则=_________. 16．（4分）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan APD ∠=______．17．（4分）如图，一轮船在M 处观测灯塔P 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N 处，再观测灯塔P 位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离PT 为________海里（结果保留根号）18．（4分）如图所示，小亮家在点O 处，其所在学校的校园为矩形ABCD ，东西长 AD ＝1000米，南北长AB ＝600米．学校的南正门在AD 的中点E 处，B 为学校的西北角门．小亮从家到学校可以走马路，路线O →M →E （∠M ＝90°）；也可以走沿河观光路，路线O →B ．小亮在D 处测得O 位于北偏东30°，在B 处测得O 位于北偏东60°小亮从家到学校的两条路线中，长路线比短路线多_____米．（结果保留根号）三、解答题（计58分）19．（701122019()3tan 303-+--+︒；20．（7分）计算：1011)2sin |602+-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭21．（7分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）22．（7分）如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求,A B 间的距离． 1.73≈ 1.4≈，结果保留一位小数）．23．（7分）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6,∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使（如图所示）． （1）求调整后楼梯AD 的长； （2）求BD 的长． （结果保留根号）24．（7分）如图，某校组织学生到A 地开展社会实践活动，乘车到达B 地后，发现A 地恰好在B 地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东60︒方向行驶10公里到达C 地，再沿北偏西45︒方向行驶一段距离才能到达A 地．求A 、C 两地间的距离，25．（8分）如图，某建筑物CD 高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB 的坡度为1:1i =．为了测量山顶A 的高度，在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α、β．已知tan 2α=，tan 4β=，求山顶A 的高度AE (C 、B 、E 在同一水平面上)．26．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D 处的俯角为30°，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．≈1.414≈11.732）参考答案1．C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．D【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比解答即可．【详解】因为坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，1，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键3．C【解析】【分析】正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值，根据正切的定义计算tan45︒=1，然后进行比较.【详解】tan45︒=1，＜－1＜0＜tan45︒答案选：C【点睛】本题主要考查直角三角形中特殊角的三角函数值的大小以及实数的大小比较.4．D【解析】【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，4cos 5AC A AB ==， 故选：D ．【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．5．A【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α==，进而得出答案． 【详解】 解：由题意可得：sin 3BC BC AB α==， 故()3sin BC m α=．故选：A【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键.6．A【解析】【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD＝CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可【详解】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠C＝45°，AC＝，∴AD＝CD＝2，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解题的关键．7．D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC，∴CD=AC•cos∠在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴∴．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8．B【解析】【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=5;∵正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上∴EH∥CD，∴△AEH ∽△ACD ， ∴EH AH =CD AD =25． 设EH=2x ，AH=5x ，∴HG=GF=2x ，∵EF ∥AD ，∴∠AFE=∠FAG ，在Rt AGF 中∴tan ∠AFE=tan ∠FAG=GF AG =2x 22x 5x 7=+． 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的正切值来解答的．9．D【解析】【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝==AC 5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．10．A【解析】【分析】设AB＝3x米，根据坡度分概念用x表示出BC，根据正切的定义表示出BD，结合图形列式计算即可．【详解】设AB＝3x米，∵斜坡AC的坡度是tanα＝34，∴BC＝4x，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝AB BD，∴BD＝tan ABADB∠≈6x，由题意得，6x﹣4x＝200，解得，x＝100，则AB＝3x＝300，故选：A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．0【解析】【分析】按顺序分别进行0次幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可.【详解】(2019)2cos60π--︒=1 122 -⨯=1-1 =0，故答案为：0.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.12 【解析】【分析】连接BD ，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD ，∵BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，AD 2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB =90°，∴cos AD A AB ====．. 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．13【解析】【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．【详解】解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =， ∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD =，根据勾股定理得：AC ===【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．69【解析】【分析】在Rt ABC 中，3060ACB ADB ∠︒∠︒＝，＝，则30DAC ∠︒＝，所以80DA DC ＝＝，在Rt ABD 中，通过三角函数关系求得AB 的长．【详解】在Rt ABC 中，3060ACB ADB ∠︒∠︒＝，＝，30DAC ∴∠︒＝，80DA DC ∴＝＝，在Rt ABD 中，sin sin60AB ADB AD ︒=∠==8069AB AD ∴===≈（米）， 故答案为：69．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．15．0【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值求出α的度数，代入原式计算即可得到结果．【详解】∵α是锐角，且sin （α+15°）=，∴α+15°=60°，即α=45°，则原式=2-4×-1+1=0．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．2【解析】【分析】连接AF ，先证明Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF ，可得BAE CBF ∠∠=，继而证明A 、P 、F 、D 四点共圆，由圆周角定理可得AFD APD ∠∠=，进而根据正切的定义即可求得答案.【详解】连接AF ，E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点， CF BE ∴=，AD 2DF=， 在ΔABE 和ΔBCF 中，AB BC ABE C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF(SAS)，BAE CBF ∠∠∴=，又BAE BEA 90∠∠︒+=，CBF BEA 90∠∠︒∴+=，BPE APF 90∠∠︒∴==，ADF 90∠︒=，ADF APF 180∠∠︒∴+=，∴A 、P 、F 、D 四点共圆，AFD APD ∠∠∴=，AD tan APD tan AFD 2DF∠∠∴===， 故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正切等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．【解析】【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P 最近的位置T 处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT ⊥MN ，利用锐角三角函数关系进行求解即可【详解】由题意得，MN=15×2=30海里， ∵∠PMN=30°，∠PNT=60°，∴∠MPN=∠PMN=30°，∴PN=MN=30海里，∴PT=PN•sin∠PNT=故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得PN 的长度，属于中考常考题．18．1300-【解析】【分析】如图，由题意得，∠OBF＝30°，DOM＝30°，FM＝AB＝600，设DM＝CF＝x，得到BF＝1000+x，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，由题意得，∠OBF＝30°，DOM＝30°，FM＝AB＝600，设DM＝CF＝x，则BF＝1000+x，在Rt△BOF中，∵∠OBF＝30°，∴OF＝3BF＝)3x+，OB＝BF(1000)cos303x︒==+，在Rt△ODM中，DM＝x，∴OMx，∴OF＝OM﹣FM﹣600，x﹣600，解得：x＝，∴OF＝，∴BO＝2OF＝，∴路线O→M→E的长度＝＝＝∴长路线比短路线多（1300﹣故答案为：1300﹣【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．6【解析】【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值，然后算加减法.【详解】原式=2－(－3)+3= 2=6.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数值的运算是解题的关键.20．-1.【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】=-+-原式122=-+-12=-．1【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．该军舰行驶的路程为500m．【解析】【分析】易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．【详解】如图，∵CE∥AB，∴∠ECB=90°∴∠A=∠ECA=60°，∴BC=AB×tan60°=500×=500m．答：该军舰行驶的路程为500m．【点睛】考查解直角三角形的应用；用∠A的正切值表示出所求线段长是解决本题的关键．22．A,B间的距离约为114.7海里．【解析】【分析】过点C CD AB ⊥作，垂足为点D ，则6045ACD BCD ∠︒∠︒＝，＝ ，通过解直角三角形可求出BD ，AD 的长，将其相加即可求出AB 的长．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，如图所示．BD CD Rt BCD sin BCD cos BCD BC BC∠∠在中，＝，＝，•2034220342BD BC sin BCD CD BC cos BCD ∴∠⨯≈∙∠⨯≈＝＝，＝＝ AD Rt ACD tan ACD CD ∠在中，＝，•4272.7AD CD tan ACD ∴∠≈＝＝．72.742114.7AB AD BD ∴++＝＝＝．∴间的距离约为114.7海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD,AD 的长是解题的关键．23．（1）；（2） 【解析】【分析】(1)在Rt△ABC 中, AC=AB·sin45o =又∠ACD=90O ,∠ADC=30O ，AD=2AC ；（2）由（1）知：AC=BC=,AD=，又∠ACD=90O ,∠ADC=30O ，故DC=AD·cos30o=，BD=DC-BC. 