2020高考数学精英备考专题讲座 第二讲三角函数与平面

第一节 三角函数的化简、求值及证明
三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能. 考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 题型一 已知三角函数的值求角问题¸
例1 （１）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2
2
a b -=，
sin C B =，则A =（ ）．
Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ （２）若),0(,πβα∈，31
tan ,50
7
cos -=-
=βα，求α+2β= .
点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A . 题（２）首先
应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确.
解（１）由sin C B =及正弦定理，得c =，代入2
2
a b -=，得
2
2
2
6a b b -=⋅=，即227a b =，又22
12c b =，（为什么从角化边入手？）
由余弦定理222222
cos 22b c a A bc +-====，（选用余弦定理合理否？） 所以30A =︒．故选Ａ．
（２）∵),0(,πβα∈，
50
7cos -=α，∴),0,33(71tan -∈-
=α),0,3
3
(31tan -∈-=β ∴),6
5(,ππ
βα∈，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β)3,2
5(
ππ
∈,又tan2β=43tan 1tan 22
-=-ββ, ∴12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=
+βαβαβα,∴α+2β=4
11π
.
易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误.
变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=
1
7
，sinβ=1010,求2α+β的值.
题型二 三角函数化简、求值问题
例2 （2020江西卷文科第17题）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边是a ,b ,c ,已知3cos cos cos a A c B b C =+ （1）求cos A 的值
（2）若a =1, 23
cos cos 3
B C +=,求边c 的值.
（2）由3
3
2cos cos =
+C B 3
3
2cos )cos(=
+--C C A π展开易得： 3
6sin 3sin 2cos =⇒=+C C C
正弦定理：
2
3
sin sin =⇒=c C c A a 易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用A B C π++=将已知条件23
cos cos B C +=中的角化成同角,从而利用恒等变形得出sin C .再由正弦定理求出c
变式与引申2：（2020江西卷文理科科第17题）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，
已知2
sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(42
2-+=+b a b a ，求边c 的值.
题型三 三角函数的取值范围问题
例3 ．已知函数2
()(1cot )sin 2sin()sin()44
f x x x x x π
π
=+-+-. （1）若tan 2α=，求()f α； （2）若[
,]122
x ππ
∈，求()f x 的取值范围.
点 拨 通过“切化弦”，“降次”等手段，再利用万能公式或“齐次式”可解决第（1）题；第（2）题则首先化为一个三角函数的形式，再根据角的范围来求()f x 的取值范围. 解：（1）2
()sin sin cos cos 2f x x x x x =++1cos 21
sin 2cos 222
x x x -=
++ 11
(sin 2cos 2)22
x x =++， 由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4
sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===
++， 222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++，所以3
()5
f α=
.
（2）由（1）得111
()(sin 2cos 2))2242
f x x x x π=
++=++
由[
,]122x ππ
∈得552[,]4124
x πππ
+∈，所以sin(2)[42x π+∈-
从而11())[0,]2422
f x x π+=++∈. 其
它
解
法思路：题（1）有以下解
法:22
222cos sin cos 1tan ()sin sin cos cos 2,sin cos tan 1
x x x x
f x x x x x x x x ++=++=
=++ 故2
1tan 3
().tan 15
f ααα+=
=+ 易错点 记错二倍角或万能公式；不会在区间55[
,]124
ππ
上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用tan 2α=，去求sin ,cos αα，容易出现符号处
理带来的麻烦等等.
变式与引申3：已知向量),(b c a +=，),(a b c a --=，且m n ⊥u r r
，其中A 、B 、C 是∆ABC
的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边． （1）求角C 的大小；
（2）求B A sin sin +的取值范围．
题型四 三角函数化简、求值的综合应用
例4 已知角,,A B C 是三角形的ABC ∆三内角，向量(m =-u r ,(cos ,sin )n A A =r
,1m n ⋅=u r r ，
且
2
2
1sin 2cos sin 3B B B
+-=-.
（1）求角A ； （2）求tan C ；（3）若AC ，求ABC ∆的面积S ． 点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B 的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）
题也要注意选择运算简单的思路.
解（1）∵1m n ⋅=u r r , ∴()
(cos ,sin 1A A -⋅= , cos 1A A -=.
12
2(sin cos )1A A ⋅=,16
2
sin()A π-=
.
∵0A π<<,∴5666A π
π
π
-
<-
<
,∴66A ππ-=, ∴3
A π=. （2）由题知2212sin cos 3cos sin
B B B B
+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠, ∴2tan tan 20B B --=.∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.
∴tan tan 8tan tan[()]tan()
1tan tan 11A B C A B A B A B π++=-+=-+=-
==-.
（3）由（1）知， 得sin A =tan 2B =，故sin 55
B B ==（舍去负值，
为什么？）,
由正弦定理sin sin AC BC B A =，∴sin 15sin 4
A BC AC
B =⋅=.
∴1sin sin[()]sin()2C A B A B π=-+=+=.
故三角形的面积1902
16
sin S AC BC C +=
⋅=
.
