专题51 新定义和阅读理解型问题(压轴题)-决胜2015中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

一、选择题
1. （2014年福建龙岩4分）定义符号min{a，b}的含义为：当ab时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是【】
A. 51
2
-
B.
51
2
+
C. 1
D. 0
【答案】A．
【考点】1.新定义；2.二次函数的最值；3.正比例函数的性质；4.分类思想和数形结合思想的应用．
2. （2014年广西贺州3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结
论，推导出“式子
1
x
x
+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为
x，则另一边长是1
x
，矩形的周长是2（
1
x
x
+）；当矩形成为正方形时，就有x=
1
x
（x＞0），解得x=1，这
时矩形的周长2（
1
x
x
+）=4最小，因此
1
x
x
+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，求得式子
2
x9
x
+
（x＞0）的最小值是【】
A．2 B．1 C．6 D．10
【答案】C.
【考点】1.阅读理解型问题；2.转换思想的应用.
3. （2014年黑龙江大庆3分）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用║AB║表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为║AB║=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与║AB║的大小关系为【】
A. |AB|≥║AB║
B. |AB|＞║AB║
C. |AB|≤║AB║
D. |AB|＜║AB║
【答案】C．
【考点】1.新定义和阅读理解型问题；2. 坐标与图形性质；3.三角形三边关系；4.分类思想的应用．
4. （2014年湖南常德3分）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为【】
A. （60°，4）
B. （45°，4）
C. ()60,22︒
D. ()50,22︒
【答案】A ．
【考点】1.新定义；2.正多边形和圆；3. 等边三角形的判定和性质；4.坐标确定位置．
【分析】如答图，设正六边形的中心为D ，连接AD ，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD ，∴△AOD 是等边三角形.
∴OD=OA=2，∠AOD=60°.
∴OC=2OD=2×2=4.
∴正六边形的顶点C 的极坐标应记为（60°，4）．
故选A ．
5. （2014年湖南永州3分）在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S ﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=1061
5-，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014的值？你的答案是【 】
A. 2014a 1
a 1-- B. 2015a 1
a 1-- C. 2014a 1
a - D. 2014a 1-
【答案】B ．
【考点】1.阅读理解型问题；2.探索规律题（数字的变化类）；3. 同底数幂的乘法.
【分析】仿照例题，设S=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，①
在①式的两边都乘以a ，得：aS=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2015，②，
②﹣①得：（a ﹣1）S=a 2015﹣1，
∴S=2015a 1a 1--，即1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014=2015a 1
a 1--.
故选B ．
6. （2014年江苏泰州3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是【 】
A ．1，2，3
B ．112 ，，
C ．113 ，，
D ．123 ，，
【答案】D ．
【考点】1.新定义；2. 三角形三边关系；3. 勾股定理和逆定理；4. 等腰三角形的判定和性质；5. 锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值.
【分析】A 、∵1+2=3，∴根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，故选项错误；
B 、∵()222112+=，∴根据勾股定理逆定理可知，三角形是等腰直角三角形，不是智慧三角形，故选项错误；
C 、∵根据等腰三角形的性质和勾股定理知，底边上的高是2
231
122
⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴根据锐角三角函
数定义和特殊角的三角函数值可知，三角形是底角是30°，顶角是120°的等腰三角形，不是智慧三角形，故选项错误；[来源:]
D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧
三角形”的定义，故选项正确．
故选D ．
7. （2013年浙江舟山3分）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】
A ．在同一条直线上
B ．在同一条抛物线上
C ．在同一反比例函数图象上
D ．是同一个正方形的四个顶点
8. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【】
A．16 B．15 C．14 D．13
9. （2013年四川绵阳3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=【】
A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）
【答案】C。

【考点】探索规律题（数字的变化类）。

【分析】先计算出2013是第几个数，然后判断第1007个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可：
2013是第20131
2
+
=1007个数，学科网
设2013在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1007，即()
12n1n
2
+-
≥1007，解得：n2≥1007。

当n=31时，n2=961＜1007；当n=32时，n2=1024＞1007. ∴第1007个数在第32组。

∵第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，∴2013是第32组的20131923
1
2
-
+=46个数．
∴A2013=（32，46）。

故选C。

10. （ 2013年广西钦州3分）定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是【 】
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11.（2013年山东潍坊3分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是【 】.[来源学科网]
A.40
B.45
C.51
D.56
【答案】C 。

【考点】新定义，一元一次不等式组的应用。

【分析】根据定义，得x 4
5<5150x 4<6046x<5610+≤+⇒≤+⇒≤。

故选C 。

12.（2013年四川宜宾升学3分）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：2a b a ab 2⊗=+-，有下列命题：①1⊗3=2；
②方程x ⊗1=0的根为：x 1=－2，x 2=1；
③不等式组()2x 401x 30<<⎧-⊗-⎪⎨⊗-⎪⎩的解集为：﹣1＜x ＜4；
④点
15
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，在函数()
y x1
=⊗-的图象上．
其中正确的是【】
A．①②③④B．①③C．①②③D．③④
13. （2012四川宜宾3分）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=1
4
x2的切线
②直线x=﹣2与抛物线y=1
4
x2相切于点（﹣2，1）
③直线y=x+b与抛物线y=1
4
x2相切，则相切于点（2，1）
④若直线y=kx﹣2与抛物线y=1
4
x2相切，则实数k=2
其中正确的命题是【】
A．①②④B．①③C．②③D．①③④
14. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于【】A．（7，6）B．（7，﹣6）C．（﹣7，6）D．（﹣7，﹣6）
【答案】C。

【考点】新定义，点的坐标。

【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）。

故选C。

二、填空题【版江泰州元工作室所有，必究】
权归苏锦数学邹强转载
1. （2014年甘肃兰州4分）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则
2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上
推理计算1+3+32+33+…+32014的值是▲ ．
【答案】
2015
31
2
-
．
【考点】1.阅读理解型问题；2.有理数的乘方；3. 整体思想的应用．【分析】设M=1+3+32+33+…+32014 ①，
①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②，
②﹣①得2M=32015﹣1，
两边都除以2，得M=
2015
31
2
-
．
2. （2014年贵州黔西南3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]= ▲ ．
【答案】（3，2）.
【考点】1.新定义；2. 点的坐标变换．
【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），
∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2）.
3. （2014年山东临沂3分）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B= ▲ ．
【答案】{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
【考点】新定义和阅读理解型问题．
【分析】∵A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，
∴A+B={﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
4. （2014年四川甘孜4分）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为▲ ．
【答案】2 3 .
【考点】1.阅读理解型问题；2.正方形的性质；3.勾股定理的应用；4.一元二次方程根与系数的关系；5.解一元二次方程.
【分析】∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，∴设大正方形的面积13，小正方形的面积1.
设大正方形的边长为c，则c2=13.
∴根据勾股定理，得a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积等于
1
a b
42
-
=⋅⋅
大正方形的面积小正方形的面积
，
∴1311
ab ab6 42
-
=⇒=.
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25. ∴a+b=5．∴a、b是方程x2﹣5x+6=0的两个根.
∵a<b，∴b=3，a=2.
∴a2
b3 =．
5．（2014年四川乐山3分）对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，﹣3）．O为坐标原点．则：（1）d（O，P0）= ▲ ；
（2）若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= ▲ ．
【答案】（1）5；（2）2或﹣10．
【考点】1.新定义和阅读理解型问题；2.单动点问题；3.一次函数图象上点的坐标特征；4.点的坐标；5.绝对值的几何意义；6.应用不等式求最值；7.分类思想的应用．
【分析】（1）∵P0（2，﹣3）．O为坐标原点，
∴根据定义，得d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=5．
（2）设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），
∵P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，∴d（P，Q）=6，
∴|a﹣x|+|﹣3﹣x﹣1|=6，即a x x4
-++|=6.
①若a 4≤-，
i ）当x a ≤时，1
a x x 46x a 52
---=⇒=-， ∴1a 5a a 102
-≤⇒≥-.
∴当a 10=-时，a x x 4-++取得最小值. ii ）当a <x <4-时，a x x 46a 10-+--=⇒=-. iii ）当x 4≥-时，1a x x 46x a 12
-+++=⇒=+， ∴1a 14a 102
+≥-⇒≥-.
∴当a 10=-时，a x x 4-++取得最小值. ②若a >4-，
i ）当x 4≤-时，1a x x 46x a 52
---=⇒=-， ∴1a 54a 22
-≤-⇒≤.
∴当a 2=时，a x x 4-++取得最小值. ii ）当4<x <a -时，a x x 46a 2-++=⇒=. iii ）当x a ≥时，1a x x 46x a 12
-+++=⇒=+， ∴1a 1a a 22
+≥⇒≤.
∴当a 2=时，a x x 4-++取得最小值.
综上所述，若P （a ，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a=2或﹣10．
6．（2014年四川宜宾3分）规定：sin （﹣x ）=﹣sinx ，cos （﹣x ）=cosx ，sin （x+y ）=sinx•cosy+cosx•siny ． 据此判断下列等式成立的是 ▲ （写出所有正确的序号） ①cos （﹣60°）=12
-； ②sin75°=
62
4
+； ③sin2x=2sinx•cosx ；
④sin （x ﹣y ）=sinx•cosy ﹣cosx•siny ． 【答案】②③④．
【考点】1.新定义；2.锐角三角函数的定义；3.特殊角的三角函数值；4.二次根式化简．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值作出判断：
①cos （﹣60°）=cos60°=
1
2
，命题错误； ②sin75°=sin （30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=123262
22224
+⋅+⋅=
，命题正确； ③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx ，命题正确；
④sin （x ﹣y ）=sinx•cos （﹣y ）+cosx•sin （﹣y ）=sinx•cosy ﹣cosx•siny ，命题正确． 故等式成立的是是：②③④．
7．（2014年北京市4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x y)，，我们把点P (y 1x 1)'-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，
…，n A ，….若点2A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ▲ ，点2014A 的坐标为 ▲ ；若点2A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 ▲ . 【答案】（-3，1），（0，4）；-1＜a ＜1，0＜b ＜2．
【考点】1.探索规律题（图形的变化类----循环问题）；2.新定义和阅读理解型问题；3.点的坐标.
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A 2014的坐标即可；再写出点A 1（a ，b ）的“伴随点”，然后根据x 轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可：学科网
∵A 1的坐标为（3，1），
∴A 2（0，4），A 3（-3，1），A 4（0，-2），A 5（3，1）。