【详解】解法一：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=45o∵sin∠ABC=,AB=6∴AC=AB·sin45o=又∵∠ACD=90O,∠ADC=30OAD=2AC=答：调整后楼梯AD的长为（2）由（1）知：AC=BC=,AD=∵∠ACD=90O,∠ADC=30O∴DC=AD·cos30o=∴BD=DC-BC=答：BD的长为解法二：(1)∵∠ACB=90O,∠ABC=45O∴AC=BC设AC=BC=，又AB=6，∴解得，∴AC=BC=∵∠ACB=90O, ∠ADC=30O∴AD=2AC=答：调整后楼梯AD的长为（2）∵∠ACD=90O,AC=,AD=∴DC 2=AD 2-AC 2=∴DC=(负值舍去)∴BD=DC -BC=答：BD 的长为【点睛】解直角三角形的实际应用.24．【解析】【分析】先过点C 向AB 作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知CB 长度为10公里，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A 、C 两地的距离．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则60CBD ∠=︒，45DCA ∠=︒，90ADC BDC ∠=∠=︒，在Rt DBC ∆中，60DBC ∠=︒，30DCB ∴∠=︒，10BC =，5BD ∴=，由勾股定理可得：DC ==，在Rt DAC ∆中，AC ===A ∴、C 两地间的距离为【点睛】本题主要考查了勾股定理应用题，正确构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解是解题关键．25．山顶A 的高度AE 为16米．【解析】【分析】作AF ⊥CD 于F ．设AE=x 米．由斜坡AB 的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x 米．解Rt △BDC ，求得9624tan 4CD BC β===(米)，则AF=EC=（x+24）米．解Rt △ADF ，得出DF=AF•tanα=2（x+24）米，又DF=DC-CF=DC-AE=（96-x ）米，列出方程2（x+24）=96-x ，求出x 即可．【详解】解：如图，作AF CD ⊥于F ．设AE x =米．∵斜坡AB 的坡度为1:1i =，∴BE AE x ==米．在Rt BDC ∆中，∵90︒∠=C ，96CD =米，DBC β∠=∠， ∴9624tan 4CD BC β===(米)， ∴(24)EC EB BC x =+=+米，∴(24)AF EC x ==+米．在Rt ADF ∆中，∵90AFD ︒∠=，DAF α∠=∠，∴tan 2(24)DF AF x α=⋅=+米，∵(96)DF DC CF DC AE x =-=-=-米，∴2(24)96x x +=-，解得16x =．故山顶A 的高度AE 为16米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．26．山高AB为546.4米【解析】【分析】设AB=x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【详解】设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴AB tan30BD︒=，XX400=+，解得：x546.4=≈. ∴山高AB为546.4米.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．。
沪科版初中九年级上册数学单元检测 第23章 解直角三角形
解直角三角形测试题与答案一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．32．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m 6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）10．A．20°B．30°C．40°D．50°11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（）A．B．C．D．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为_________ ．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为_________ ．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________ ．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________ 米．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是_________ m．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= _________ ．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选：D．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．解答：解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6（米）．故选：A．点评：本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，∴AC===2，∴cosC===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．10．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=解答即可．解答：解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=．∴α+10°=30°．∴α=20°．故选A．点评：熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC 的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．解答：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．故选C．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为3+．考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为．考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠ABC=∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出即可．解答：解：∵AB∥CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，∠ABC=90°，∴∠C=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵CD=1，BC=3，∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC==，故答案为：3．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将cos45°=，sin60°=代入求解．解答：解：原式=×+（）2=1+=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是60 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB 的长度即可求得AC的值，即可解题．解答：解：由题意得，AB=100米，tanB==3：4，设AC=3x，则BC=4x，则（3x）2+（4x）2=1002，解得：x=20，则AC=3×20=60（米）．故答案为：60．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB 的高度是m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC==x，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，则BD==x，由题意得，x﹣x=20，解得：．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= 6 ．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．分根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，析：sin∠ABC=0.8，可求出AD的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．解答：解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，∴AD=5×0.8=4，则BD==3，∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度一般，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的应用．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，则CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，则AB求出．解答：解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=30°，∴sin30°==，解得：x=5，答：AB的长度为5米．点评：考查了解直角三角形，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，又∵FD=60，∴CD=60﹣20，∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），CE：DE=1：2，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（6+）（米）．答：树的高度为：（6+）（米）．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．解答：解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，∴DE=AD=500m．∵∠BAC=45°，∴∠DAB=45°﹣30°=15°，∠ABC=90°﹣45°=45°．∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，∴∠DBF=90°﹣60°=30°，∴∠DBA=45°﹣30°=15°，∵∠DAB=15°，∴∠DBA=∠DAB，∴BD=AD=1000m，∴在Rt△BDF中，BF=BD=500m，∴山的高度BC为（500+500）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，根据已知得出FC，BF的长是解题关键．。
沪科版九年级数学上册单元综合测试：第23章解直角三角形.docx
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17..我们知道：sin30°= ，tan30°= ，sin45°= ，tan45°=1，sin60°= ，tan60°= ，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．
第23章《解直角三角形》单元综合测试卷
考试内容：第23章（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
下列各题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的答案的字母代号填在下面的表格中.
题序
1
2
3
4
5
（1）点B的坐标；
（2）cos∠BAO的值．
解:作BH⊥OA， 垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=5，sin∠BOA= ，
∴BH=3，∴OH=4，∴点B的坐标为（4，3）;
（2）∵OA=10，OH=4，∴AH=6．
在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB=3 ，
∴cos∠BAO= = ．
六、（本题满分12分）
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
解：（1）如图，在Rt△BCE中，
∵sinα= ，∴BC= =1.6，
∵四边形ABCD是矩形∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠FCD=90°，
又∵在Rt△BCE中，
∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠FCD=32°．
在Rt△FCD中，∵cos∠FCD= ，
沪科版九年级上《第23章解直角三角形》测试题含答案
