形式语言与自动机课件-第04章 正则表达式
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不能因为从初始状态q0到达终结状态qf ，所以这个NFA 只能接受 空集。
正则表达式和有穷自动机的关系
（2）r=ε, 对应的 NFA M是：
因为q0既是初始状态，又是终结状态，同时M也没有其他转移 动作，所以这个NFA 只能接受{ε}。 （3）r=a (a∈∑), 对应的 NFA M是：
因为这个NFA只有一个转移r函数δ(q0 ,a)={qf},而qf又是终 结状态，所以这个NFA 只接受{a}。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从q0出发有两个ε转移，一个是进入M1的初始状态 q1 ，开始模拟M1的动作；另一个是直接到M的终结状态f0，使M 能接受空串ε。当M1到达它的终结状态f1后，又有两个ε转移，一 个是返回到M1的初始状态q1，继续模拟M1的动作，以保证M能重 复接受M1所能接受的一切字符串；另一个是到M的终结状态f0，结 束M的动作。因此，M所接受的集合恰好是 M1所接受集合的闭包， 即L(M)=L(M1)*。定理证完。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从它的初始状态q1（也是M1的初始状态）出发，开 始模拟M1的动作，到达M1的终结状态f1以后，不用读任何符号马 上转移到M2的初始状态q2 ，然后继续模拟M2的动作，到达M2的 终结状态f2，也就是到达了M的终结状态。显然，M接受的集合恰 好是M1接受的集合和M2接受的集合的连接，也就是L(M)= L(M1)L(M2)。
正则表达式和有穷自动机的关系
定理4.1 设r是一个正则表达式，则存在一个具有ε-转移的有穷自 动机接受L（r）。
证明 我们对构成r的构造数目作归纳法证明一个比定理更强的命 题：存在一个具有ε-转移的有穷自动机 M，M只有一个终结状态 且没有从该状态出发的任何转移动作，使得 L(M)=L(r)。 归纳基础 设构成r的构造数目为0，即r是没有经过任何“+”、 “连接”和“*”构造的正则表达式，因此它只能是 φ，ε 或 ∑中 的某个符号a，下面针对这三种情况分别讨论。 （1）r=φ, 对应的 NFA M是：
正则表达式和有穷自动机的关系
归纳步骤 设对少于i(i≥1)次构造构成的正则表达式命题成立，现在的正 则表达式r由i次构造构成。根据r最后一次构成的形式，分三种情况讨论：
情况1 r = r1 + r2 。这里r1 和r2都是由少于i次构造构成的正则表达式， 所以根据归纳法假设，存在NFA M1 =（ Q1 ,∑1 ,δ1 ,q1 ,{f1}）,使得 L(M1)=L(r1)；存在NFA M2 =（ Q2 ,∑2 ,δ2 ,q2 ,{f2}）,使得 L(M2)=L(r2)。不妨假定Q1 , Q2不相交，现构造新的NFA M = (Q1 ∪ Q2∪{q0 ,f0}, ∑1∪∑2 ,δ,q0 ,{f0}),其中δ定义为： （1）δ(q0 ,ε)={q1 ,q2}； （2）对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； （3）对于Q2-{f2}中的q ,∑2∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ2(q ,a)； （4）δ(f1 ,ε)={f0},δ(f2 ,ε)={f0}。
正则表达式的定义
为了尽量减少括号，我们做如下的约定：
（1）每个正则表达式最外层的一对括号可以省略。
（2）规定正则表达式构造的优先次序为：
①*
最高级
② 连接（如 rs ）
次高级
③+
最低级
凡是符合此种顺序的，括号可以省略。
（3）同一种构造（如同为 +，连接或 *）连续出现时，规定从左到右依
次构造，中间的括号可以省略。
然后，再把r1表示成r3 r4 的形式，此时，r3 =1，r4 =0* 。对应于 r3的NFA也很容易得到，它是：
