2014年上海市浦东区高二上学期数学期中试卷与解析

2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷
一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）
1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是．
2．（3分）=．
3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=．
4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=．
5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是．
6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=．
8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5=．
9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=．
10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．
12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第
行，第列．
二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）
A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）
16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，
，则与（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
三、解答题（满分50分）
17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．
18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）
（1）若向量⊥向量，求实数x的值；
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．
20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）
（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；
（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．
2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）
1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是a n=（﹣1）n．【解答】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列，
且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴此数列的一个通项公式是a n=（﹣1）n．
故答案为：a n=（﹣1）n．
2．（3分）=．
【解答】解：==•=．
故答案为：．
3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=8．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a3+a7=2a5=16，
∴a5=8．
故答案为：8．
4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=2．
【解答】解：∵等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，
∴，解得b3=2．
故答案为：2．
5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是（，﹣）．
【解答】解：∵向量=（4，﹣3），
∴||==5，
∴向量=（4，﹣3）同向的单位向量（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=﹣16．【解答】解：∵直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∴cosC==，
∴•=﹣•=﹣||•||cosC=﹣4×5×=﹣16．
故答案为：﹣16．
7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=6n﹣5．
【解答】解：数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，
∴a1=S1=3﹣2=1，
n≥2时，S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，
n=1时，上式成立，
∴a n=6n﹣5．
故答案为：6n﹣5．
8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5= 4．
【解答】解：在各项都是正数的等比数列{a n}中，
∵a2a8+2a5a3+a2a4=16，
∴=（a5+a3）2=16，
解得a3+a5=4．
故答案为：4．
9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=2n﹣1．
【解答】解：∵f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1
=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+n
=2×+n=n2．
∴f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2﹣n2=2n+1．
故答案为：2n+1．
10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是等边三角形．【解答】解：∵在△ABC中，b=c=6，∴△ABC为等腰三角形，
又bccosA=36cosA=18，
∴cosA=，A∈（0，π），
∴A=．
∴△ABC为等边三角形，
故答案为：等边三角形．
11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．
【解答】解：∵（）n=0，
∴﹣1＜＜1．
解得：．
故答案为：
12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第45
行，第77列．
【解答】解：由数表中的变化规律，知第n行有2n﹣1个连续自然数，
∵1+3+5+…+（2×45﹣1）==2025，
1+3+5+…+（2×44﹣1）==1936，
2013﹣1936=77，
∴2013位于数表中的第45行，第77列．
故答案为：45，77．
二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【解答】解：若S n=an2+bn（a≠0），
则当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an+b﹣a，
当n=1，a1=S1=a+b满足a n=2an+b﹣a，
=2an+b﹣a﹣2a（n﹣1）﹣b+a=2a为常数，则数列{a n}成此时当n≥2，a n﹣a n
﹣1
等差数列，即充分性成立，
若a n=1，满足数列{a n}成等差数列，但数列{a n}前n项的S n=n，不满足S n=an2+bn （a≠0），即必要不充分条件，
故数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的充分不必要条件，
故选：A．
14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：数列，，1，3，…的首项为，公比为3，
S n==，
由S n=＞100，得3n＞1801，
∵36=729，37=2187，
∴数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是7．
故选：B．
15．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）
A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）
【解答】解：∵与所成的夹角是180°，
∴=λ（1，﹣2），
∵||=，
∴λ2+4λ2=45
∴λ=±3，
∵两个向量方向相反，
∴λ=﹣3，
∴=（﹣3，6）
故选：C．
16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，
，则与（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
【解答】解：由定比分点的向量式得：，，
，
以上三式相加得，
故选：A．
三、解答题（满分50分）
17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．
【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q（|q|＜1），
依题意得：=①
=②
两式相除得q=．
将q=代入①得a1=32．
∴此数列的首项为32，公比为．
18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【解答】解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．
依题意，有
由①式得x=3y﹣12．③
将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，
整理得y2﹣13y+36=0．
解得y1=4，y2=9．
代入③式得x1=0，x2=15．
从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）
（1）若向量⊥向量，求实数x的值；
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．
【解答】解：（1）∵向量⊥向量….1′
∴•=0….1′
∴﹣3x﹣10=0 ….1′
∴x=﹣…1′
（2）∵向量与向量的夹角为钝角
∴•＜0且•≠﹣1 …2′
∴﹣3x﹣10＜0且﹣3x﹣10≠﹣1 ….2′
∴x的取值范围是（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞）…2′．
20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
=S n（n∈N*），且a1=1得
【解答】解（1）：由a n
+1
a2=﹣….1′
a3=﹣….1′
a4=﹣…..1′
（2）：猜想：a n=…2′
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1、n=2时，a1=1，a2=﹣，猜想结论成立…1′
（ⅱ）假设当n=k（，k≥2，k∈N*），猜想结论成立．
当n=k+1时，
a k+1=S k=﹣（S k﹣1+a k）
=﹣S k﹣1a k
=a k a k
=
=
=…3′
由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立．…1′．
21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）
（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；
（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．
（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．
【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1+1
+2
∴a n+1=2a n
﹣1
+1）
∴a n+1=2（a n
﹣1
∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列…2′
又∵a1=1，∴a1+1=2
∴a n+1=2•2n﹣1，
∴a n=2n﹣1….2′
（2）解：∵b n===….2′
∴T n=b1+b2+…+b n
=1﹣+﹣+﹣+…+
=1﹣，
∴T n=1 ….2′
（3）解：∵C n
=100C n
+1
=2+lgC n， (2)
∴lgC n
+1
∴{lgC n}是以2为公差的等差数列 (1)
又∵C1=10，∴lgC1=1
lgC n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴C n=102n﹣1，（n∈N*）…1．
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【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。