课时作业21：阶段滚动训练三

阶段滚动训练三(范围：§1.1～§1.3)
一、选择题
1.4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则出场方案的种数是( )
A.6A 33
B.3A 33
C.2A 33
D.A 22A 14A 4
4
考点 排列的应用
题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 D
解析 先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起，看作一个元素
和另外的3名男歌手进行全排列，故有A 22A 14A 44种不同的出场方案.
2.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )
A.8种
B.10种
C.12种
D.32种 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 B
解析 根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向下或向右行走即可.分别可得，需要向下走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向下即可，则有C 35＝10(种)不同走法.
3.若⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
2－13x n 展开式的各项系数和为－1
27，则展开式中常数项是( )
A.－72
B.7
2
C.－7
D.7
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 B
解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫－12n ＝－1
27，∴n ＝7， 则T r ＋1＝C r 7
⎝⎛⎭⎫x 227－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫127－r
·71437C r r x -， 令14－7
3
r ＝0，可得r ＝6，
二项式展开式中的常数项为C 67×12＝7
2
. 4.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.11
B.12
C.13
D.15 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 A
解析 由题意可分为3类.
第一类任两个对应位置上的数字都不相同，有C 04种方法. 第二类有1个对应位置上的数字相同，有C 14种方法. 第三类有2个对应位置上的数字相同，有C 24种方法.
故共有C 04＋C 14＋C 24＝11(个)，故选A.
5.某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级中且每班安排2名，则不同的安排方法种数为( )
A.A 26C 24
B.1
2A 26C 24 C.A 26A 24
D.2A 26
考点 排列组合的综合应用 题点 排列与组合的综合应用 答案 B
解析 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将这两组分配到6个班级中的2个班有A 2
6种方法.所以不同的安排方法有12
C 24A 26种. 6.用三种不同的颜色填涂如图所示的3×3方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数为( )
A.6
B.8
C.12
D.24
考点 涂色问题 题点 涂色问题
答案 C
解析将9个区域分别标号为1～9号，如图，
第一步，给区域1涂色有3种不同的方法；
第二步，给区域2涂色有2种不同的方法；
第三步，给区域4涂色，可分为两类，第一类区域4与区域2同色，则此时区域5不能与区域1同色，有1种涂色方法；第二类区域4与区域2不同色，则区域4有一种涂色方法，此时，区域5也有一种涂色方法，故第三步共有1＋1＝2(种)不同的方法；
第四步涂3,6,7,8,9五个区域，由于1,2,4,5四个区域所涂颜色确定，所以3,6,7,8,9五个区域所涂颜色也对应唯一确定，故不同的涂色方法有3×2×2×1＝12(种)，故选C.
7.某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学只能参加一个社团，并且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()
A.72
B.108
C.216
D.180
考点组合的应用
题点有限制条件的组合问题
答案 D
解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”(记为社团
A)，有下列两种情况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选1人(如乙)参加A，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24 A33种参加方法.
(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加A，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法.
故由分类加法计数原理，可知共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法.
二、填空题
8.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
考点二项展开式中的特定项问题
题点由特定项或特定项的系数求参数
答案 3
解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，
即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 9.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________. 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题 答案 80
解析 先抽派4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽派1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝
80(种)抽派方法.
10.(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 120
解析 易知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第r ＋1项为C r 5(x ＋y )5－
r (－2z )r ，令r ＝2，可得第3项为4C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3
x 3
－m
y m ，令m ＝2，可得第3项
为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是4×C 25×C 23＝120.
11.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2，N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的个数是________.
考点 两个计数原理的应用 题点 两个计数原理在排数中的应用 答案 240
解析 由题意知，6必在第三行，安排6有C 13＝3(种)排法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A 25＝20(种)排法，
在剩下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C 12＝2(种)排法，剩下的两个数字有A 22＝2(种)排法，按分步乘法计数原理，满足题意的排
列的个数是3×20×2×2＝240. 三、解答题 12.已知⎝
⎛⎭⎪⎫3a －3a n (n ∈N ＋)的展开式的各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎪⎫43b －
15b 5
的展开式中的常数项，
求⎝
⎛⎭
⎪⎫3a －3a n 的展开式中含a －
1项的二项式系数. 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43b －
15b 5
的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭
⎫－15b r ＝C r 5·
(－1)r ·45－
r ·25r
-
·1056
r b
-，
令10－5r ＝0，得r ＝2，
此时得常数项为T 3＝C 25·(－1)2·43·5－
1＝27. 令a ＝1，得⎝
⎛⎭
⎪⎫3a －3a n
的展开式的各项系数之和为2n ， 由题意知2n ＝27，所以n ＝7， 所以⎝
⎛⎭
⎪⎫3a －3a 7
的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 7
⎝⎛⎭
⎫3a 7－r ·(－3
a )r
＝C r 7·(－1)r ·37－r
·
521
6
r a -.
令
5r －21
6
＝－1，得r ＝3， 所以⎝
⎛⎭
⎪⎫3a －3a n 的展开式中含a －
1项的二项式系数为C 37＝35. 13.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A ，B ，C 三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加其中的一个.分别求在下列情况下不同的报名方法的种数. (1)每个项目都有人报名；
(2)甲、乙报同一项目，丙不报A 项目；
(3)甲不报A 项目，且B ，C 项目的报名人数相同. 考点 组合的应用
题点 有限制条件的组合问题
解 (1)每个项目都有人报名，共有C 24A 3
3＝36(种)不同的报名方法.
(2)甲、乙报同一项目，丙不报A 项目，共有C 13C 12C 13＝18(种)不同的报名方法.
(3)甲不报A 项目，且B ，C 项目的报名人数相同，
若B ，C 项目各有1人报名，有C 23A 22＝6(种)不同的报名方法；
若B，C项目各有2人报名，有C24C22＝6(种)不同的报名方法.
所以甲不报A项目，且B，C项目的报名人数相同的报名方法共有6＋6＝12(种).
14.已知一个袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球的个数少的取法有多少种？
(2)若取出1个红球记2分，取出1个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7分的取法有多少种？
(3)在(2)的条件下，当总分为8分时，将取出的球排成一排，仅有2个红球相邻的排法种数是多少？
考点组合的应用
题点有限制条件的组合问题
解(1)红球的个数不比白球的个数少的取法种数为C44＋C34C16＋C24C26＝1＋24＋90＝115. (2)从10个球中任取5个球，有C510种取法；
取出0个红球，5个白球，有C56种取法；
取出1个红球，4个白球，有C14C46种取法.
总分不小于7分时，需至少取出2个红球，所以满足条件的取法种数为C510－C56－C14C46＝252－6－60＝186.
(3)当总分为8分时，取出的是3个红球，2个白球，有C34C26种取法，取出的5个球排成一排，仅有2个红球相邻的排列方法有A23A22A23种，所以满足条件的排法种数为C34C26×A23A22A23＝60×72＝4 320.。