高中数学讲义(人教A版选择性必修二)：利用导数研究不等式恒(能)成立问题5种考法总结(学生版)

三、分离成两个函数，数形结合 把不等式分离成两个函数，再由函数图像关系及参数几何意义得出参数范围.分离出的两个函数必须一
个是已知的，较为简单的函数，否则图像得不到.另一个带参数的函数也必须是已知的简单函数，参数的几 何意义明显才比较容易由数形结合得出参数范围.而且作为解答题，数形结合可能比较难以论述清楚. 四、分类讨论、放缩取点法
通过求参数进行分类讨论，确定函数的单调性，进一步求出最值. 策略 2 利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 f x g x（或 f x g x）转化为证明 f x gx 0 （或 f x gx 0 ），进而构造辅助函数 hx f x g x ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
考点一 不等式恒成立求参数范围
（一）分离参数法 x3 ax 2 bx a 2 ，当 a 1时，若对任意的 x 0, ，都
有 f x 0 恒成立求 b 的取值范围.
2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 f x x3 ax 2 bx a 2 ，当 b 2a 时，若对任意的 x 2, 都
有 f x a2 恒成立，求 a 的取值范围. 3．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 f x x3 ax 2 bx a 2 ，当 b 9 时，若对任意的 x 0, ，都 有 6x ln x f x 0恒成立，求 a 的取值范围. 4．（2022 秋·北京房山·高三北京市房山区良乡中学校考期中）已知函数 f x 2x 3 3ax 2 3bx 在 x 1及 x 2
策略 3 对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的 新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩 法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3.一般地, f (x) a 恒成立,只需 f (x)min a 即可; f (x) a 恒成立,只需 f (x)max a 即可。
二、函数最值法 将不等式转化为含某个待求参数的函数最值问题,先求该函数的最值,然后构建不等式求解。
注：1、对于 f (x) g(x) 恒成立，有两种理解方式，第一种是 y f (x) 图像恒在 y g(x) 图像上方，只 需 f (x) g(x) 0 恒成立即可，可以通过构造函数求解；第二种是通过求解 y f (x) 和 y g(x) 的值域
2、辨析 f (x) g(x) 型与 f (x1) g(x2 ) 型的差异: 1.对∀x∈I,不等式 f (x) g(x) 恒成立,可转化为求函数[ f (x) g(x)]min 0 2.对∀x∈I,不等式 f (x1) g(x2 ) 恒成立,可转化为求函数 f (x)min g(x)max .
（二）分类讨论、放缩取点法
8．（2023 秋·陕西商洛·高二统考期末）已知函数 g x ex ax，若 g x 0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A． 0, e2
B． 0, e
C． 0,1
D． 0,e
9．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 f x x3 ax 2 bx a 2 ，当 a 1 时，若 x , 0 都有 f x ex
拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 5 种考法总结
策略 1 含参不等式恒成立问题的解题策略 在数学学习中，我们经常会遇到一类问题，那就是证明不等式恒成立或在不等式恒成立的条件下，求
其中参数的取值范围。其问题的本质就是研究函数的变化情况，研究函数值的范围。导数作为研究函数单 调性的有力武器，在这类问题中发挥了巨大的作用。 一、分离参数法 将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范 围。 1.变量与参数的确定:谁的范围已知,将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母视为参数。 2.分离参数法遵循两点原则:①已知不等式中两个字母容易进行分离;②分离参数后,已知变量的函数解析式 容易求出最值或 临界值。
6．（2023 春·江苏南京·高二校考开学考试）已知函数 f (x) x(ln x k 1), k R ． (1)当 x 1时，求函数 f (x) 的单调区间和极值；
(2)若对于任意 x e, e2 ，都有 f x 4ln x 成立，求实数 k 的取值范围； 7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 f x a 3 x 2lnx， a R ． (1)讨论 f x 的单调性； (2)对 x 0 ，不等式 f x x2ex 1恒成立，求实数 a 的取值范围．
范围，观
察是否有 f (x)min g(x)max ，此方法称为最值比较法，但此种方法对 y f (x) 和 y g(x) 值域范围要求较 高，因为 f (x)min g(x)max ，只是 f (x) g(x) 成立的充分条件而非必要条件，即 f (x) g(x) 时未必有 f (x)min g(x)max 成立，因而使用时需谨慎选择。
时取得极值． (1)求 a,b 的值；
(2)若对于任意的 x 0,3，都有 f x m 成立，求 m 的取值范围． 5．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 f x x3 ax 2 bx a 2 ，当 b 0 时，若对任意的 x 1 ， x2 0, 且 x1 x2 都有 f x1 f x2 a x1 x2 成立，求 a 的取值范围.