河北“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考 理科数学

河北“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考
理科数学
一、选择题：
1.是虚数单位，则( )
A. 2
B.
C. 4
D.
【详解】由题意得，∴．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题．
2.集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【详解】由题意得，
，∴．故选C．
【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．
3.已知向量，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【详解】∵，∴．设与的夹角为θ，则，又，∴，即与的夹角为．
【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题．
4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解】设等边三角形的边长为，则每个扇形的面积为，，所以封闭图形的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为
．故选C．
【点睛】本题考查面积型的几何概型的求法，解题的关键是得到封闭图形的面积和三角形的面积，求解时注意转化思想方法的运用，考查理解、转化和计算能力，属于基础题．
5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )
A. B. C. D.
【解】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．
在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，
由①②两式消去得，整理得，
解得或（舍去），∴．故选C．
【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．
6.函数的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
【解】由且，可得或，∴函数的定义域为．
令，则．①当时，单调递减，∴，∴单调递增，且．②当时，单调递增，∴，∴单调递减，且．综上可得选项A中的图象符合题意．故选A．
【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般先求出函数的定义域，然后再根据函数的单调性、奇偶性（对称性）、周期性、最值或函数值的变化趋势进行分析、排除，有时还需要通过特殊值进行判断排除，此类问题考查识图能力和分析判断能力．
7.若，，则下列不等式正确的是 ( )
A. B. C. D.
【解】对于选项A，由可得，又，所以，故A不正确；
对于选项B，由于，所以等价于，可得，不合题意，故B不正确；对于选项C，由于函数在上为减函数，且，所以，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得当，时，
，故D正确．故选D．
【点睛】根据条件判断不等式是否成立时，常用的方法有两种：一是根据不等式的性质直接进行判断；二是通过构造适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当的方法进行求解，考查运用知识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题．
8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A. B. C. D.
【解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为．故选B．
【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．
9.函数的定义域为，且，当时，；当时，
，则( )
A. 671
B. 673
C. 1343
D. 1345
【解】∵，∴，∴函数是周期为3的周期函数．
又当时，；当时，，
∴，
∴
．故选D．
【点睛】本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区间上的函数值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题．
10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
【解】如图，设三棱柱为，且，高．
所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以
，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．
（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．
11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解】由题意得，∵函数的图象与函数的图象关于点对称，∴，又，
∴，即，
∴，结合与的特征可得
，∴．又，
∴当时，取得最小值4．故选D．
【点睛】本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系，并进而得到间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问题的能力，属于中档题．
12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解】方程等价于
或或，
即或或，所以．
∵，∴，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴当时，取得最小值，且．画出函数的图象，如下图所示．
于是可得，当时，恒成立．
由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解，只需
，即，解得，∴实数的取值范围是
．故选A．
【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用．
二、填空题。

13.若x，y满足，则的最小值为____
【解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，
所以点A的坐标为．所以．故答案为2．
【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．
14.在的展开式中常数项等于___
【解】二项式的展开式的通项为，
∴中的常数项为．故答案为9．
【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的
通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．
15.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且
到直线，的距离相等，则 ___
【解】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，
∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，
∴为的平分线，∴，即．又，
∴．故答案为4．
【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且
，则面积的最大值是___
【解】如图，设，则,
在和中，分别由余弦定理可得，
两式相加，整理得，∴．①
由及正弦定理得，
整理得，②
由余弦定理的推论可得，所以．
把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，
所以，故得．所以．
即面积的最大值是．故答案为．
【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
三、解答题：
17.已知数列满足，
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．
【解】（Ⅰ）∵
∴，两式相减得，
∴．又当时，满足上式，∴．
∴数列的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴
∴
．
【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对时的情况的验证．
（2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几项．
18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．
某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）．
（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；
（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，
）
【解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以，
，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19.如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，
，直线与平面所成的角等于．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解】（Ⅰ）在中，是斜边的中点，所以.
因为是的中点，所以，且，
所以，所以. 又因为，所以，
又，所以平面，因为平面，所以平面平面．
（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，
因为，
所以.
又因为，，
所以平面，
所以平面．
因此是直线与平面所成的角．
故，
所以.
过点作于，则平面，
且．
过点作于，连接，
则为二面角的平面角．
因为，
所以，
所以，
因此二面角的余弦值为．
方法二：
如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为 (同方法一,过程略)
则，,．
所以,,，
设平面的法向量，
则，即，取,得．
设平面的法向量
则，即，取,得．
所以，
由图形得二面角为锐角，
因此二面角的余弦值为．
【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．
20.椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于
两点，当直线垂直于轴时．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．
【解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以，整理得．
故椭圆的方程为．由已知得椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意得直线的方程为．由消去整理得，其中．设，的中点
则，所以
∴，∴点C的坐标为．
假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，
则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．
①当时，则过点且与垂直的直线方程，
令，则得．若，则，
∴．若，则，∴．
②当时，则有．综上可得．
所以存在点满足条件,且m的取值范围是.
【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．
21.已知函数（为常数）
（Ⅰ）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的最大值．
【解】（Ⅰ）∵，，∴．
设，，
∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，
∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．
又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，
∴，或，解得.
∴实数的取值范围为．
（Ⅱ）由（I）知函数的两个极值点满足，所以，不妨设，则在上是减函数，∴，∴
．
令，则，又，即，解得，
故，∴．设，则，
∴在上为增函数．∴，
即．所以的最大值为．
【点睛】（1）解答第一问时注意由函数在定义域上为单调函数，可得到或恒成立，然后结合导函数的特点进行求解，解题时注意二次方程根的分布在解题中的应用．（2）解答第二问的关键有两个：一个是把转化为变量的函数，二是通过换元构造出变量为的函数，然后再借助单调性求解．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（Ⅰ）求的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.
【解】（Ⅰ）极坐标方程可化为所以，
将代入上式可得，
所以曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）不妨设，点的极坐标分别为，
由，得到．由，得到．
所以，
因为，所以，所以当时，取得最大值．
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式求解是解题的关键．对于极坐标系内的长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性．
23.已知,
（Ⅰ）若,求不等式的解集；
（Ⅱ）设关于的不等式的解集为,若集合,求的取值范围.
【解】（Ⅰ）当时，不等式即为，
等价于或或解得或，
所以．所以原不等式的解集为．
（Ⅱ）由题意可知，对于，不等式恒成立，
故不等式对于恒成立，化简得
所以，即对于恒成立，
又当时，，且，所以，
所以实数的取值范围为．
【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．。