第23章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12B. 22C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35° C. m sin35° D. mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 45 5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245°C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B.75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( )A ．(4，0)B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －713．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三、解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－1016．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－1117．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z －13，台风中心位于点O 处，并沿北偏东45°方向﹙OC 方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B ，则B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z －131. B2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝ACm，∴AC ＝m·cos 35°.3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sin A ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝45，∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34.13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD. ∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CEAE ，∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝33BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3. ∴CD ＝3BD ＝63(米)． 答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AEOA ，∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.精品 Word 可修改 欢迎下载 在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB，∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．。
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元同步测试题附答案
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.中，，，，则的值等于（）A. B. C. D.2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（）A.米B.米C.米D.米3.如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（）A. B. C. D.4.如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（）米．（，结果保留两位有效数字）A. B. C. D.5.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（）A.海里B.海里C.海里D.海里6.一根竹竿长米，先像靠墙放置，与水平夹角为，为了减少占地空间，现将竹竿像放置，与水平夹角为，则竹竿让出多少水平空间（）A. B.C. D.7.如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为（）A. B. C. D.8.如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）A. B.C. D.9.如果等边三角形的边长为，那么它的外接圆的半径为（）A. B. C. D.10.如图，，，表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，，表示连接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔，，分别为米，米，米．由点测得点的仰角为，由点测得点的仰角为，那么和的总长度是（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后沿方向前行，到达点，在处测得树顶的仰角为（、、三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树的高度是________米．（结果保留根号）12.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为________海里．13.如图，在高出海平面米的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得它的俯角为゜，则船与观测者之间的水平距离________米．14.一船向东航行，上午时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东距离为海里的处，上午时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为________．15.河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．16.如图，已知中，，是边的中点，，垂足为点，若，则________．17.为了测量楼房的高度，在距离楼房米的处，测得楼顶的仰角为，那么楼房的高为________．18.如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为________．19.如图，在平行四边形中，，，平分，交于点，过点作于点，交于点，则________．20.如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，如果无人机距地面高度为米，点、、在同一水平直线上，则、两点间的距离是________米．（结果保留根号）三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸平行于，河岸上有一排间隔为米的彩灯柱、、、…，小华在河岸的处测得，然后沿河岸走了米到达处，测得，求这条河的宽度（参考数据：，）．22.人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？23.如图，一艘船以每小时海里的速度向西南方向航行，在处观测灯塔在船的南偏西的方向，航行分钟后到达处，这时灯塔恰好在船的正西方向．已知距离此灯塔海里以内的海区有暗礁，这艘船继续沿西南方向航行是否有触礁的危险？为什么？（参考数据：，）24.一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．求整修后背水坡面的面积；如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？25.已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？26.某海域有、、三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向、两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向．求的度数；（2）船以每小时海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到小时）．（参考数据：，）答案1.D2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.C9.A10.C11.12.13.14.海里/时15.16.17.18.19.20.21.峨眉河的宽度约为米．22.解：当，则，故，故使用这个梯子最高可以安全攀到的墙；当梯子的底端距离墙面时，，∵ ，，∴ ，∴此时人能够安全地使用这个梯子．23.解：这艘船继续沿西南方向航行有触礁的危险．理由如下：过点作于．由题意得：，，∴ ，…设（海里），在中，（海里）…∵灯塔恰好在船的正西方向．∴∴∴在中（海里）…∵（海里）∵∴，…解得：，…∵海里海里．∴有触礁的危险．…24.解：作于．∵原来的坡度是，∴，设，，∴ ，又∵ 米，∴ ，则米，设整修后的斜坡为，由整修后坡度为，有，∴ ，∴ 米，∴整修后背水坡面面积为米．∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是块，有一种是块，而栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，∴两种方案中，选择种草块、种花块的方案花费较少．∵整修后背水坡面面积为米，∴每一小块的面积是米，∴需要花费元．25.解：过作于点．∵且，∴∴ （海里）∵在直角中，∴海里海里故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．26.约小时能到达出事地点．。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知Rt△ABC∽Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,且AB=2A'B',则sinA与sinA'的关系为( )A.sinA=2sinA'B.sinA=sinA'C.2sinA=sinA'D.不能确定2、如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A. 米2B. 米2C. 米2 D. 米23、如图，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B，海巡船继续向北航行4小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔B最近？（）A.1小时B.2小时C. 小时D.2 小时4、sin60°+tan45°的值等于（）A. B. C. D.15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则cos B的值为A. B. C. D.6、如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A.11.1米B.11.8米C.12.0米D.12.6米7、的值等于（）A. B. C. D.8、如图，已知中，，，，则的值为（）A. B. C. D.9、如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是（）A. B. C.10 D.810、Rt△ABC中，∠C=90°， a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A.30°B.37°C.38°D.39°11、如图，在6×6网格中，∠α的顶点在格点上（网格线的交点），两边分别经过格点，则tanα的值是（）A.2B.C.D.12、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.13、在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）A.3B.C.D.14、在平面直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是( )A.－2B.－8C.2D.815、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30 海里B.30 海里C.60海里D.30 海里二、填空题(共10题，共计30分)16、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．17、cos51°10′=sin________．18、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．19、如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为________．20、一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了________ 米．21、（在△ABC中，AB=AC=10，cosB= ，如果圆O的半径为2 ，且经过点B、C，那么线段AO的长等于________．22、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝8 ，BC＝20，∠A＝60°，P是边AD上一动点，连结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是________.23、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则sin∠ABC的值等于________．24、如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是________．25、⊙O的半径为1，弦AB= ，弦AC= ，则∠BAC度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、如图1，圆规两脚形成的角α称为圆规的张角．一个圆规两脚均为12cm，最大张角150°，你能否画出一个半径为20cm的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）28、如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）29、先化简，再求值：|﹣2|﹣（﹣π）0+tan45°+（）﹣1．30、“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B3、B4、B5、C6、D7、A8、A9、D10、B11、A12、C13、D14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、30、。
沪科版九年级数学上学期第23章解直角三角形单元综合测试卷含答案
