2020年山东省聊城市莘县中考数学二模试卷(附答案详解)

2020年山东省聊城市莘县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.四个有理数−3、−1、0、2，其中比−2小的有理数是()
A. −3
B. −1
C. 0
D. 2
2.由6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则从它的正面看到的
图形是()
A.
B.
C.
D.
3.一组数据−2，3，0，2，3的中位数和众数分别是()
A. 0，3
B. 2，2
C. 3，3
D. 2，3
4.已知，如图，AB//CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，
则∠C=()
A. 150°
B. 30°
C. 120°
D. 60°
5.下列运算正确的是()
A. √3+√2=√5
B. √3×√2=√6
C. (√3−1)2=3−1
D. √52−32=5−3
6.将方程2x2−6x+1=0配方后，原方程变形()
A. (x−3)2=7
4B. (x−3)2=8 C. (x−3
2
)2=4 D. (x−3
2
)2=7
4
7.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在第一象限，
若点A关于x轴的对称点B在直线y=−2x+1上，则m的值为()
C. 2
D. 3
8.下列说法正确的是()
A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件
C. “任意画一个六边形，它的内角和等于540°”是必然事件
D. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，分别记为a和b，那么a2+b2>19的概
率是1
3
9.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐
标轴为(4,1)，点D的坐标为(0,1)，则菱形ABCD
的周长等于()
A. √5
B. 4√3
C. 4√5
D. 20
(m为常数且m≠0) 10.如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=m
x
的解集是()的图象都经过A(−1,2)，B(2,−1)，结合图象，则不等式kx+b>m
x
A. x<−1
B. −1<x<0
C. x<−1或0<x<2
D. −1<x<0或x>2
11.如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，将△ABC绕
直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE
的中点，连接AF，则AF的长为()
A. 3
D. 4√2
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶
点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，
则下列结论：①abc>0；②3a+b<0；③−4
3
≤a≤−1；
④a+b≥am2+bm(m为任意实数)；⑤一元二次方程
ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13.不等式组{2x+1
3
>−3
1−2x>5
的解集是______．
14.分解因式：3ax2−6axy+3ay2=______．
15.将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为
______ cm．
16.如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是1
2
，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是______ ．
17.如图，在y轴的正半轴上，自O点开始依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，
…，A n，分别过这些点作y轴的垂线，与反比例函数y=−2
x
(x<0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…，P n，作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，P n B n−1⊥
A n−1P n−1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，
B n−1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，P n−1P n，
得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△P n−1B n−1P n，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S n−1，则S1+S2=______ ，S1+S2+S3+⋯+S n−1= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）
18.解方程：x+1
x−1+4
1−x2
=1．
19.如图1，A，B，C是聊城市开发区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北
和正东方向，AC=40米.八位环卫工人分别测得的BC长度如下表：
甲乙丙丁戊戌申辰BC(单位：
m)
8476788270848680他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2、图3．
(1)求表中BC长度的平均数x−；
(2)求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
(3)用(1)中的x作为BC的长度，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运
送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用(结果保留根号)．
20.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线
交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你
的结论．
21.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC
与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D 的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，√3≈1.732，√2≈1.414)
22.某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，
乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；
打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子