正则表达式和有穷自动机的关系
下面，r4是r5*的形式，此时r5 =0。对应于r5的NFA是：
为了构造一个对应于r4 =r5* 的NFA，根据定理4. 2. 1中情况3的 做法，得到如下的NFA：
正则表达式的定义
0*1+1*0，为什么是一个正则表达式，它代表的集合 应该是什么？
根据定义，因为字母表是{0，1}，所以其字母0和1本 身都是正则表达式，它们代表的集合分别是{0}和{1}； 然后由0构造(0*)，由1构造(1*),得到两个新的正则表 达式，它们代表的集合分别是{0}*和{1}*；再由(0*) 和1连接，得到((0*)1), 由(1*)和0连接，得到((1*)0)， 它们代表的集合分别是{0}*{1}和{1}*{0}；最后由 ((0*)1) 和((1*)0)这两个正则表达式通过“+”号， 构造出正则表达式(((0*)1)+((1*)0)) 它们代表的集合 就是{0}*{1}∪{1}*{0}。
正则表达式的定义
定义 4.1 设∑是一个字母表，∑上的正则表达式以及 由它们代表的集合，递归地定义如下： (1) φ是一个正则表达式，它代表空集。 (2) ε是一个正则表达式，它代表集合{ε}。 (3) 对于∑中每个符号a , a是正则表达式，它代表集合 {a}。 (4) 如果r和s是正则表达式，它们分别代表集合R和S， 则(r+s),(rs)和(r*)是正则表达式，并分别代表集合 R∪S, RS和R*。 正则表达式R代表的集合记为L(R)。
正则表达式和有穷自动机的关系
例4.6 根据定理4.1给出的构造方法，对正则表达式10*+0构造 一个对应的NFA。根据构造的优先次序约定，这个正则表达式的 构造顺序应当是(1(0*))+0，因为最后一次构造是“+”，所以它 具有r = r1 + r2 的形式，这里r1=10*，r2=0。对应于r2的NFA 是很容易得到的，它是：
其次，我们还可以看出，正则表达式和它所代表的集合形式上有 很大的相似性。大致上，正则表达式的“+”相当于集合中的并运 算符“∪”，正则表达式的“*”与集合中的闭包运算符一致，正 则表达式的“连接”相当于集合的连接运算。
正则表达式(((0*)1)+((1*)0))中的括号是如何被逐步省略掉的。 根据约定，首先最外层括号可以去掉，变成((0*)1)+((1*)0)；然 后根据构造的优先次序，“*”的优先级高于“连接”的优先级， 所以(0*)与1连接和(1*)与0连接都不用打括号，这就使正则表达 式变成(0*1)+(1*0)；再根据构造的优先次序，“连接”的优先 级高于“+”的优先级，这最后一对括号也可以省略，正则表达式 变成了最简单的形式0*1+1*0，这正是我们在例4.1中所给出的。
即使构造一个NFA接受这个S，也要设11个状态和20个δ函数，若 是用DFA那就更复杂了。要用一个正则表达式来代表S，变得简单 多了。
这个正则表达式就是： (0+1)*1(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)
它为什么能代表集合S，很容易解释清楚：主要注意点是保证字符 串倒数第十个符号必须是“1”，在它之前有多少个符号，是什么 符号，都不必关心它。而“1”的后面只能有9个符号（0，1都可 以）！这用正则表达式来表示非常清楚。
例4.2 在字母表{a，b}上，(a+b)*aaa(a+b)*是一个将要定义 的正则表达式，它表示具有下述性质的字符串的集合：开头出现 若干个（也可以不出现）a或b，然后必须连续出现三个a，然后再 出现若干个（也可以不出现）a或b。换句话说，串中至少要连续 出现三个a。这个集合用集合的表示形式就是 {a,b}*{aaa}{a,b}*，我们可以将它和正则表达式的形式再做一 番比较,看看它们的相似之处和不同之处。
例如（（0（1*））+0）就可写成01*+0，(((a*)(b)(a*))就可写成 a*ba*。但是，(a+b)* 不可写成a+b*，因为前者表示先构造(a+b)，后 构造(a+b)*，结果代表集合{a,b}*；而后者根据优先次序的约定，表示 先构造b*, 再构造a+b*，结果代表集合{a,{b*}}；这两个集合显然是不 相等的。