年级上册数学单元综合测试卷（第23章 解直角三角形）注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A .13B .3CD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ）A .34B .43C .35D .453.如果∠α为锐角，且sin α＝0.6，那么α的取值范围是（ ）A .0°＜α≤30°B .30°＜α＜45°C .45°＜α＜60°D .60°＜α≤90° 4.若α为锐角，且sin α＝45，则tan α的值为（ ） A .925 B .35 C .34 D .435.如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标为（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为（ ） A .45 B .54 C .35 D .53第5题图 第8题图 第9题图 第10题图6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝1213，则cos A 的值为（ ） A .512 B .125 C .1213 D .13127.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B C D8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，则tan ∠CDE 的值等于（ ） A .1013 B .1310 C .512 D .1259.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ） A .1600sin α(m 2) B .1600cos α(m 2) C .1600sin α(m 2) D .1600cos α(m 2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A .5mB .103m C . D .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin ∠BDC ＝2，AD ＝4．则DC ＝___________.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3米到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC ），则建筑物CD 的高度为___________米．13.如图，已知点A （0），直线y ＝x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，连接AB ，∠α＝75°，则b ＝________．14.如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝________. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°tan60°－(-tan4516.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝A ＝30°. （1）求BD 和AD 的长； （2）求tan C 的值.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01 1.414 1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六、（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七、（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八、（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.（1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBDACBCAD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.2. 12. 7 . 13. 5 . 14.12. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+，＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3- ＝3－1+1－3＝3.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3， 在Rt △ABD 中，AD ＝AB cos A ＝6×3＝33； （2）∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝23，在Rt △BCD 中，tan C ＝BD CD ＝23＝3.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ， ∵BE ＝AE +AB ， ∴3x ＝x +50，解得：x ＝253+25≈68.30． 答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°， 又∵∠MAN ＝∠BAC ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴AC AB ＝ANAM＝34，设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC ＝22AB AC ＝7x ， 在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝7x＝37.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ，即∠B ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ， ∴CH ：AC ＝1：5， ∴sin B ＝55；（2）∵sin B ＝5， ∴AC ：AB ＝1：5， ∴AC ＝2，∵∠CAH ＝∠B ， ∴sin ∠CAH ＝sin B ＝5， 设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2， ∴CE ＝x ＝1，AC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3． 20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2， ∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝12AC ＝3． 在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝tan AFB＝1， ∴AB ＝22AF BF ＝10． 六、（本题满分12分）21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠P AM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里， ∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP cos30°＝103海里，∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里，∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里， ∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里． 七、（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO tan60°＝1003（米）． 设PE ＝x 米， ∵tan ∠P AB ＝PE AE ＝12， ∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ， ∵PF ＝CF ，∴100+2x ＝1003﹣x ， 解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)3-（米）． 八、（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠N ，∠D ＝∠MCN ， ∵点M 是边CD 的中点， ∴DM ＝CM ，∴△ADM ≌△NCM （AAS ）， ∴CN ＝AD ＝3，AM ＝MN ＝12AN ， ∴BN ＝BC +CN ＝5+3＝8， ∵∠ABC ＝90°，∴S △ABN ＝12×AB BN ＝12×4×8＝16， ∴S △ABM ＝12S △ABN ＝8；∴△ABM 的面积为8；（2）过点M 作MK ⊥BC ，∵∠ABC ＝90°， ∴MK ∥AB ，∴△NMK ∽△NAB ，∴MK AB ＝MN AN＝12，∴MK ＝12AB ＝2，在Rt △ABN 中，AN∴BM ＝12AN ＝在Rt △BKM 中，sin ∠MBC ＝MKBM ，∴∠MBC 的正弦值为5．。
九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》单元测试卷 -沪科版(含答案)
第23章《解直角三角形》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，4sin 5A =，则AB 的值为()A．8B．9C．10D．122．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，则cos B 的值为()A．13B．12C．22D．323．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC 为50米，滑梯的坡比为5:12，则滑梯的长AB 为()A．100米B．110米C．120米D．130米4．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ACB ∠的值为()A．13B．35C．23D．125．下列各式中正确的是()A．sin 46cos 44︒>︒B．2sin 40sin 80︒=︒C．cos 44cos 46︒<︒D．22sin 44sin 461︒+︒=6．如图，在44⨯的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若ABC ∆的顶点都在格点上，则cos ABC ∠的值是()A．13B．12C．55D．2557．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若2AB BD =，2tan 3BCD ∠=，则ACBC的值为()A．1B．2C．12D．328．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，D 为AC 边上一动点，且1tan 2ABD ∠=，则BD 的长度为()A．1558B．25C．5D．5119．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8AC m =， 2.4PD m =， 1.2CF m =，15DPE ∠=︒．若90PEB ∠=︒，65EBA ∠=︒，则AP 的长约为()（参考数据：sin 650.91︒≈，cos 650.42︒≈，sin 500.77︒≈，cos500.64)︒≈A．1.2B．1.3m C．1.5m D．2.0m10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD ．根据此图形可求得tan15︒的值是()A．23-B．23+C．36D．32二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的是．A ．sin a c A =⋅B ．cos b c B =⋅C ．tan a b A =⋅D ．tan a b B=⋅12．有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若坡比为2:5，则此斜坡的水平距离AC 为．13．在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，8BC =，5CD =，则tan ACD ∠=．14．如图所示，MON ∠是放置在正方形网格中的一个角，则tan MON ∠的值是．15．在ABC ∆中，22AB =，1tan 3B =，BC 边上的高长为2，则ABC ∆的面积为．16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30︒，拉索BD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索底端距离20AD =米，则立柱BC 的高为米．（结果保留根号）17．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB 与支架AD ，砝码杆AC 均成120︒角，且40AB cm =，18AC cm =，6AD cm =，底座是半径为2cm 的圆柱体，点P 是杠杆的支点．如图1，若砝码E 在端点C 时，当杠杆平衡时，支架AD 垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M 到支点P 的距离PM 为cm ．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B ，砝码杆重力集中在砝码E 上，支架AD 的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且1122G h G h ⋅=⋅，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E 到离A 点的距离为cm ．18．用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空白正方形的“风车图”，则图2中tan ABC ∠=．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：22sin 456cos303tan 454sin 60︒-︒+︒+︒．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，求sin A ，cos A ，tan A 的值．21．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．（1）如果25B∠=︒，求CAE∠的度数；（2）如果2CE=，2sin3CAE∠=，求tan B的值．22．如图，在ABC∆中，已知ABC m∠=︒，ACB n∠=︒．090m n︒<︒+︒<︒，1AC=．（1）求AB及BC的长度（用m︒，n︒的三角函数表示）；（2）试判断sin()sin cos cos sinm n m n m n︒+︒=︒︒+︒︒是否成立并说明理由．23．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为)O 的墙上．当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角60ABO ∠=︒，当梯子底端向右滑动0.5m （即0.5)BD m =到达CD 位置时，它与地面所成的角5118CDO ∠=︒'，求梯子的长．（参考数据：sin 51180.780︒'=，cos 51180.625︒'=，tan 5118 1.248)︒'=24．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE AB =．（1）若1AE =，求ABD ∆的周长；（2）若13AD BD =，求tan ABC ∠的值．25．在太原郁郁葱葱的西山上，环绕着一条蜿蜒曲折、鲜艳夺目的公路，它就是太原环城旅游公路暨公路自行车赛道，该赛道环西山而建，全长约136千米，将百余处景点串连成一条线．（1）周日，某自行车骑行团组织甲、乙两个赛队在该赛道进行骑行活动，他们从赛道同一端出发，甲队出发25分钟时乙队出发，结果乙队比甲队提前15分钟到达终点（即赛道的另一端）．已知乙队骑行的平均速度为甲队的1.2倍．求甲、乙两个赛队此次活动骑行的平均速度．（2）该赛道一端附近是太原市的摄乐桥如图（1），摄乐桥是太原市第18座跨汾河大桥，也是太原市首座仅靠主塔及缆索承担桥面重量的跨河大桥．