易错点：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回
避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错．
其它解法思路：化简
22
12sin cos 3cos sin B B
B B
+=--时，也有很多的思路，如： ⑴由2(sin cos )sin cos 3(cos sin )(sin cos )cos sin B B B B
B B B B B B
++==--+-,得tan 2B =；
⑵由222222
cos sin 2sin cos 1tan 2tan 3,cos sin 1tan B B B B B B B B B
++++==---得tan 2B =等.
变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =求边c 的长.
本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想方法等等.
点评 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能主要有:
（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的结果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一，各项的次数尽可能地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出具体数值的，要求出值.
（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.
（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式.
证明时常用的方法有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等. （4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形这类题目的解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合理且灵活运用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根据取值范围讨论并确定答案）.还要特别注意三角形中三个角A 、B 、C ，三条边a 、b 、c ，中线m a ，角平分线AD ，外接圆半径R ，内切圆半径r ，三角形面积S 之间的关系和三角形的形状.
（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重.
解答这类综合问题的原则是三点：
降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式； 减元——化多种三角函数为单一的三角函数； 变角——化多角的三角函数为单角的三角函数. 还要特别注意：
①1的变化：2222
1sin cos tan cot cos 22sin 2cos cos 2x x x x x x x x =+=⋅=+=-
sin
cos0tan
2
4
π
π
===L
②角的变化：()()()(),2,2,βαβαααβαβαβαβα=+-=++--=-+L ③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用；
④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.
习题2－1 1. 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，则函数y =10
43
2log 2
1
++x x 的
最小值为( ). A.
28 B.52 C.1
2
- D.2 2. △ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a )，→n ＝(cosA ，－cosC )，且→m ⊥→n ．则
当y ＝2sin 2
B ＋sin(2B ＋π6
)取最大值时，角B 的大小为 ．
【答案】
变式与引申1：由已知0<2α+β<2
3π
, 求得cos (2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β
=
4
π
.
变式与引申2：解：（1）已知2
sin 1cos sin C C C -=+ 2
sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin
22=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02
sin
≠∴C
412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222
=
++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C C
C C 4
3sin 432cos 2sin
2=⇒=∴C C C （2）()842
2
-+=+b a b a Θ
()()2,2022044442
2
22==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a
又4
7
sin 1cos 2
=-=C C Θ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c
变式与引申3：（1）由0=⋅n m 得ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2
220)())((,
由余弦定理2122cos 222==-+=
ab ab ab c b a C , 又π<<C 0，则3
π
=C . （2）由（1）得3
π
=
C ，则3
2π
=
+B A , )6
sin(3cos 23sin 23)32sin(
sin sin sin ππ+=+=-+=+A A A A A B A , 320π<
<A Θ, 6
566π
ππ<+<∴A , 1)6
sin(21≤+<∴
π
A , 3)6sin(323<+<∴πA , 即
B A sin sin +得取值范围是]3,2
3
[. 变式与引申4：由余弦定理, 2
222222cos ,2cos ,a
b c bc A a b ac B c -=--=-
故2
2
2cos 2cos ,c bc A ac B c -=-消去c ,再把由题（Ⅲ）中得出的cos B =
,1cos 2
A =,
和已知1)2
a b =-代入,得c =1.
习题2－1
1.答案:B .
解：设u =sin α+cos β，则u 2
+(3)2
=(sin α+cos β)2
+(cos α+sin β)2
=2+2sin(α+β)≤4.
∴u 2
≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =2
3
2-t
.
max 20.5min 0.5
0.50.5142,,44102488
2log 0,51
log log log 8,[1,1].822
t M t t M x t t t t
y M M y t x ∴===≤====+++=>∴======-∈-Q 当且仅当即在时是减函数时此时
2. 答案: B ＝π
3
.
解：由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c )cosA －acosC ＝0， 由正弦定理得2sin BcosA －sin CcosA －sin AcosC ＝0, ∴2sin BcosA －sin(A ＋C )＝0，2sin BcosA －sin B ＝0，
∵A 、B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，cosA ＝12，故A ＝π
3
.
y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π6)＝(1－cos 2B )＋sin2Bcos π6＋cos 2B sin π
6
＝1＋
32sin2B －12 cos 2B ＝1＋sin(2B －π6).由A ＝π3得0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π
6，∴当2B －π6＝π2，即B ＝π
3时，y 取最大值
2. 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )
3.,
sin 1tan cos sin 1cos 3
cos ,cos sin 45571772sin cos ,,cos sin 251245
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x πππ+++==---
⎛⎫+=∴-= ⎪⎝⎭∴=
<<∴+=-Q Q
代入得2sin 22sin 1tan x x x +-=28
75
-.
4．（1）βαβαβααβsin sin cos 2sin 2
1
)cos(
sin sin 2-=+=， ,cos 2sin sin )sin 1(22
βαβα=+∴
α
α
ααββ2cos 32sin sin 222sin cos sin 2
-=+=∴
； （2）
222
2sin cos sin cos sin cos 2
tan 2(1cos 2)1sin 2sin cos 22si co 4
n s ααααααβαααααα=
==≤=+-++(tan α=
2时取等号).故tan β的最大值是2。