正则表达式的定义
正则表达式中括号对的个数和构造这个正则表达式时所用的构造 次数是相等的。以0和1为基础，构成正则表达式 (((0*)1)+((1*)0))的过程，总共用了5次构造，其中用了两次 “*”构造，两次“连接”构造，一次“+”构造。而正则表达式 (((0*)1)+((1*)0))中，正好有5对括号。
形式语言与自动机
第四章 正则表达式
正则表达式的定义 正则表达式和有穷自动机的关系 正则表达式的等价变换 正则表达式的应用
正则表达式的定义
例4.1 在字母表{0，1}上，0*1+1*0是一个将要定义的正则表 达式，它表示出现若干个0后以一个1结尾，或者出现若干个1后以 一个0结尾的一切字符串的集合。这个集合用集合的表示形式就是 {0}*{1}∪{1}*{0}，我们从中可以发现正则表达式表示法和集 合表示法的相似之处和不同之处。
正则表达式的定义
例4.3 给出∑={a，b},则对∑上的一些正则表达式与它们各自所 代表的集合列表示于图4.1中：
正则表达式r 代表的集合L(r)
φ ε a b (a+b) (ab) （a*） ((a+b)*) (a(b*)) ((((a*)b)(a*)))
φ {ε} {a} {b} {a,b} {ab} {a}* {a,b}* {a}{b}* {a}*{b}{a}*
要构造一个正则文法（3型文法）产生上述的十进制正整数的集合， 至少需要29个产生式；要构造一个接受上述集合的DFA , 至少需 要3个状态和30个δ函数；要构造一个接受上述集合的NFA，也至 少需要两个状态和19个δ函数。
正则表达式的定义
例4.5 构造一个正则表达式，使它能代表如下的集合S：S的每个 元素都是倒数第十个字符是1的0、1串。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从它的初始状态q0出发，不用读任何符号即可同时进 入M1和M2，然后，完全模拟M1和M2的动作，直到达到它们各自 的终结状态f1和f2 。M在这两个状态上，也不用读任何符号即可进 入它自己的终结状态f0 。显然，M接受的集合恰好是M1和M2接受 的集合的并集，即L(M)= L(M1)∪L(M2)。
正则表达式的定义
例4.4 构造一个正则表达式，使它能代表十进制正整数的集合。 十进制正整数，根据正则表达式的表现方式，可以用R=
（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）* 来表示。 但有两点欠缺：
包含有空串ε； 包含有由若干个0开头的串。
使之变为 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)*， 这个正则表达式代表的集合是 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}*，
正则表达式和有穷自动机的关系
情况3 r = r1* 。r1是由少于i次构造构成的正则表达 式，所以根据归纳法假设，存在NFA M1 = （ Q1 ,∑1 ,δ1 ,q1 ,{f1}）,使得L(M1)=L(r1)。现在构 造ε-NFA M =（Q1 ∪{q0,f0},∑1 ,δ1 ,q0 ,{f0}）,其 中δ定义为： (1)δ(q0 ,ε)={q1,f0}； (2)对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； (3)δ(f1,ε)={q1,f0}。
正则表达式和有穷自动机的关系
情况2 r = r1 r2 。设M1和M2与在情况1中的表示相同， 仍假定Q1 , Q2不相交，现构造新的NFA M = (Q1 ∪ Q2 , ∑1∪∑2 ,δ,q1 ,{f2}),其中δ定义为： (1)对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； (2)δ(f1 ,ε)={q2}； (3) 对于Q2中的q ,∑2∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ2(q ,a)。
正则表达式和有穷自动机的关系
（2）r=ε, 对应的 NFA M是：
因为q0既是初始状态，又是终结状态，同时M也没有其他转移 动作，所以这个NFA 只能接受{ε}。 （3）r=a (a∈∑), 对应的 NFA M是：
因为这个NFA只有一个转移r函数δ(q0 ,a)={qf},而qf又是终 结状态，所以这个NFA 只接受{a}。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从q0出发有两个ε转移，一个是进入M1的初始状态 q1 ，开始模拟M1的动作；另一个是直接到M的终结状态f0，使M 能接受空串ε。当M1到达它的终结状态f1后，又有两个ε转移，一 个是返回到M1的初始状态q1，继续模拟M1的动作，以保证M能重 复接受M1所能接受的一切字符串；另一个是到M的终结状态f0，结 束M的动作。因此，M所接受的集合恰好是 M1所接受集合的闭包， 即L(M)=L(M1)*。定理证完。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从它的初始状态q1（也是M1的初始状态）出发，开 始模拟M1的动作，到达M1的终结状态f1以后，不用读任何符号马 上转移到M2的初始状态q2 ，然后继续模拟M2的动作，到达M2的 终结状态f2，也就是到达了M的终结状态。显然，M接受的集合恰 好是M1接受的集合和M2接受的集合的连接，也就是L(M)= L(M1)L(M2)。
正则表达式和有穷自动机的关系
定理4.1 设r是一个正则表达式，则存在一个具有ε-转移的有穷自 动机接受L（r）。
证明 我们对构成r的构造数目作归纳法证明一个比定理更强的命 题：存在一个具有ε-转移的有穷自动机 M，M只有一个终结状态 且没有从该状态出发的任何转移动作，使得 L(M)=L(r)。 归纳基础 设构成r的构造数目为0，即r是没有经过任何“+”、 “连接”和“*”构造的正则表达式，因此它只能是 φ，ε 或 ∑中 的某个符号a，下面针对这三种情况分别讨论。 （1）r=φ, 对应的 NFA M是：
正则表达式和有穷自动机的关系
归纳步骤 设对少于i(i≥1)次构造构成的正则表达式命题成立，现在的正 则表达式r由i次构造构成。根据r最后一次构成的形式，分三种情况讨论：
情况1 r = r1 + r2 。这里r1 和r2都是由少于i次构造构成的正则表达式， 所以根据归纳法假设，存在NFA M1 =（ Q1 ,∑1 ,δ1 ,q1 ,{f1}）,使得 L(M1)=L(r1)；存在NFA M2 =（ Q2 ,∑2 ,δ2 ,q2 ,{f2}）,使得 L(M2)=L(r2)。不妨假定Q1 , Q2不相交，现构造新的NFA M = (Q1 ∪ Q2∪{q0 ,f0}, ∑1∪∑2 ,δ,q0 ,{f0}),其中δ定义为： （1）δ(q0 ,ε)={q1 ,q2}； （2）对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； （3）对于Q2-{f2}中的q ,∑2∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ2(q ,a)； （4）δ(f1 ,ε)={f0},δ(f2 ,ε)={f0}。
正则表达式的定义
为了尽量减少括号，我们做如下的约定：
（1）每个正则表达式最外层的一对括号可以省略。
（2）规定正则表达式构造的优先次序为：
①*
最高级
② 连接（如 rs ）
次高级
③+
最低级
凡是符合此种顺序的，括号可以省略。
（3）同一种构造（如同为 +，连接或 *）连续出现时，规定从左到右依
次构造，中间的括号可以省略。
然后，再把r1表示成r3 r4 的形式，此时，r3 =1，r4 =0* 。对应于 r3的NFA也很容易得到，它是：
正则表达式和有穷自动机的关系
下面，r4是r5*的形式，此时r5 =0。对应于r5的NFA是：
为了构造一个对应于r4 =r5* 的NFA，根据定理4. 2. 1中情况3的 做法，得到如下的NFA：
正则表达式的定义
0*1+1*0，为什么是一个正则表达式，它代表的集合 应该是什么？
根据定义，因为字母表是{0，1}，所以其字母0和1本 身都是正则表达式，它们代表的集合分别是{0}和{1}； 然后由0构造(0*)，由1构造(1*),得到两个新的正则表 达式，它们代表的集合分别是{0}*和{1}*；再由(0*) 和1连接，得到((0*)1), 由(1*)和0连接，得到((1*)0)， 它们代表的集合分别是{0}*{1}和{1}*{0}；最后由 ((0*)1) 和((1*)0)这两个正则表达式通过“+”号， 构造出正则表达式(((0*)1)+((1*)0)) 它们代表的集合 就是{0}*{1}∪{1}*{0}。
正则表达式的定义
定义 4.1 设∑是一个字母表，∑上的正则表达式以及 由它们代表的集合，递归地定义如下： (1) φ是一个正则表达式，它代表空集。 (2) ε是一个正则表达式，它代表集合{ε}。 (3) 对于∑中每个符号a , a是正则表达式，它代表集合 {a}。 (4) 如果r和s是正则表达式，它们分别代表集合R和S， 则(r+s),(rs)和(r*)是正则表达式，并分别代表集合 R∪S, RS和R*。 正则表达式R代表的集合记为L(R)。
正则表达式和有穷自动机的关系
例4.6 根据定理4.1给出的构造方法，对正则表达式10*+0构造 一个对应的NFA。根据构造的优先次序约定，这个正则表达式的 构造顺序应当是(1(0*))+0，因为最后一次构造是“+”，所以它 具有r = r1 + r2 的形式，这里r1=10*，r2=0。对应于r2的NFA 是很容易得到的，它是：
其次，我们还可以看出，正则表达式和它所代表的集合形式上有 很大的相似性。大致上，正则表达式的“+”相当于集合中的并运 算符“∪”，正则表达式的“*”与集合中的闭包运算符一致，正 则表达式的“连接”相当于集合的连接运算。
正则表达式(((0*)1)+((1*)0))中的括号是如何被逐步省略掉的。 根据约定，首先最外层括号可以去掉，变成((0*)1)+((1*)0)；然 后根据构造的优先次序，“*”的优先级高于“连接”的优先级， 所以(0*)与1连接和(1*)与0连接都不用打括号，这就使正则表达 式变成(0*1)+(1*0)；再根据构造的优先次序，“连接”的优先 级高于“+”的优先级，这最后一对括号也可以省略，正则表达式 变成了最简单的形式0*1+1*0，这正是我们在例4.1中所给出的。
即使构造一个NFA接受这个S，也要设11个状态和20个δ函数，若 是用DFA那就更复杂了。要用一个正则表达式来代表S，变得简单 多了。
这个正则表达式就是： (0+1)*1(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)
它为什么能代表集合S，很容易解释清楚：主要注意点是保证字符 串倒数第十个符号必须是“1”，在它之前有多少个符号，是什么 符号，都不必关心它。而“1”的后面只能有9个符号（0，1都可 以）！这用正则表达式来表示非常清楚。
例4.2 在字母表{a，b}上，(a+b)*aaa(a+b)*是一个将要定义 的正则表达式，它表示具有下述性质的字符串的集合：开头出现 若干个（也可以不出现）a或b，然后必须连续出现三个a，然后再 出现若干个（也可以不出现）a或b。换句话说，串中至少要连续 出现三个a。这个集合用集合的表示形式就是 {a,b}*{aaa}{a,b}*，我们可以将它和正则表达式的形式再做一 番比较,看看它们的相似之处和不同之处。
例如（（0（1*））+0）就可写成01*+0，(((a*)(b)(a*))就可写成 a*ba*。但是，(a+b)* 不可写成a+b*，因为前者表示先构造(a+b)，后 构造(a+b)*，结果代表集合{a,b}*；而后者根据优先次序的约定，表示 先构造b*, 再构造a+b*，结果代表集合{a,{b*}}；这两个集合显然是不 相等的。
正则表达式的定义
正则表达式中括号对的个数和构造这个正则表达式时所用的构造 次数是相等的。以0和1为基础，构成正则表达式 (((0*)1)+((1*)0))的过程，总共用了5次构造，其中用了两次 “*”构造，两次“连接”构造，一次“+”构造。而正则表达式 (((0*)1)+((1*)0))中，正好有5对括号。
形式语言与自动机
第四章 正则表达式
正则表达式的定义 正则表达式和有穷自动机的关系 正则表达式的等价变换 正则表达式的应用
正则表达式的定义
例4.1 在字母表{0，1}上，0*1+1*0是一个将要定义的正则表 达式，它表示出现若干个0后以一个1结尾，或者出现若干个1后以 一个0结尾的一切字符串的集合。这个集合用集合的表示形式就是 {0}*{1}∪{1}*{0}，我们从中可以发现正则表达式表示法和集 合表示法的相似之处和不同之处。
正则表达式的定义
例4.3 给出∑={a，b},则对∑上的一些正则表达式与它们各自所 代表的集合列表示于图4.1中：
正则表达式r 代表的集合L(r)
φ ε a b (a+b) (ab) （a*） ((a+b)*) (a(b*)) ((((a*)b)(a*)))
φ {ε} {a} {b} {a,b} {ab} {a}* {a,b}* {a}{b}* {a}*{b}{a}*
要构造一个正则文法（3型文法）产生上述的十进制正整数的集合， 至少需要29个产生式；要构造一个接受上述集合的DFA , 至少需 要3个状态和30个δ函数；要构造一个接受上述集合的NFA，也至 少需要两个状态和19个δ函数。
正则表达式的定义
例4.5 构造一个正则表达式，使它能代表如下的集合S：S的每个 元素都是倒数第十个字符是1的0、1串。
正则表达式和有穷自动机的关系
对于新构造的这个ε-NFA M，可以形象地用图表示如下：
可以看出，M从它的初始状态q0出发，不用读任何符号即可同时进 入M1和M2，然后，完全模拟M1和M2的动作，直到达到它们各自 的终结状态f1和f2 。M在这两个状态上，也不用读任何符号即可进 入它自己的终结状态f0 。显然，M接受的集合恰好是M1和M2接受 的集合的并集，即L(M)= L(M1)∪L(M2)。
正则表达式的定义
例4.4 构造一个正则表达式，使它能代表十进制正整数的集合。 十进制正整数，根据正则表达式的表现方式，可以用R=
（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）* 来表示。 但有两点欠缺：
包含有空串ε； 包含有由若干个0开头的串。
使之变为 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)*， 这个正则表达式代表的集合是 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}*，
正则表达式和有穷自动机的关系
情况3 r = r1* 。r1是由少于i次构造构成的正则表达 式，所以根据归纳法假设，存在NFA M1 = （ Q1 ,∑1 ,δ1 ,q1 ,{f1}）,使得L(M1)=L(r1)。现在构 造ε-NFA M =（Q1 ∪{q0,f0},∑1 ,δ1 ,q0 ,{f0}）,其 中δ定义为： (1)δ(q0 ,ε)={q1,f0}； (2)对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； (3)δ(f1,ε)={q1,f0}。
正则表达式和有穷自动机的关系
情况2 r = r1 r2 。设M1和M2与在情况1中的表示相同， 仍假定Q1 , Q2不相交，现构造新的NFA M = (Q1 ∪ Q2 , ∑1∪∑2 ,δ,q1 ,{f2}),其中δ定义为： (1)对于Q1-{f1}中的q ,∑1∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ1(q ,a)； (2)δ(f1 ,ε)={q2}； (3) 对于Q2中的q ,∑2∪{ε}中的a， δ(q ,a)= δ2(q ,a)。