某数学兴趣小组的同学们为了测量摄乐桥主塔的高AB，在地面上选取测点C放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角45∠=︒，将测ADM倾仪向靠近主塔的方向前移10m至点E处，测得主塔顶端A的仰角47.7∠=︒，测量示意图AFM如图（2）所示．已知测倾仪的高度 1.5︒≈，=，求摄乐桥主塔的高AB．（参考数据：sin47.70.74CD m︒≈︒≈，tan47.7 1.10)cos47.70.6726．山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香”．县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱心助农精准脱贫”的方式，构建“隰县玉露香”电商生态圈，使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021年春节期间，“隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用10000元购进一批“隰县玉露香”，销量可观，于是又用18000元购进一批同款规格的“隰县玉露香”，但第二次的进价比第一次每箱上涨20元，第二次所购数量恰好是第一次的1.5倍．（1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格．（2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传输效率．如图，是一个新建的移动信号发射塔AC ，其高15AC m =．用测角仪在山脚下的点B 处测得塔底C 的仰角36.9CBD ∠=︒，塔顶A 的仰角42ABD ∠=︒，点A ，C ，D 在同一条铅垂线上．果农要在山脚B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少100m 就可不受信号塔辐射的影响．请判断在点B 处的房屋是否受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．（测角仪、房屋的高度忽略不计；结果精确到0.1m ；参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒=，sin 420.67︒=，cos 420.74︒=，tan 420.90)︒≈答案一、选择题C ．B .D ．D ．D ．C ．B ．D ．B ．A ．二、填空题11．A 、C ．12．75m ．13．43．14．1．15．7或5．16．．17．165．18．3．三、解答题19．原式22()6314222=⨯-⨯+⨯+⨯2234=⨯-+13=-++4=．20．在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：8AC ===，所以63sin 105BC A AB ===，84cos 105AC A AB ===，63tan 84BC A AC ===．21．（1）DE 垂直平分AB ，EA EB ∴=，25EAB B ∴∠=∠=︒．40CAE ∴∠=︒．（2）90C ∠=︒ ，∴2sin 3CE CAE AE ∠==．2CE = ，3AE ∴=，AC ∴=3EA EB == ，5BC ∴=，∴tan AC B BC ==．22．（1）作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD ∆中，1AC =，sin AD n AD AC ︒==，cos CD n CD AC︒==，在Rt ABD ∆中，sin AD m AB ︒=，sin sin sin AD n AB m m ︒∴==︒︒，cos BD m AB︒= ，sin cos cos sin n BD AB m m m ︒∴=⋅︒=︒︒．sin cos cos sin n BC BD CD m n m ︒∴=+=︒+︒︒．（2）成立，理由如下：作CE BA ⊥交BA 延长线于点E ，EAC ∠ 为ABC ∆的外角，EAC B ACB m n ∴∠=∠+∠=︒+︒，在Rt EBC ∆中，sin CE m BC︒=，sin sin (cos cos )sin sin cos cos sin sin n CE BC m m n m m n m n m ︒∴=⋅︒=︒+︒︒=︒︒+︒︒︒．23．设梯子的长为xm ，在Rt ABO ∆中，cos OBABO AB∠=1cos cos 602OB AB ABO x x ∴=∠=︒=在Rt CDO ∆中，cos ODCDO CD∠=cos cos51180.625OD CD CDO x x ∴=∠=︒'≈ ．BD OD OB =- ，0.5BD m =10.6250.52x x ∴-=，解得4x =．故梯子的长是4米．24．（1）如图，连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，BD CD ∴=，ABD C AB AD BD∆=++AB AD DC=++AB AC =+，AB CE = ，1ABD C AC CE AE ∆∴=+==，故ABD ∆的周长为1．（2）设AD x =，3BD x ∴=，又BD CD = ，4AC AD CD x ∴=+=，在Rt ABD ∆中，AB ==．tanAC ABC AB ∴∠===．25．（1）设甲队骑行的平均速度为/xkm h，则乙队骑行的平均速度为1.2/xkm h．根据题意，得13613625151.26060x x-=+，解得：34x=．经检验，34x=是原方程的根．1.2 1.23440.8x∴=⨯=．答：甲队骑行的平均速度为34/km h，乙队骑行的平均速度为40.8/km h．（2）如图，过点D作DG AB⊥于点G，则DG过点F．由题意得 1.5BG EF CD m===，10DF m=．设FG a=m．在Rt ADG∆中，45ADG∠=︒，(10)AG DG a m∴==+．在Rt AFG∆中，tanAG AFGFG∠=，tan tan47.7 1.10() AG FG AFG a x m∴=⋅∠=︒≈，10 1.10a a∴+=，解得：100a≈，10100110()AG m∴=+=，110 1.5111.5()AB AG BG m∴=+=+=．答：摄乐桥主塔的高AB约为111.5m．26．（1）设第一次购进隰县玉露香的进价为x 元/箱，根据题意可得：10000180001.520x x ⨯=+，解得100x =，经检验，100x =是原方程的解，答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为100元；（2）由题意得，90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD∠=，tan 42AD BD ∴=⋅︒，在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=，tan 36.9CD BD ∴=⋅︒，AC AD CD =- ，15AC m =，15tan 42tan 36.9BD BD ∴=⋅︒-⋅︒，解得100BD m ≈，100135.1()cos 0.74BD AB m ABD ∴=≈≈∠，135.1100> ，∴在点B 处的房屋不会受信号塔塔顶A 发出的信号辐射的影响．。
沪科版九年级数学上 第23章 解直角三角形单元检测卷(含答案)
第23章 解直角三角形单元检测卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点A ，它的坐标为（x ，y ），直线AO 与x 轴正半轴的夹角为α，则α的正弦值为……………………………………………【 】A . x yB . y xC . 22y x y +D .2.在Rt △ABC 中，若将各边的长都扩大为原来的n 倍，则锐角A 的余弦值将………【 】A . 扩大为原来的n 倍B . 缩小为原来的n 倍C .没有变化D .不能确定3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列关系式：①0＜sin A ＜1；②sin A ＋sin B ＞1；③sin 2A ＋sin 2B ＝1；④sin A ＝sin B ·tan A .其中正确的有……………………………………【 】 A .①②③④ B .①② C .245D .6第1题图CB第4题图A第7题图4.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，sin ∠CAB ＝0.6，则AC 边上的高为……………【 】A .9.8B .9.6C .8D .6 5.在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝13，则tan A 的值为……………………………………【 】A .125 B . 513 C . 1213D .不确定 6. 在△ABC 中，AB＝12，BC ＝AD 是BC 边上的高，AD ＝6，则tan C 的值为【 】ABCD .2A .1︰43 B . 1︰0.75 C .35D . 0.8 30°CB第8题图A135°252m25mCB第9题图A第10题图D CBA8.如图，我校准备从地面A 点向国旗杆底座上部B 点修建阶梯AB ，已知AC ＝1.5m ，每阶的高不超过15cm1.732，最后一阶的高不足15cm 时按一阶计）…………………………………………………………………………………【 】 A .4阶 B .5阶 C .6阶 D .7阶 9.如图，我市和平小学准备在一块如图所示的三角形空地上种植花草以美化校园，若请园林工人种植花草需2元/m 2，,学校发动师生自己动手种植花草需1.5元/m 2，则学校发动师生自己动手种植花草可节约资金…………………………………………【 】 A .468.75元 B .312.5元 C .156.25元 D .625元10.如图，某水渠的横断面为四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠CBA ＝120°，设AD ＝x ，四边形ABCD 的周长为 y ，在水流速度一定的情况下，水流量与水渠横断面面积成正比，要使水渠的流量最大，则x 与y 应满足的关系是……………………………【 】 A .y ＝3x B . y ＝4x C . y ＝5x D . y ＝6x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知在△ABC 中，∠C ＝90°，两直角边分别为a 、b ，且a 、b 满足方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，则sin B ＝___________.12.如图，在□ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠BDE ＝30°，DE ＝1，则DB ＝_____________. 13.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 为AC 上一点，若tan ∠DBA ＝14，则tan ∠DBC ＝ _______________.14.如图，为了测量我市电视塔MN 的高度，在塔前的平地上选择一点P ，测得看塔顶的仰角为30°，从P 点向塔底N 走100m 到达Q 点，测得看塔顶的仰角为45°，则电视塔MN 的高度为____________m .O第12题图E DC BA第13题图DC B AQ 第14题图MP三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）15．计算：﹣2﹣2°－sin 245°＋21cos 60-︒.16.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠CDE ＝∠α，DA ＝8，DC ＝15，试求∠α的三个三角函数值.αEDCBA17.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）求证：tan A＝sincosAA；（2）运用上述结论，解决下列问题，已知α为锐角，且tanα＝2，试求sin2cos 3sin4cosαααα＋－的值.18.如图，将两块三角板按如图所示放置，其中∠ACB＝∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∠ABC＝30°，AF＝BC＝3，试求四边形ACED的周长.F EDCBA19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 边的中点，AN ⊥CM ，交CM 的延长线于点N ，BC ＝9，cos B ＝35. （1）求AN 的长；（2）求sin ∠CAN 的值.CBAN M20.如图，我市风景区有两个景点A 、B ，为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A 、B 两景点之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 点的北偏东60°方向、B 点的西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.8千米的小水塘，试问小水塘会不会影响公路的修建？请说明理由.45°60°CBA21.如图，为了测量我校教学楼前的一座景观石的高度，在教学楼二楼的C点处测得顶部A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，又在五楼的D点测得顶部A点的俯角为60°，已知CD＝10m，试求景观石AB1.7，结果保留整数）.30°45°60°CBAED22.如图，我市防汛指挥部发现在我市的长江段有一处长300m ，高6m ，背水坡的坡角为45°的防洪大堤急需加固，其横截面为梯形ABCD ，防汛专家制定方案：背水坡面用土石进行加固，使上底加宽1m ，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1︰2. （1）求加固后坝底增加的宽度BE 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？CB AF ED23.如图，池塘中央有一棵大树，在数学活动课上余老师带领同学们去测量这棵大树的高度，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出这棵树的高度AB，要求：（1）请你画出测量示意图并写出测量步骤（测量所得数据均用字母表示）；（2）根据（1）中的数据计算这棵树的高度AB.B参考答案1.D 解析：如下图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则OB ＝x ＝x ，AB ＝y ＝y ，在Rt △OAB中，由勾股定理得OA ，∴sin α＝ABOA ，∴D 对.2.C 解析：锐角三角函数值的大小只与角的度数有关，与其他因素无关，∴C 对.3.A 解析：∵a ＜c ，∴0＜a c ＜1，∵sin A ＝a c ，∴0＜sin A ＜1，∴①正确；∵sin A ＝ac，sin B ＝b c ，∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝a b c +，∵a ＋b ＞c ，∴a b c+＞1，∴sin A ＋sin B ＞1，∴②正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝22a c ＋22b c ＝222a b c +，∵a 2＋b 2＝c 2，∴222a b c +＝1，∴sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴③正确；∵sin A ＝a c ，sin B＝b c ，tan A ＝a b ，∴sin B ·tan A ＝b c ×a b ＝ac＝sin A ，∴④正确.