…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环. ∵2014÷4=503余2，
∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为（0，4）. ∵点A 1的坐标为（a ，b ），
∴A 2（-b+1，a+1），A 3（-a ，-b+2），A 4（b-1，-a+1），A 5（a ，b ）， …，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，. ∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，
∴a 10
a 10+⎧⎨-+⎩＞＞且
b 20
b 0-+⎧⎨
⎩
＞＞. 解得-1＜a ＜1，0＜b ＜2．
8．（2014年新疆区、兵团5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．31⎡⎤=⎣⎦
，按此
规定，131⎡⎤-⎣⎦
=
▲ ． 【答案】2.
【考点】1.新定义；2. 估算无理数的大小. 【分析】∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.
∴2＜131-＜3，∴131⎡⎤-⎣⎦
=2．
9. （2013年湖南永州3分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ▲ ．（请填入方块上的字母）
10. （2013年湖北随州4分）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今年考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是▲ ，破译“正做数学”的真实意思是▲ ．
【答案】对应文字横坐标加1，纵坐标加2；祝你成功。

【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。

【分析】∵已破译出“今年考试”的真实意思是“努力发挥”．
∴“今”所处的位置为（x，y），则对应文字“努”的位置是：（x+1，y+2）。

∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2。

∴“正”的位置为（4，2）对应文字位置是（5，4）即为“祝”；
“做”的位置为（5，6）对应文字位置是（6，8）即为“你”； “数”的位置为（7，2）对应文字位置是（8，4）即为“成”； “学”的位置为（2，4）对应文字位置是（3，6）即为“功”。

∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功。

11. （2013年湖北孝感3分）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 ▲ 分钟该容器内的水恰好放完．
12. （2013年浙江台州5分）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[][]13,
44==，现对72
进行如下操作：1727288221⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−→=−−−→=−−−→=⎣⎦⎣⎦⎣⎦第次第2次第3次
，这样对72只需进行3次操作后
变为1，类似地，①对81只需进行 ▲ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ▲ . 【答案】①3；②255。

【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。

13. （2013年山东临沂3分）对于实数a ，b ，定义运算“﹡”：()()
22a ab a b a b ab a a <b ⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩﹡．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根，则x 1﹡x 2= ▲ ． 【答案】3或﹣3。

【考点】新定义，因式分解法解一元二次方程，分类思想的应用。

【分析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x ﹣3）（x ﹣2）=0，解得：x=3或2。

①当x 1=3，x 2=2时，x 1﹡x 2=32﹣3×2=3； ②当x 1=2，x 2=3时，x 1﹡x 2=3×2﹣32=﹣3。

14.（2013福建龙岩3分）对于任意非零实数a 、b ，定义运算“⊕”，使下列式子成立：3122⊕=-，3
212
⊕=，
()212510-⊕=，()21
525
⊕-=-，…，则a ⊕b= ▲ ．
【答案】22
a b ab
-。

【考点】新定义，探索规律题（数字的变化类）。

【分析】根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：
∵2231212212-⊕=-=⨯，2232121221-⊕==⨯，()()()2
22521251025---⊕==-⨯，()()()
2
2
522152552--⊕-=-=⨯-，…， ∴22
a b a b ab
-⊕=。

15.（2013年四川乐山3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数．．
时，若11
n x n 22
<-
≤+，则<x>＝n ，如<0.46>=0，<3.67>=4。

给出下列关于<x>的结论： ①<1.493>=1；
②<2x>=2<x>； ③若
1
x 1=42
-，则实数x 的取值范围是9x 11<≤； ④当x≥0，m 为非负整数时，有m 2013x =m 2013x ++； ⑤x y =x y ++。

其中，正确的结论有 ▲ （填写所有正确的序号）。

【答案】①③④。

【考点】新定义，解一元一次不等式组，特殊元素法和反证法的应用，整体思想和分类思想的应用。

【分析】①根据定义，∵0.5 1.493 1.5<≤，∴<1.493>=1。

结论正确。

②用特例反证：∵<1.3>=1，<2×1.3>=<2.6>=3，∴<2×1.3>≠2<1.3>。

∴<2x>=2<x>不一定成立。

结论错误。

③若
1x 1=42-，则1119111
4x 14x 9x 11222222
<<<-≤-+⇒≤⇒≤。

∴实数x 的取值范围是9x 11<≤。

结论正确。

④设2013x ＝k ＋b ，k 为2013x 的整数部分，b 为其小数部分， 1）当0≤b ＜
1
2
时，<2013x>＝k ，[来源学科网]
m ＋2013x ＝(m ＋k)＋b ，m ＋k 为m ＋2013x 的整数部分，b 为其小数部分，< m ＋2013x>＝m ＋k ， ∴< m ＋2013x >＝m ＋<2013x>。

2）当b≥
1
2
时，<2013x>＝k ＋1，学科网 则m ＋2013x ＝(m ＋k)＋b ，m ＋k 为m ＋2013x 的整数部分，b 为其小数部分，< m ＋2013x >＝m ＋
k ＋1，
∴< m ＋2013x >＝m ＋<2013x>
综上：当x≥0，m 为非负整数时，< m ＋2013x >＝m ＋<2013x>成立。

结论正确。

⑤用特例反证：：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1， ∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。

∴x y =x y ++不一定成立。

结论错误。

综上所述，正确的结论有①③④。

16. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a ⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣
，…
你规定的新运算a⊕b= ▲ （用a，b的一个代数式表示）．
17. （2012福建南平3分）设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，
则下列结论中正确的是▲ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
【答案】④。

【考点】新定义，实数的运算。

【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：
①[0）=1，故结论错误；
②[x）－x＞0，但是取不到0，故结论错误；
③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；
④存在实数x，使[x）－x=0.5成立，例如x=0.5时，故结论正确。