比不打折购买可节省多少元？
23.小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步
中途改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间之间x(min)的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min；
(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)求两人相遇时离家多远？
24.如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=√3，OB交⊙O于点D，
作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛
物线y=−2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE与直线AC相交于点F，当EF=
1
BF时，求sin∠EBA的值．
2
(3)点N是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物
线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得：−3<−2<−1<0<2，
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看的图形为，C选项中图形，
故选：C．
从正面看所得到的图形，进行判断即可．
考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体的正投影所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：−2，0，2，3，3，最中间的数是2，则中位数是2；
在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；
故选：D．
中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线、平角的定义以及角平分线的定义，比较简单．
先根据平行线及角平分线的定义求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．
【解答】
解：∵直线AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵∠CDB=180°−∠CDE=30°，
∴∠ABD=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，
∵AB//CD，
∴∠C=180°−∠ABC=180°−60°=120°．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、√3×√2=√6，故选项正确；
C、是完全平方公式，应等于4−2√3，故选项错误；
D、应该等于√16=4，故选项错误；
故选B．
A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解．
本题考查的是二次根式的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序及运算法则、公式等．6.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x2−3x=−1
2
，
配方得：x2−3x+9
4=7
4
，即(x−3
2
)2=7
4
．
故选：D．
方程移项整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵点A(2,m)和点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为(2,−m)．
又∵点B在直线y=−2x+1上，
∴−m=−2×2+1，
∴m=3．
故选：D．
由点A和点B关于x轴对称，可求出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、“买l张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A不符合题意；
B、概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B不符合题意；
C、“任意画一个六边形，它的内角和等于540°”是不可能事件，因此选项C不符合题意；
D、从1，2，3，4中任取2个不同的数，分别记为a和b，那么a2+b2>19的概率是4
12=1
3
，
因此选项D符合题意．
故选：D．
根据随机事件、概率的意义以及概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查随机事件、概率的意义以及概率公式，熟练掌握定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AC、BD交于点E，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AE=CE，BE=DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为(4,1)，点D的坐标为(0,1)，
∴BD=4，AE=1，
BD=2，
∴DE=1
2
∴AD=√AE2+DE2=√12+22=√5，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4√5；
故选：C．
连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AE=CE，BE=DE，AC⊥BD，求出AE=CE=1，BE=DE=2，由勾股定理求出AD，即可得出答案．此题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】[分析]
的解集根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b>m
x
即可得解．
本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
[详解]
(m为解：由函数图象可知，当一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y2=m
x
常数且m≠0)的图象上方时，
x的取值范围是：x<−1或0<x<2，
∴不等式kx+b>m
的解集是x<−1或0<x<2，
x
故选C．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是旋转的性质、三角形的中位线定理、勾股定理的应用，证得FG为△ECD的中位线是解题的关键．
先依据旋转的性质得到CE、CD的长，然后过点F作FG⊥AC，从而可证明FG是△ECD 的中位线，从而可得到EG、FG的长，最后依据勾股定理可求得AF的长．
【解答】
解：如图所示：过点F作FG⊥AC．
∵由旋转的性质可知：CE=BC=4，CD=AC=6，∠ECD=∠BCA=90°．
∴AE=AC−CE=2．
∵FG⊥AC，∠ECD=90°，
∴FG//CD．
又∵F是ED的中点，
∴G是CE的中点，
CD=3．
∴EG=2，FG=1
2
∴AG=AE+EG=4．
∴AF=√AG2+FG2=5．
故选C．
12.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1,n)，
∴对称轴为直线x=1，
=1，
∴−b
2a
∴b=−2a>0，
∵与y轴的交点在(0,3)，(0,4)之间(包含端点)，
∴3≤c≤4，
∴abc<0，故①错误，
3a+b=3a+(−2a)=a<0，故②正确，
∵与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，
∴c=−3a，
∴3≤−3a≤4，
∴−4
3
≤a≤−1，故③正确，
∵顶点坐标为(1,n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确，
一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误，
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选：B．
根据抛物线开口向下判断出a<0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
13.【答案】−5<x<−2
【解析】解：{2x+1
3
>−3…①
1−2x>5…②
，
解①得：x>−5，
解②得：x<−2，
则不等式组的解集是：−5<x<−2．
故答案是：−5<x<−2．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
14.【答案】3a(x−y)2
【解析】
【分析】
此题主要考查用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式3a，再利用完全平方公式“(a−b)²=a²−2ab+b²”进行因式分解即可。

【解答】
解：
故答案为3a(x−y)2。

15.【答案】4√2
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
，解得r=2，
根据题意得2πr=120⋅π⋅6
180
所以圆锥的高=√62−22=4√2(cm)．
故答案为4√2．
设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
，解得r=2，然锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到=120⋅π⋅6
180
后利用勾股定理计算圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16.【答案】3
4
【解析】解：列表如下：
灯泡1发光 灯泡1不发光 灯泡2发光 (发光，发光) (不发光，发光) 灯泡2不发光
(发光，不发光)
(不发光，不发光)
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种， ∴至少有一个灯泡发光的概率是3
4， 故答案为：3
4．
根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】23；
n−1n
【解析】解：设OA 1=A 1A 2=A 2A 3=⋯=A n−2A n−1=a ，
∵y =a 时，x =−2
a ，∴P 1的坐标为(−2
a ,a)， ∵y =2a 时，x =−1
a ，∴P 2的坐标为(−1
a ,2a)， ∴Rt △P 1B 1P 2的面积=1
2×a ×(2
a −1
a )， Rt △P 2B 2P 3的面积=1
2×a ×(1
a −2
3a )， Rt △P 3B 3P 4的面积=1
2×a ×(2
3a −2
4a )， …，
∴△P n−1B n−1P n 的面积=1
2×a ×[2
(n−1)a −2
na ]，
∴S 1+S 2=1
2×a ×(2
a −1
a )+1
2×a ×(1
a −2
3a )=1
2×a ×(2
a −2
3a )=2
3，
S 1+S 2+S 3+⋯+S n−1=1
2×a ×(2
a −1
a )+1
2×a ×(1
a −2
3a )+1
2×a ×(2
3a −2
4a )+⋯+
1
2
×a ×[2(n−1)a −2
na ] =1
2×a ×(2
a −2
na )=n−1n
．
故答案为2
3，
n−1n
．
设OA 1=A 1A 2=A 2A 3=⋯=A n−2A n−1=a ，根据反比例函数图象上点的坐标特征和
三角形面积公式得到S1=1
2×a×(2
a
−1
a
)，S2=1
2
×a×(1
a
−2
3a
)，S3=1
2
×a×(2
3a
−2
4a
)，
由此得出S n−1=12×a×[2
(n−1)a −2
na
]，再代入计算即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，有一定难度．求出S n−1的表达式是解题的关键．
18.【答案】解：去分母得：(x+1)(x+1)−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：(1)由平均数的计算公式得x−=84+76+78+82+70+84+86+80
8
=80(米)，答：表中BC长度的平均数为80米；
(2)A处的处垃圾量为320÷50%−320−240=80(千克)，
答：A处的垃圾量80千克，补全条形统计图如图所示：
(3)在Rt△ABC中，AB=√BC2−AC2=√802−402=40√3(米)，
所以运垃圾所需的费用为40√3×80×0.005=16√3(元)，
答：运垃圾所需的费用为16√3元．
【解析】(1)根据平均数的计算方法计算即可；
(2)求出三处垃圾总量，再求出A处的垃圾量；
(3)先求出AB的长，再根据单价、数量、总价之间的关系进行解答即可．
本题考查平均数，条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系以及平
均数的计算方法是解决问题的前提．
20.【答案】证明：
(1)∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
{∠AFE=∠DCE AE=DE
∠AEF=∠DEC
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
(2)四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF//BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【解析】(1)先由AF//BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF= BD，从而有BD=CD；
(2)四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、
等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
21.【答案】解：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，
在Rt △ABC 中，tan∠ACB =AB
BC ，
∴AB =BC ⋅tan75°=0.60×3.732=2.2392m ， ∴GM =AB =2.2392m ，
在Rt △AGF 中，∵∠FAG =∠FHE =60°，sin∠FAG =FG
AF ， ∴sin60°=FG 2.5
=
√3
2
， ∴FG =
5√3
4
， ∴DM =FG +GM −DF ≈3.05米． 答：篮筐D 到地面的距离是3.05米．
【解析】延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，
依题意，得：{6x +3y =600
50×0.8x +40×0.75y =5200，
解得：{x =40
y =120
．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
(2)(40×80+120×100)−(40×0.8×80+120×0.75×100)=3640(元)． 答：打折后购买这批粽子比不打折购买可节省3640元．
【解析】(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)根据节省的钱数=打折前购买这批粽子所需钱数−打折后购买这批粽子所需钱数，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折线O−A−B为小玲路程与时间图象，则家与图书馆之间路程4000m，
小玲步行速度为(4000−2000)÷(30−10)=100(m/s)；
(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则x min时，
∴他离家的路程y=4000−300x，
自变量x的范围为0≤x≤40
3
；
(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
∴4000−300x=200x
解得x=8
∴两人相遇时间为第8分钟．
此时离家的距离是：4000−300×8=1600(m)．
【解析】(1)认真分析图象得到路程与速度数据；
(2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；
(3)两人相遇实际上是函数图象求交点．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：连结OC，如图，
∵AC⊥OB，
∴AM=CM，
∴OB为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中
{OA=OC OB=OB BA=BC
，
∴△OAB≌△OCB(SSS)，∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
故BC是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=√3，
∴OB=√AB2+OA2=2，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，
在Rt△PBO中，OB=2，
∴PB=√3OB=2√3，
在Rt△PBD中，BD=OB−OD=2−1=1，PB=2√3，∴PD=√PB2+BD2=√13，
∴sin∠BPD=BD
PD =
√13
=√13
13
．
【解析】(1)连结OC，根据垂径定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；
(2)在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关
系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=√3OB=2√3；在Rt△PBD中，BD=OB−OD=1，根据勾股定理计算出PD=√13，然后利用正弦的定义求sin∠BPD的值．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质．
25.【答案】解：(1)在y=2x+6中，当x=0时，y=6；当y=0时，x=−3，
∴C(0,6)、A(−3,0)，
∵抛物线y=−2x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴{−18−3b +c =0c =6
， 解得{b =−4c =6
， ∴抛物线的解析式为y =−2x 2−4x +6；
(2)令−2x 2−4x +6=0，
解得x 1=−3，x 2=1，
∴B(1,0)，
设点E 的横坐标为t ，则E(t,−2t 2−4t +6)，
如图，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则EH//FG ，
∵EF =12BF ， ∴BG BH =FG EH =BF BE =23，
∵BH =1−t ，
∴BG =23BH =23−23t ， ∴点F 的横坐标为13+23t ，
∴F(13+23t,203+43t)，
∴−2t 2−4t +6=32(203+43t)，
∴t 2+3t +2=0，
解得t 1=−2，t 2=−1，
当t =−2时，−2t 2−4t +6=6，
当t =−1时，−2t 2−4t +6=8，
∴E 1(−2,6)，E 2(−1,8)，
当点E 的坐标为(−2,6)时，在Rt △EBH 中，EH =6，BH =3，
∴BE =√EH 2+BH 2=√62+32=3√5，
∴sin∠EBA =EH BE =3√5=2√55
； 同理，当点E 的坐标为(−1,8)时，sin∠EBA =
EH BE =4√1717，
∴sin∠EBA 的值为2√55或4√1717； (3)∵点N 在对称轴上，
∴x N =−3+1
2=−1，
∵点E 在对称轴坐车，
∴E(−2,6)，
①当EB 为平行四边形的边时，分两种情况：
(Ⅰ)点M 在对称轴右侧时，BN 为对角线，
∵E(−2,6)，x N =−1，−1−(−2)=1，B(1,0)，
∴x M =1+1=2，
当x =2时，y =−2×22−4×2+6=−10，
∴M(2,−10)；
(Ⅱ)点M 在对称轴左侧时，BM 为对角线，
∵x N =−1，B(1,0)，1−(−1)=2，E(−2,6)，
∴x M =−2−2=−4，
当x =−4时，y =−2×(−4)2−4×(−4)+6=−10，
∴M(−4,−10)；
②当EB 为平行四边形的对角线时，
∵B(1,0)，E(−2,6)，x N =−1，
∴1+(−2)=−1+x M ，
∴x M =0，
当x =0时，y =6，
∴M(0,6)；
综上所述，M 的坐标为(2,−10)或(−4,−10)或(0,6)．
【解析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理、三角函数的应用及平行四边形的判定和性质等知识点．
(1)先由直线解析式求出点A 、C 坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；
(2)先求出B(1,0)，设E(t,−2t 2−4t +6)，作EH ⊥x 轴、FG ⊥x 轴，知EH//FG ，由EF =
1 2BF知BG
BH
=FG
EH
=BF
BE
=2
3
，结合BH=1−t可得F(1
3
+2
3
t,20
3
+4
3
t)，从而得出方程−2t2−
4t+6=3
2(20
3
+4
3
t)，解之得t1=−2，t2=−1，据此得出点E坐标，再进一步求解可
得；
(3)分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．。