∴A 对. 4.B 解析：如下图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，在Rt △CAD 中，sin ∠CAD ＝CDCA＝0.6，∴CD ＝0.6×CA ＝0.6×10＝6，由勾股定理得AD 8，∴AB ＝16，∵S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×AC ×BE ，∴BE ＝AB CD AC ⨯＝16610⨯＝9.6，,∴B 对.5.D 解析：∵△ABC 不一定是直角三角形，∴tan A 的值不能确定，∴D 对.CD ＝BC －BD ＝在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CDAD 在△ABC 外部时，如下图②，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD∴CD ＝BC ＋BD ＝在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CD＝7.∴综上，tan C7.∴B 对. 图①CBA图②DCB A7.A 解析：如下图，斜坡AB ＝10，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，此时斜坡高度BC ＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC8，∴斜坡坡度i ＝BC AC ＝68＝34＝1︰43∴A 对.8.C 解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝1.5，∵tan A ＝BCAC，∴BC ＝AC ·tan A ＝1.5×0.15≈6（阶），∴C 对. 9.C 解析：如下图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，又AC ＝Rt △ACD 中由si n ∠ACD ＝ADAC得AD ＝AC ×sin45°＝2＝25，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×25×25＝312.5，135°252m 25mD CBA10.B 解析：如下图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，由题意得Rt△AED ≌△BFC ，四边形ABFE 为矩形，∵∠DAB ＝∠CBA ＝120°，∴∠D ＝∠C ＝60°，∵AD ＝BC ＝x ，∴DE ＝CF ＝12x ，由勾股定理得AE ＝BF＝，设水渠流量为z ，则z ＝12（y －2x2＋xyx －14y ）2y 2，当x ＝14y 时，z 最大，∴当y ＝4x 时，水渠的流量最大，∴B 对.11.2或10解析：解方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，得a ＝b 或a ＝3b ，当a ＝b 时，c，∴sin B ＝b c＝2；当a ＝3b 时，c，∴sin B ＝b c＝10.∴sin B＝2. 12.解析：在Rt △ODE 中，cos ∠ODE ＝DE OD ，∵∠BDE ＝30°，DE ＝1，∴OD ＝cos30DE ︒2ABCD 为平行四边形，∴DB ＝2DO.13.35解析：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，由勾股定理得AB＝Rt△ADE中，设AD＝DE＝x，则由勾股定理得AD，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝DEBE＝14，∴BE＝4x，∴AB＝BE ＋AE＝5x＝xAD＝2，∴CD＝3，∴在Rt△DBC中，tan ∠DBC＝DCBC＝35.14.（50）解析：在Rt△MNQ中，设MN＝x，∵∠MQN＝45°，tan∠MQN＝MNQN，∴QN＝tan45x︒＝x，在Rt△MNP中，MN＝x，∵∠MPN＝30°，tan∠MPN＝MNPN，∴PN＝tan30x︒，∵PN－QN＝PQ，∴－x＝100，解得x＝50＝MN.15.解：原式＝﹣14＋2＋211()2-＝﹣14＋2－12＋34＝2.16.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°，在Rt△ADC中，DA＝8，DC＝15，∴由勾股定理得AC17，∵DE⊥AC，∴∠α＝∠CDA，∴sin∠α＝sin∠CDA＝DCAC＝1517，cos∠α＝cos∠CDA＝DAAC＝817，tan∠α＝tan∠CDA＝DCDA＝158.17.解：（1）∵sin A＝ac，cos A＝bc，∴sincosAA＝acc＝ac×cb＝ab，∵tan A＝ab，∴tan A＝sincosAA；（2）由（1）得tanα＝sincosαα，又tanα＝2，∴sincosαα＝2，∴sinα＝2 cosα，代入得sin2cos3sin4cosαααα＋－＝2cos2cos6cos4cosαααα＋－＝2.18.解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝3，tan∠B＝ACBC，∴AC＝BC×tan30°＝3FC＝AF－AC＝3Rt△ADF中，∠F＝45°，AF＝3，sin∠F＝ADAF，∴AD＝AF×sin45°＝3＝DF，又在等腰Rt△FCE中，∠F＝45°，FC＝EC＝3cos∠F＝FCFE，∴FE＝cos45FC︒＝∴DE＝DF－EF＝2－2，∴AC＋EC＋DE＋AD33ACED的周长为3（2）在Rt△AMN中，由勾股定理得MN2.1，∴CN＝CM＋MN＝7.5＋2.1＝9.6，∴在Rt△ACN中，sin∠CAN＝ANAC＝9.612＝45.20.解：小水塘会影响公路的修建，理由如下：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝tan 45CD ︒＝x ，在Rt △CDA 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CDAD，∴AD ＝tan 30CD︒，又AB ＝AD ＋BD ＝2＋x ＝2，解得x1，1≈0.732＜0.8，小水塘会影响公路的修建.45°60°CBA21.解：如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵∠ADC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴∠CAD ＝90°，∵CD ＝10，∴AC ＝12CD ＝5，在Rt △ACF 中，AF ＝AC sin30°＝5×12＝52，CF ＝AC cos30°＝5，在Rt △BCF 中，∵∠BCF ＝45°，BF ＝AC tan30°＝5，∴AB ＝AF ＋BF ＝52≈9（m ）.答：景观石AB 的高度约为9m.22.解：（1）如下图，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，过点F 作FP ⊥BC 于点P ，则AF ＝PQ＝1，AQ ＝FP ＝6，在Rt △ABQ 中，∠ABQ ＝45°，tan ∠ABQ ＝AQBQ，∴BQ ＝tan 45AQ ︒＝6，∴BP ＝BQ －PQ ＝6－1＝5，在Rt △EFP 中，i ＝1︰2＝FPEP，∴EP ＝2FP ＝12，∴EB ＝EP －BP ＝12－5＝7；（2）S梯形AFEB＝12（F A ＋EB ）×FP ＝12（1＋7）×6＝24，24×300＝7200（m 3）∴完成这项工程需要土石7200立方米.Q P CB AF ED23.解：（1）测量示意图如下图；测量步骤：①用皮尺测出测角仪的高度h ；②在地面上选择点C 安装测角仪并测出此时树顶A 点的仰角∠ADE ＝α；③沿CB 前进到点F ，用皮尺测出点C 、F 之间的距离CF ＝l ；④在点F 处安装测角仪，测得此时树顶A 点的仰角∠AGE ＝β.（2）观察测量示意图，设AE ＝x ，在Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝AE DE ，∴DE ＝－tan xα，在Rt △AGE 中，tan ∠AGE ＝AE GE ，∴GE ＝tan xβ，∵DE －GE ＝DG ＝CF ＝l ，∴tan x αtan x β＝l ，解得x ＝tan tan tan tan l αββα∙-，∴AB ＝AE ＋EB ＝AE ＋CD ＝tan tan tan tan l αββα∙-＋h .。
九年级数学上册 第23章 解直角三角形 单元测试卷(沪科版)
九年级数学上册第23章解直角三角形单元测试卷（沪科版）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是()A．sin A＝125B．cos A＝513C．tan A＝1213D．tan B＝125(第1题)(第4题)(第6题)2．在Rt△ABC中，cos A＝12，那么sin A的值是()A.22 B.32 C.33 D.123．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为()A．1：2 B．1： 3 C．30°D．60°4．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为()A．3sin α米B．3cos α米 C.3sin α米 D.3cos α米5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝22，则对△ABC的形状描述最准确的是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D，设∠ACD ＝α，则cos α的值为()A.45 B.34 C.43 D.357．如图，P是锐角α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则sin α等于()A.35 B.45 C.34 D.43(第7题)(第8题)(第9题) 8．某公路在BC路段限速60 km/h(即最高行驶速度不能超过60 km/h)，管理部门在距离公路100 m处设置了一个速度监测点A，假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于()A．300 m B．(100 3＋100)mC．200 3m D．100(3＋2)m9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为()A.35 B.55 C.45 D.2 5510．如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是()A.24 B.14 C.13 D.23(第10题)(第12题)(第13题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______．12．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC＝6米，坡角β＝45°，AD的坡角α＝30°，则AD长为________米(结果保留根号)．13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则tan ∠AOB＝________．14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝13，tan∠BA3C＝17.(1)计算tan∠BA4C＝________；(2)按此规律，写出tan∠BA n C＝________．(用含n的代数式表示)(第14题)三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：(π－2 023)0－3tan 30°＋|1－3|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2.16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝2 3，b ＝6，解这个直角三角形．(第16题)四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部B 的仰角α为45°，看这栋楼底部C 的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m ，求这栋楼的高度(结果保留根号)．(第17题)18．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cos B＝12，tan C＝3 3.(第18题)(1)求∠B的度数；(2)求BC的长；(3)求△ABC的面积．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长(结果精确到1米；参考数据sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)．(第19题)20．如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3 2 km到达B 地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地．(第20题)(1)求A地与电视塔P的距离；(2)求C地与电视塔P的距离．六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AB＝AO，求tan∠OAD的值．(第21题)七、(本题满分12分)22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE 的底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.试求大楼BC的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92)(第22题)八、(本题满分14分)23．(1)观察与猜想：已知当0°<α<60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是________(填序号)；①2sin (30°＋α)＝sin α＋3；②2sin (30°＋α)＝2sin α＋3；③2sin (30°＋α)＝ 3 sin α＋cos α.(2)探究与证明：如图①，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝30°，AC＝1，请利用图①证明(1)中你猜想的结论；(3)应用新知识解决问题：两块分别含有45°角和30°角的直角三角板如图②方式摆＝________．