故答案为④。

18.. （2012福建泉州4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使
截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点
．．P．的．△．ABC
．．．的相似线，
．．．．．简记为P(x l),(x为自然数).
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（1l）、P（2l）都是
．．过点P的△ABC的相似线（其中1l⊥BC，2l∥AC），此外还有▲ _条.
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当BP
BA
▲时，P(x l)截得的三角形面积为△ABC面积的
4
1
.
【答案】（1）1；（2）
12或3
4
或34。

【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）如图， “相似线”还有一条，即与BC 平行的直线3l 。

（2）如图， “相似线”有三条：1l ，2l ，3l 。

∵P(x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的
1
4
， ∴△PBD ，△APE ，△FBP 和△ABC 的相似比是12。

对于△PBD ，有
BP 1
BA 2=。

对于△APE ，有PA 1BA 2=，∴BP 1
BA 2
=。

对于△FBP ，若点F 在BC 上，有BP BF 1
BC BA 2
==，即BA=2BF 。

又在Rt △BPF 中，∠B=30°，则BP 3cos B==BF 2∠。

∴BP BP 133
BA 2BF 224
==⋅=。

若点F 在AC 上，有PA FA 1
CA BA 2
==，即BA=2FA 。

又在Rt △APF 中，∠A=60°，则PA 1
cos A==FA 2
∠。

∴PA PA 111BA 2FA 224==⋅=。

∴BP 3BA 4
=。

综上所述，当BP 1BA 2=或3
4
或
34时，P(x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的14。

19. （2012湖南常德3分）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如： [3
2
]=0，[3.14]=3。

按此规定 [110+]的值为 ▲ 。

【答案】4。

【考点】新定义，估计无理数的大小。

【分析】∵9＜10＜16，∴3104410+15<<<< ，。

∴10+1=4⎡⎤⎣⎦。

20. （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ．
【答案】21。

【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类）。

【分析】如图，寻找规律：
因此，n=13＋8=21。

21. （2012四川自贡4分）若x 是不等于1的实数，我们把1
1x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1
112=--，
1-的差倒数为1
1
1(1)2=--，现已知11
x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，……，
依次类推，则2012x = ▲ ．
三、解答题【版江泰州元工作室所有，必究】权归苏锦数学邹强转载
1. （2014年福建漳州12分）阅读材料：如图1，在△AOB 中，∠O=90°，OA=OB ，点P 在AB 边上，PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，则PE+PF=OA ．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB 于点F ，则PE+PF的值为▲ ．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P
在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）2．
（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=
5
2
．
∵PE∥OB，P F∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴
EP AP
OB AB
=，
FP BP
OA AB
=．∴
EP FP AP BP
OB OA AB AB
+=+=1．
∴EP FP
55
22
+=1．∴EP+FP=
5
2
．
∴PE+PF的值为
5
2
．学科网
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由如下：
如答图，连接OA、OB、OC、OD，
∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．[来源学*科*网Z*X*X*K]
∴PE AP
BC AB
=，
PF PB
AD AB
=．∴
PE PF AP BP
BC AD AB AB
+=+=1．
∴PE PF
44
+=1．∴PE+PF=4．
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF为定值4．
【考点】1. 阅读理解型问题；2.正方形的性质；3.矩形的性质；4.弦切角定理；5.相似三角形的判定和性质．【分析】（1）由正方形的性质易得：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，∴AC=22．∴OA=2．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=2．
（2）由矩形的性质易得：OA=OB=OC=0D=5
2
，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，
△BFP∽△BOA，从而可得EP FP AP BP
OB OA AB AB
+=+=1，进而求出EP+FP=
5
2
．
（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．
2. （2014年福建漳州14分）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是▲ ，衍生直线的解析式是▲ ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3．
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴联立，得
2
y2x1
y2x1
⎧=-+
⎨
=-+
⎩
，解得
x0
y1
=
⎧
⎨
=
⎩
，或
x1
y1
=
⎧
⎨
=-
⎩
.
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，
∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2.
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．
（3）存在.
∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3.
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（1，﹣4），
∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，
OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，
MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．
①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，
解得x=117
2
+
或x=
117
2
-
，即P（
117
2
+
，﹣2）或P（
117
2
-
，﹣2）．
②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．
③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．
综上所述，当P为（117
2
+
，﹣2）或（
117
2
-
，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）
时，△POM为直角三角形．
【考点】1. 新定义；2.二次函数和一次函数综合问题；3.单动点、线动旋转和平移问题；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.二次函数的性质；7.勾股定理；8.分类思想的应用.
【分析】（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得：
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点为（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4）.
∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1.
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴
3b
4k b
-=
⎧
⎨
-=+
⎩
，解得
k1
b3
=-
⎧
⎨
=-
⎩
.
∴衍生直线为y=﹣x﹣3．
（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．
3. （2014年甘肃兰州10分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
（2）证明：①∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∴△ABC≌△DBE，∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；
②∵将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∴△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，∵DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【考点】1.新定义和阅读理解型问题；2.面动旋转问题；3.全等三角形的性质；4.等边三角形的判定和性质；
5.勾股定理．学科网
【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形．
（2）①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形．
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
4. （2014年广西柳州12分）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，5
4
），直线y=kx+2
与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x 取值范围在﹣1＜x ＜3时，请写出其函数值y 的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y 轴上，必存在定点G ，使△ABG 的内切圆的圆心落在y 轴上，并求△GAB 面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，
则：1212b c
x x x x a a +=⋅=，
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x 2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x 2﹣3x ﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：1212b
c
x x x x a a +=⋅=，
∴原方程两根之和=331--=，两根之积=15
151-
=-．
【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（0，1），∴二次函数的解析式可设为y=ax 2+1．
∵抛物线y=ax 2+1过点（﹣1，5
4），∴5
4=a+1，解得：a=1
4．
∴二次函数的解析式为：y=1
4x 2+1．
（2）y 的取值范围是1≤y ＜13
4．
（3）①证明：∵△ABG 的内切圆的圆心落在y 轴上，
∴GP 平分∠AGB ．
∴直线GP 是∠AGB 的对称轴．
如答图，过点A 作GP 的对称点A′，则点A′一定在BG 上．
∵点A 的坐标为（x 1，y 1），
∴点A′的坐标为（﹣x 1，y 1）．
∵点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线y=kx+2上，
∴y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2．
∴点A′的坐标为（﹣x 1，kx 1+2）、点B 的坐标为（x 2，kx 2+2）．
设直线BG 的解析式为y=mx+n ，则点G 的坐标为（0，n ）．
∵点A′（﹣x 1，kx 1+2）、B （x 2，kx 2+2）在直线BG 上，
∴1122x m n kx 2x m n kx 2-+=+⎧⎨+=+⎩，解得：()
2121
1221
k x x m x x 2kx x n 2
x x ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=+⎪+⎩．
∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是直线y=kx+2与抛物线y=1
4x 2+1的交点，
∴x 1、x 2是方程kx+2=1
4x 2+1即x 2﹣4kx ﹣4=0的两个实数根．
∴由一元二次方程根与系数的关系可得；x 1+x 2=4k ，x 1•x 2=﹣4．
∴()
2k 4n 204k ⋅-=+=．
∴点G 的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y 轴上，存在定点G （0，0），使△ABG 的内切圆的圆心落
在y 轴上．
②过点A 作AC ⊥OP ，垂足为C ，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，
∵直线y=kx+2与y 轴相交于点P ，∴点P 的坐标为（0，2）．∴PG=2．
∴S △ABG =S △APG +S △BPG =1
2PG•AC+1
2PG•BD=1
2PG•（AC+BD ）=1
2×2×（﹣x 1+x 2） ()()()()2
222212112x x x x 4x x 4k 4416k 14k 1=-=+-=-⋅-=+=+．
∴当k=0时，S △ABG 最小，最小值为4．
∴△GAB 面积的最小值为4．
【考点】1.阅读理解型问题；2.二次函数综合题；3. 待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；
5. 二次函数的图象和性质；
6.一元二次方程根与系数的关系；
7.三角形的内切圆与内心．。