数学课件：第一章 1.2 第2课时 高度、角度问题

[自主梳理]
测量高度时常见的三种数学模型及其特征
(1)有以下三种数学模型． 底部可到达
底部不可到达
解直角三角形 解直角三角形 解一般三角形
(2)特征． ①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． ②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次 观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标 物”前进． ③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面．此类问题中观测者两次 观测点所在直线不经过“目标物”．
由余弦定理得 B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10 2)2－2×20×10 2× 22＝200， ∴B1B2＝10 2. 因此，乙船的速度为10202×60＝30 2(海里/时)．
[感悟提高] 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出 一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所求三角形的边角的大小， 从而得出实际问题的解．这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概 括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型 的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
[文脉·探究]
1．从节选部分来看，罗密欧一会 儿粗暴，一会儿温柔，我们应如 何理解这个人物形象呢？
【提示】 罗密欧本是一个有教 养、性情温和的贵族青年，他的 忽而粗暴、野蛮，忽而平和、友 好，是他听到心上人朱丽叶的死
而当仆人顺从他之后，他的语言马 上平和起来，“这才像个朋友。这 些钱你拿去，愿你一生幸福。”而 对于所谓的“情敌”，他的语言也是 忽野蛮，忽友好。通过这些语言，
[解析] 如图，连接 A1B2 由已知 A2B2＝10 2，A1A2＝30 2×2600＝10 2， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2 是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2. 由已知，A1B1＝20， 在△A1B2B1 中， ∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
2. 起初，罗密欧咒骂坟墓，但为 什么后来又称坟墓是“一个灯塔”， “一座充满光明的欢宴的华堂”呢？ 这样写，是不是矛盾呢？
【提示】 不矛盾。“灯塔”能指
刚才罗密欧咒骂坟墓，是因其阻 挡了他与朱丽叶的相聚；而现在， 罗密欧已掘开墓门，来到朱丽叶 身边，所以他又觉得坟墓是他最 好的归宿。“欢宴”表现出他因能
1.2 应用举例
第 2 课时 高度、角度问题
考纲定位
重难突破
1.会用正弦定理、余弦 重点：用正、余弦定理解
定理求有关高度、角度． 高度、角度问题．
2．会求关于高度、角度 难点：把实际问题转化为
的综合问题.
数学问题，画出示意图.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
中期(1601—1607)，是他创作的鼎 盛时期，一般称为悲剧时期。这 时正值英国社会从表面繁荣进入 社会动乱的转折时期，理想和现 实的矛盾使作者悲观失望，因此 作品的基调悲愤、阴郁。主要作 品有“四大悲剧”。即《哈姆雷特》 《奥赛罗》《李尔王》《麦克
四、经典语段
我要在这儿永久安息下来，从我 这厌倦人世的凡躯上挣脱恶运的 束缚。眼睛，瞧你的最后一眼吧！ 手臂，作你最后一次的拥抱吧！ 嘴唇，啊！你呼吸的门户，用一
[解析] 在△BCD 中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)， ∴sBinCβ＝sin[180°－s α＋β]， 即sBinCβ＝sinαs＋β.∴BC＝sinsiαn＋β β·s. 在△ABC 中，由于∠ABC＝90°，∴BACB＝tan θ. ∴AB＝BC·tan θ＝ssiinnβα·t＋anβθ·s.
第
10
课
基础自主学案
罗
密
课堂互动探究
欧
与
知能优化演练
朱
丽
美文佳作欣赏
叶Hale Waihona Puke (节基础自主学案
一、字音辨识
梦寐．(mèi) 坟茔．(yínɡ) 面颊．(jiá) 踉．
跄．(liànɡ qiàɡ)
巉．岩(chán) 吞噬．(shì) 伺．(kuī sì)
藏匿．(nì) 窥．
二、词语释义 ①坟茔：坟墓；坟地。 ②寒酸：形容贫窘，不体面。 ③预兆：事情发生前所显示出来 的迹象。
⑥吞噬：吞吃；吞咽；吞食。 ⑦回光返照：比喻人将死时神志 忽然清醒或短暂的兴奋。 ⑧沸沸扬扬：像沸腾的水一样喧 闹。形容人声喧扰，议论纷纷。 ⑨惊心动魄：原指文辞优美，意
三、文学常识 走近作者
威廉·莎士比亚(1564—1616)，文 艺复兴时期英国大戏剧家、诗人。 他幼年时就对戏剧产生了兴趣， 他曾进过文法学校，接触到古代 罗马的诗歌和戏剧。21岁时到伦 敦剧院工作，曾在剧院里打杂， 为看戏的绅士们看管马匹，后来
2．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 75°的角，树尖也倾 斜为与地面成 45°的角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断 点与树干底部的距离是( )
A.203 6米
B．20 6米
10 C. 3
6米
D．10 6米
解析：如图，设树干底部为 O，树尖着地处为 B， 折断点为 A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°， ∴∠OAB＝60°，由正弦定理知，sinAO45°＝sin2060°， ∴AO＝203 6(米)． 答案：A
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
又∵AD＝CD，∴CD＝800( 3＋1)(m)．
答案：800( 3＋1)m
探究一 测量底部不可到达的高度 [典例 1] 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以 选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点 C 和 D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在 点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ，求塔高 AB.
[解析] 在△ACD 中，∠ACD＝40°，∠ADC＝120°，∴∠DAC＝20°.
由正弦定理，得sinCD20°＝sinA1C20°，解得
AC＝si5n
3 20°.
在△ACB 中，∠ACB＝80°－50°＝30°，∠ABC＝10°.
由正弦定理，得sinAC10°＝sinAB30°， 得 AB＝sin5 130s°isnin3200°°≈50×.3412.7×320×.1704.5≈72.8(米)，
解析：设 AB＝x，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x； 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，∴BD＝ 3x.在△BCD 中，∠BCD＝ 120°，CD＝500 m，由余弦定理得( 3x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°， 解得 x＝500 m. 答案：D
[双基自测]
1.在地面上点 D 处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端
A 与底部 B 的仰角分别为 60°和 30°，已知建筑物底部高出
地面 D 点 20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m
B．30 m
C．40 m
D．60 m
解析：如图，设 O 为建筑物顶端在地面的射影，在 Rt△ BOD 中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，∴OD＝20 3 m，在 Rt△AOD 中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB ＝40 m，故选 C. 答案：C
3.如图，A、B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°，∠BAD＝120°，又在 B 点测得∠ABD＝45°，其中 D 是 点 C 到水平面的射影，则山高 CD＝________.
解析：在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由sinAB15°＝sinAD45°，得
课堂互动探究
主题感悟
剧本通过罗密欧与朱丽叶的爱情悲 剧，深刻地体现了它的社会意义， 即鲜明的反封建倾向。莎士比亚把 罗密欧与朱丽叶这两个人文主义思 想的封建贵族青年的爱情故事写成
技法借鉴
1．利用环境来烘托气氛。十分注 重气氛的渲染和营造，莎士比亚充 分利用环境来烘托气氛，如神秘的 夜色、静谧的花园、皎洁的月亮、 温暖的晨曦。
＝1t－anta4n5°4＋5°ttaannαα＝3. 又 tan∠DAB＝BADB＝x＋6030， ∴x＋6030＝3，∴x＝150. ∴电视塔的高度为 150 m.
建模思想在解三角形实际问题中的应用 [典例] 如图，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北 方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处，此 时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时， 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海 里．问：乙船每小时航行多少海里？
故塔高为 72.8 米．
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一参照物作 为研究的桥梁，然后找到可测参照物的相关长度和仰、俯角等构成的 三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可．
2.如图所示，在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD，在距离 B 点 60 m 的地面上取一点 A，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度． 解析：设 CD＝x m，∠BAC＝α， 则 tan α＝3600＝12， 又∠DAB＝45°＋α， ∴tan∠DAB＝tan(45°＋α)
[随堂训练]
1．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC
＝BC，则点 A 在点 B 的( )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又 AC＝BC，∴∠CBA＝45°， 而 β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 答案：B
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑 物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点 可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为 依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正 弦或余弦定理解决即可．
1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔 AB 的高度，在塔的 同一侧选择 C，D 两个观测点，且在 C，D 两点测得塔顶的仰角分别 为 45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D 两地相距 500 m， 则电视塔 AB 的高度是( ) A．100 2 m B．400 m C．200 3 m D．500 m
2．若 P 在 Q 的北偏东 44°50′方向上，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 45°10′方向上
B．北偏东 45°50′方向上
C．南偏西 44°50′方向上
D．西偏南 45°50′方向上
解析：如图所示，点 Q 在点 P 的南偏西 44°50′的方向上．
答案：C
3．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°， 60°，则塔高为________米． 解析：如图所示，山的高度 MN＝200 米，塔高为 AB，CN＝MB＝2030，AC＝NC3 ＝ 230·03＝2030.所以 塔高 AB＝200－2030＝4030米． 答案：4300
探究二 测量顶部不可到达的高度 [典例 2] 如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机测量塔高， 当升降机在底部 C 时，测得点 A 的仰角为 50°，点 B 的仰角为 80°； 当升降机上升 10 米至 D 时，测得点 A 的仰角为 30°，求塔高(结果保 留到小数点后一位)． (注：sin 10°≈0.342，sin 20°≈0.174， 3≈1.732)