放在同一平面内，BD＝8 2，则S△ABC(第23题)答案一、1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.B9．A 【点拨】如图，连接BF .(第9题)∵CE 是斜边AB 上的中线，EF ⊥AB ，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴S △AEF ＝S △BEF ＝5，BF ＝AF ，∴S △AFB ＝10＝12AF ·BC ，∠FBA ＝∠A .∵BC ＝4，∴AF ＝5＝BF ，∴在Rt △BCF 中，CF ＝BF 2－BC 2＝52－42＝3.∵CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，∴CE ＝AE ＝BE ＝12AB .∴∠A ＝∠ABF ＝∠ACE .又∵∠BCA ＝90°＝∠BEF ，∴∠CBF ＝90°－∠BFC ＝90°－2∠A ，∠CEF ＝90°－∠BEC ＝90°－2∠A ，∴∠CEF ＝∠CBF ，∴sin ∠CEF ＝sin ∠CBF ＝CF BF ＝35.10．A 二、11.60°12.6213.1314．(1)113(2)1n 2－n ＋1三、15.解：(π－2023)0－3tan 30°＋|1－3|2＝1－3×33＋3－1＋4＝1－3＋3－1＋4＝4.16．解：∵a ＝23，b ＝6，∠C ＝90°，∴c＝a2＋b2＝12＋36＝48＝4 3.∵tan A＝ab＝236＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.四、17.解：在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝100m.在Rt△ADC中，CD＝AD×tan∠DAC＝1003m，∴BC＝BD＋CD＝(100＋1003)m.答：这栋楼的高度为(100＋1003)m.18．解：(1)∵∠B为锐角且cos B＝12，∴∠B＝60°.(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵cos B＝1 2，∴BHAB＝12.∵AB＝6，∴BH＝3.在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝62－32＝3 3.∵tan C＝33，∴AHCH＝33，即33CH＝33，∴CH＝1，∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4.(3)S△ABC＝12BC·AH＝12×4×33＝6 3.(第18题)五、19.解：如图，延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5米．设MH＝x米．(第19题)∵∠MEC ＝45°，∴EH ＝x 米．在Rt △MHB 中，tan ∠MBH ＝MH HE ＋EB ＝xx ＋3.5≈0.65，解得x ＝6.5.∴MN ＝1.6＋6.5＝8.1≈8(米)．答：电池板离地面的高度MN 的长约为8米．20．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D .(第20题)依题意，得∠BAD ＝45°，则∠ABD ＝45°.在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝22AB ＝22×32＝3(km)．∵∠PBN ＝75°，∴∠APB ＝∠PBN －∠PAB ＝30°，∴PD ＝BDtan 30°＝33km ，PB ＝2BD ＝6km ，∴AP ＝AD ＋PD ＝(3＋33)km ，∴A 地与电视塔P 的距离为(3＋33)km.(2)如图，过点C 作CE ⊥BP 于点E .∵∠PBN ＝75°，∠CBN ＝15°，∴∠CBE ＝60°.∵BC ＝PB ＝6km ，∴△BCP 是等边三角形，∴PC ＝BC ＝PB ＝6km ，∴C 地与电视塔P 的距离为6km.六、21.(1)证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ∥BD 且AE ＝BD .又∵AD 是边BC 上的中线，∴BD ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD .又∵四边形ADCE 是平行四边形，∴四边形ADCE 是菱形．(2)解：∵四边形ADCE 是菱形，∴AO ＝CO ，∠AOD ＝90°.又∵BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12AB .∵AB ＝AO ，∴OD ＝12AO ，∴在Rt △OAD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝12.七、22.解：延长AE 交CD 的延长线于点M ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，则四边形AMCN 是矩形，∴NC ＝AM ，AN ＝MC .在Rt △EMD 中，∠EDM ＝37°，∵sin ∠EDM ＝EM ED ，cos ∠EDM ＝DM ED，∴EM ＝ED ×sin 37°≈20×0.6＝12(米)，DM ＝ED ×cos 37°≈20×0.8＝16(米)，∴AN ＝MC ＝CD ＋DM ≈74＋16＝90(米)．在Rt △ANB 中，∠BAN ＝42.6°，∵tan ∠BAN ＝BN AN ，∴BN ＝AN ×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(米)，∴BC ＝BN ＋AE ＋EM ≈82.8＋3＋12≈98(米)．答：大楼BC 的高度约为98米．八、23.(1)③(2)证明：如图①，过点A 作AM ⊥BM ，交BC 的延长线于点M ，过点C 作CE ⊥AB 于点E .(第23题)∵∠AMB ＝90°，∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ，即AB ＝2AM .∵∠ACM 为△ABC 的外角，∴∠ACM ＝∠B ＋∠BAC ＝30°＋α.在Rt △ACM 中，AC ＝1，∴AM ＝AC ·sin ∠ACM ＝sin (30°＋α)，∴AB ＝2sin (30°＋α)．在Rt △AEC 中，CE ＝AC ·sin α＝sin α，AE ＝AC ·cos α＝cos α.在Rt △BEC 中，BE ＝CE tan 30°＝3CE ＝3sin α.∴AB ＝BE ＋AE ＝3sin α＋cos α，∴2sin (30°＋α)＝3sin α＋cos α.(3)24＋83【点拨】∵∠ABD ＝45°，∠CBD ＝30°，∴2sin (30°＋45°)＝3sin 45°＋cos 45°＝6＋22，∴sin 75°＝6＋24.如图②，过点A 作AE ⊥BC 于点E .(第23题)在等腰直角三角形ABD 中，BD ＝82，∴AB＝AD＝8.在Rt△BCD中，BD＝82，∴CD＝42，∴BC＝BD2－CD2＝4 6.在Rt△ABE中，sin75°＝AE AB，∴AE＝8×6＋24＝26＋22，∴S△ABC＝12BC·AE＝12×46×(26＋22)＝24＋8 3.。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A.7sina米B.7cosa米C.7tana米D. 米2、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（）A. B. C. D.3、我国的“蛟龙号”创造了世界同类潜水器最大下潜深度纪录7062米．如图，在某次任务中，“蛟龙号”在点A处测得正前方海底沉船C的俯角为45°，然后在同一深度向正前方直线航行600米到点B，此时测得海底沉船C的俯角为60°，那么“蛟龙号”在点B下潜到沉船C处，下潜的垂直深度是（）米．A.600﹣600B.600+600C.900﹣300D.900+3004、如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：①作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；②以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接下列说法不正确的是( )A. B. C.点是的外心 D.5、轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A.25B.25C.50D.256、sin60°等于（）A. B. C. D.17、如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（）A. B. C. D.8、如图，⊙M过点O（0，0），A（﹣，0），B（0，1），点C是x轴上方弧AB上的一点，连接BC，CO，则∠BCO的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°9、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 .A. B. C. D.110、如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）A. B. C. D.11、已知为锐角，且，则等于（）A.50°B.60°C.70°D.80°12、小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（）A.5mB.2 mC.5 mD.10m13、如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1， S2，则（）A.S1= S2B.S1= S2C.S1= S2D.S1=S214、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=15、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（）A. B. C. D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是等边三角形，中线，交于点，，则的长为________.17、如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________．18、如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为________.19、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2=________度．20、 tan30°﹣＝________.21、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，AB＝10，则△ABC的面积为________．22、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为________．23、如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为________。
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形检测卷
第23章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.若∠A为锐角,且sin A=,则∠A的度数为A.30°B.45°C.60°D.90°2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为A. B. C. D.3.如果α是锐角,且sin α=,那cos(90°-α)=A. B. C. D.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是A.sin A=B.tan A=C.cos B=D.tan B=5.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,那么tan B=A. B. C. D.6.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为A. B.C. D.7.若一个等腰三角形腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°8.已知sin α>cos α,那么锐角α的取值范围是A.30°<α<45°B.0°<α<45°C.45°<α<60°D.45°<α<90°9.在Rt△ABC中,∠C=90°,下列式子中不一定成立的是A.tan A=B.sin2A+sin2B=1C.sin2A+cos2A=1D.sin A=sin B10.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行,20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船.那么救援船航行的速度为A.10海里/时B.30海里/时C.20海里/时D.30海里/时二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.若cos A>,则锐角A的取值范围是0°<A<60°.12.计算:1+tan 60°+-°=2+.13.如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为3米.14.如图,在一笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB 回到码头B,设从C开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时间相等,则=.(结果保留根号)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:(-2)2+|-|+2sin 60°-.解:原式=4++2×-2=4.16.(8分)在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=45°,sin B=,AD=1.求BC的长.解:∵tan C=,∴CD=1,∵AB==3,∴BD=-=2,∴BC=BD+CD=2+1.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ABC中,∠C是锐角,BC=a,AC=b.(1)证明:S△ABC=ab sin C;(2)若△ABC是等边三角形,边长为4,求△ABC的面积.解:(1)过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ACD中,AD=AC·sin C,∴S△ABC=BC·AD=ab sin C.(2)由(1)知S△ABC=×4×4×sin 60°=×4×4×=4.18.一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,求点B的坐标.解:过B点作BE⊥x轴于点E,由∠BEC=∠COA,∠EBC=∠OCA,∴△EBC∽△OCA,∴,在Rt△ACO中,AC=,在Rt△ABC中,∠CBA=30°,∴tan ∠CBA=,,∴BC=°∴,解得BE=3,EC=,∴EO=EC+CO=+3,∴点B的坐标为(-3-,3).五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,某居民小区内A,B两楼之间的距离MN=30米,两楼的高都是20米,A楼在B楼正南方向,B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米,窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时,A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光?若影响,挡住该住户窗户多高?若不影响,请说明理由.(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)解:如图,设光线FE影响到B楼的E处.作EG⊥FM于点G,由题知四边形GMNE是矩形,所以EG=MN=30米,∠FEG=30°,在Rt△EGF中,FG=EG×tan 30°=30×=10≈17.32(米),则EN=MG=FM-GF=20-17.32=2.68(米),因为DN=2米,CD=1.8米,所以ED=2.68-2=0.68(米),即A楼影子影响到B楼的一楼住户采光,挡住该住户窗户0.68米.20.一艘海轮上午九点于A处观察到在其北偏东30°的方向上有一灯塔S,随后海轮沿北偏东70°的方向航行,于十一点到达点B处,测得此时灯塔S在其北偏西70°的方向上,若灯塔S 距离点A处20海里,求海轮的航行速度.(结果精确到1海里)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)解:由题意知∠SAB=70°-30°=40°,∠SBA=(90°-70°)+(90°-70°)=40°,∴∠SAB=∠SBA,∴AS=BS=20.过点S作SC⊥AB于点C,则AC=BC.在Rt△ACS中,AS=20,∠SAC=40°,∵cos 40°=,∴AC≈20×0.77=15.4,∴AB=2AC≈30.8,∴海轮的速度约为30.8÷(11-9)=30.8÷2=15.4≈15(海里/小时).六、(本题满分12分)21.“兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前,是黄河上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥”之美誉.它像一部史诗,记载着兰州古往今来历史的变迁.桥上飞架了五座等高的弧形钢架拱桥.小芸和小刚分别在桥面上的A,B两处,准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离,其中AB=20 m,小芸在A处测得∠CAB=36°,小刚在B处测得∠CBA=43°,求弧形钢架拱梁桥顶部C处到桥面的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin 36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan 36°≈0.73,sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93)过点C做CD⊥AB于点D,设CD长为x.根据题意,在Rt△CDB中,=tan 43°≈0.93,则BD=;在Rt△CDA中,=tan 36°≈0.73,则AD=.又AB=20 m,∴=20,∴x=20÷=8.179≈8.2 m所以弧形钢架拱梁桥顶部C处到桥面的距离为8.2 m.七、(本题满分12分)22.一段路基的横断面是直角梯形,如图1,已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6,现不改变土石方量,全部利用原有土石方进行坡面改造,使坡度变小,达到如图2的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?解:由图1可知BE⊥DC,BE=30 m,sin α=0.6,在Rt△BEC中,∵sin α=,∴BC==50(m),在Rt△BEC中,由勾股定理得EC=40 m.在不改变土石方量,全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造,使坡度变小,则梯形ABCD的面积=梯形A1B1C1D1的面积,∴×(20+60)×30=×20×(20+20+E1C1)解得E1C1=80 m,∴改建后的坡度i=B1E1∶E1C1=20∶80=1∶4.八、(本题满分14分)23.如图,某海滨浴场的海岸线可以看作直线,1号救生员在岸边的点A处看到海中的点B处有人求救,便立即向前跑300米到离点B处最近的点D处,再跳入海中沿直线游到点B处救助.若救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒,且∠BAD=45°.(1)请问1号救生员到达点B处的时间是多少?(2)若2号救生员先从点A跑到点C处,再跳入海中沿直线游到点B处救助,且∠BCD=60°,请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B处?(参考数据:≈1.414,≈1.732)解:(1)在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,∴BD=AD=300米,由题意得t 1==50,t 2==150, ∴t=t 1+t 2=200秒,即1号救生员到达点B 处的时间是200秒.(2)在Rt △BCD 中,∠BCD=60°,∴CD=°=100 米,BC=°=200 米, ∴AC=(300-100 )米, ∴T=- =50+≈194(秒), ∵194<200,∴2号救生员先到达.。
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（第23章解直角三角形）注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是（）A.13B.3C.24D.222.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）A.34B.43C.35D.453.如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A.0°＜α≤30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α≤90°4.若α为锐角，且sinα＝45，则tanα的值为（）A.925B.35C.34D.435.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sinα的值为（）A.45B.54C.35D.53第5题图第8题图第9题图第10题图6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝1213，则cos A的值为（）A.512B.125C.1213D.13127.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是（）57213218.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE 的值等于（）A.1013B.1310C.512D.1259.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A.1600sin α(m 2) B.1600cos α(m 2) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A.5mB.103m C.45m D.25二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin∠BDC ＝32，AD ＝4．则DC ＝___________.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3米到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC ），则建筑物CD 的高度为___________米．13.如图，已知点A （30），直线y ＝x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，连接AB ，∠α＝75°，则b ＝________．14.如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝________. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°g tan60°－(-tan45)20162(tan301)︒-16.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB＝6，AC＝53，∠A＝30°.（1）求BD和AD的长；（2）求tan C的值.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝5，求BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六、（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七、（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八、（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM、BM. （1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBDACBCAD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11. 2. 12. 7 . 13. 5 . 14. 12. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+，＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3； （2）sin30°g tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3- ＝3－1+1－3＝3.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3， 在R t△ABD 中，AD ＝AB g cos A ＝6×3＝33； （2）∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝23，在R t△BCD 中，tan C ＝BD CD ＝23＝3.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米， 在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ， ∵BE ＝AE +AB ， ∴3x ＝x +50，解得：x ＝253+25≈68.30． 答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°， 又∵∠MAN ＝∠BAC ， ∴△AMN ∽△ABC ，∴AC AB＝ANAM ＝34，设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC ＝22AB AC ＝7x ， 在Rt△ABC 中，tan B ＝AC BC ＝7x＝37.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ，即∠B ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ， ∴CH ：AC ＝1：5， ∴sin B ＝5； （2）∵sin B ＝5， ∴AC ：AB ＝1：5，∴AC ＝2，∵∠CAH ＝∠B ， ∴sin ∠CAH ＝sin B ＝55， 设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2， ∴CE ＝x ＝1，AC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3． 20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2， ∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°，∴AF ＝12AC ＝3． 在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3，∴BF ＝tan AFB＝1，∴AB ＝22AF BF ＝10． 六、（本题满分12分）21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠PAM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里，∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP g cos 30°＝103海里， ∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里，∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里，∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里． 七、（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO g tan60°＝1003（米）． 设PE ＝x 米， ∵tan ∠PAB ＝PE AE ＝12， ∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ，∵PF ＝CF ，∴100+2x ＝1003﹣x ， 解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)-（米）． 八、（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠N ，∠D ＝∠MCN ， ∵点M 是边CD 的中点， ∴DM ＝CM ，∴△ADM ≌△NCM （AAS ），∴CN ＝AD ＝3，AM ＝MN ＝12AN ， ∴BN ＝BC +CN ＝5+3＝8， ∵∠ABC ＝90°，∴S △ABN ＝12×AB g BN ＝12×4×8＝16，∴S △ABM ＝12S △ABN ＝8；∴△ABM 的面积为8； （2）过点M 作MK ⊥BC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴MK ∥AB ，∴△NMK ∽△NAB ，∴MK AB ＝MN AN＝12，∴MK ＝12AB ＝2，在Rt △ABN 中，AN∴BM ＝12AN ＝在Rt △BKM 中，sin ∠MBC ＝MKBM ，∴∠MBC ．。