(北师大版)2018-19高中数学新学案-同步讲义-选修2-1-第二章 空间向量与立体几何 §4 第1课时

§4用向量讨论垂直与平行
第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
知识点二利用空间向量处理平行问题
思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．
(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论． 知识点三 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧
n ·a ＝0，
n ·b ＝0；
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
1．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)
2．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) 3．若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) 4．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)
类型一 求平面的法向量
例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，
∴AB →＝(－2,1,3)，BC →
＝(1，－1,0)．
则有⎩⎨
⎧
n ·AB →＝0，n ·BC
→
＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋3z ＝0，
x －y ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3z ，
x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.
故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．
反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD
与平面SBA 的一个法向量．
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，
则DC →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，0，1.
向量AD →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，0是平面SAB 的一个法向量．
设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DC →
＝1
2
x ＋y ＝0，
n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－12
x ，
z ＝12x .
取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，
故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解面面平行
证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，
A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)， E (2,2,1)，F (0,0,1)，
B 1(2,2,2)，
所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →
，
即⎩⎨
⎧
n 1
·DA →＝2x 1
＝0，n 1
·AE
→
＝2y 1
＋z 1
＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，
z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→
·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1—→
⊥n 1.
又因为FC 1⊈平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .
(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1—→
，
得⎩⎨
⎧
n 2
·FC 1
—→＝2y 2
＋z 2
＝0，n 2
·C 1
B
1
—→
＝2x 2
＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，
z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，
因为n 1＝n 2，
所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝1
2AD ＝1，问在棱PD 上是否存
在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解线面平行 解 存在点E 使CE ∥平面PAB .
以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系
Axyz ，
∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →
＝(0，y ，z －1)，
PD →
＝(0,2，－1)，
∵PE →
∥PD →
，∴y 2＝3－1
－1
，①
∵AD →
＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量，
又CE →
＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB ， ∴CE →⊥AD →
，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝1
2，
∴E 是PD 的中点，
∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面PAB .
1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B
解析 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝3
6
，故λ＝2.
2．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若l 1∥l 2，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，1
2
B ．－13，12
C ．－3,2
D ．2,2
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A
解析
由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＋16＝22λ，
2μ－1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2，
μ＝1
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－3，
μ＝1
2
.
3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)
D ．(3,2,1)
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A
解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →
共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．
4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，12，2，则m 为( )
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．8
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C
解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，12，2，
∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，12，2＝0，
∴2＋1
2
m ＋2＝0，∴m ＝－8.
5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一)
解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，
设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )， 则a ·AC →＝0, a ·AD 1—→
＝0.
因为AC →＝(－1,1,0)，AD 1—→
＝(－1,0,1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y ，x ＝z ，
不妨取x ＝1，
则a ＝(1,1,1)．
(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥
n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．
一、选择题
1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D
解析 由l ∥α，故a ⊥μ，即a ·μ＝0，故选D.
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10
D ．6和10
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A
解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2
－4＝－3x ＝5
y ，所以x ，y 的值分别是6和－
10.
3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( ) A ．－2B ．－
2C.
2D ．±
2
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 D
解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，
解得x ＝± 2.
4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是(
) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
33，33，－33 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎪
⎫
33，－33，33
C.⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
－33，33，33 D.⎝ ⎛
⎭⎪⎪
⎫
－33，－33，－33
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 D
解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．
设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．
∵⎩⎨⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝0，
－x ＋z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，
单位法向量为±n |n |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
33，33，33.
5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )
A ．l ∥α
B ．l ?α
C ．l ⊥α
D ．l ?α或l ∥α
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求直线的方向向量
答案 D
解析 当a ·b ＝0时，l ?α或l ∥α.
6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A ．－103
B ．6
C ．－6D.103
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 B
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴24＝3λ＝－1－2
，∴λ＝6. 7．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )
A ．－1,2
B ．1，－2
C ．1,2
D ．－1，－2
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 A
解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，
由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3m ＋n ＋1＝0，
m ＋5n －9＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，
n ＝2.
二、填空题 8．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝
⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 2∶3∶(－4)
解析 由已知得，AB →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74， AC →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，
∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，
∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 9．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 12
解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y ＝12
. 10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 4
解析 由α∥β得1－2＝2
－4＝－2k
，解得k ＝4. 三、解答题
11．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，
∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 依题意有⎩⎨⎧ n ·AC →＝0，
n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x －4y －3z ＝0，x －2y －4z ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
z ＝0，
x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．
12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，
所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，
则D (0，3，0)，A (0,0,0)，
E ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，B (1,0,0)， C (1，3，0)，
于是AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，
则⎩⎨⎧ n ·AC →＝0，
n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ，
z ＝－3y ，
令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.
所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(
3，－1，3)． 13．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
证明 如图，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接ED ，易知Q 在线段ED 上，
∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，
∴PQ →＝EQ →－EP →
＝13ED →－13
EA → ＝13(ED →－EA →)＝13
AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，
又AD ?平面ACD ，PQ ⊈平面ACD ，
∴PQ ∥平面ACD .
四、探究与拓展
14．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A ．(1，－4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14
，－1，12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12 D ．(0，－1,1)
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 D
解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，
n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.
15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5.求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 向量去求解面面平行
证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，
则D (0,0,0)，A 1(5,0,4)，
B (5,3,0)，D 1(0,0,4)，
B 1(5,3,4)，
C (0,3,0)，
∴A 1D →＝(－5,0，－4)，
A 1
B →＝(0,3，－4)，
D 1C →＝(0,3，－4)，B 1C →＝(－5,0，－4)． 设平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧ m ⊥A 1D →，
m ⊥A 1B →，即⎩⎨⎧ m ·A 1D →＝－5x －4z ＝0，m ·A 1B →＝3y －4z ＝0.
取z ＝1，得x ＝－45，y ＝43，则m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，43，1. 设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎨⎧ n ·D 1C →＝0，
n ·B 1C →＝0，得n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，43，1. ∵m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .。