2-简谐振动和能量法解析

mg s k
取铅垂坐标轴x，以静平衡位置为原点 O,向下为正。在物体从静平衡位置离开x时， 弹 簧 伸 长 δ s+x ， 作 用 于 物 体 的 力 等 于 k(δ s+x)。物体的运动微分方程为
mg k ( s x) m x
1 f 2 g
s
2．1简谐振动
例：均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重P＝mg的物 体。试写出物体的振动微分方程及固有频率。 解：由材料力学，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度
x
1 2 kxdx k x 2
Pz
2
z(从任意选定的某一基准位置量起，高出基准位 置时z为正值，反之为负值
（4）实例 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成 扭摆。设有力矩使圆盘及圆轴下端绕铅垂轴转过 某一角度θ后突然释放，则圆盘将在水平面内进行 扭转振动．已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端 扭转1弧度所需要的力矩)为K，质量可以不计，圆 盘对转轴的转动惯量为J． 求扭摆的振动微分方 程及固有周期与频率。
如果取平衡位置为势能零点，在平衡位置势能为 零，动能为最大值，在振系的极端位置，其动能 为零时，势能为极大值．因此有 Tm=Um -----------------（3）
只要振系的自由振动是简谐振动，则由方程(3)可 以直接得出振系的固有频率，不需要列出微分方 程．
(2) 动能
平动的刚体：
T 1 2 m 2
2．1简谐振动
设在某一瞬时 t ，物体位移为 x ，则弹簧作用于物 体的力为-kx，由牛顿运动定律有
kx m x
n x 0 x
2

2 n
k m
通解可写为
对上式求导：

x B n cos n t D n sin n t
x B sin n t D cosn t
其中B与D是任意常数，取决于运动的初始条件。
2．1简谐振动
设在t=0时，物体有初位移x=x0与初速度
x 0 x
得 即有 解又可写为
B
x

n
0 x
n
, D x0

2 0
0 x
sin n t x0 cos n t
x Asin(n t )
A x (

0 x
n
2．1简谐振动
简谐振动的振幅与初相角，随初始条件的不同而 改变；而振动频率和周期唯一决定于振系参数，与 初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为 固有频率与固有周期。
物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行的振 动，称为自由振动。
2．1简谐振动
由弹簧悬挂的物体沿铅垂方向的振动。当振 系成静平衡时，弹簧在物体重力 mg 的作用下将有 静伸长
上次内容回顾：机械振动 讲述的内容
第二章 自由振动 2.1 简谐振动 2.2 能量法
第二章 自由振动 引言 1、本章研究内容 2、自由振动的求解方法 a) 根据振系的受力分析，应用牛顿运动定律，列出 确定这种振动的微分方程，说明其求解方法，得 出位移与速度的表达式，以及频率与周期的表达 式。 b)能量守恒原理：对于理想的无阻尼振系，应用能 量守恒原理，列出微分方程，或者不通过微分方 程而直接到述频率与周期的公式。
K
J
扭摆的动能：
1 2 T J 2
扭摆的势能： U
1 2 2 k
d 1 2 1 ( J K 2 ) 0 dt 2 2

代入方程（2）有， 化简后

J K 0
令
可得


2
n

K J
n 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可知其为简谐振动，
T

2
n
2
J K
1 1 f T 2
K J
位移表达式： Asin(
t )
n
速度表达式：

A n cos( n t )
如果只求周期与频率，由Tm=Um
Tm
1 2 J n A2 2
,
Um
1 KA2 2
令二者相等，有

2 n
K J
作业：
弹簧不受力时，原长65厘米，下端挂上重1 公斤的物体后，弹簧长度增大到85厘米。设用手 把物体托住，使弹簧回到原来长度时，突然释放， 物体初速为零。试求物体的运动方程、振幅、周 期及弹簧力的最大值。
) , tg
2
1

n
x0
0 x
其中A称为振幅，即振动物体离开静平衡位置的 最大距离；φ 称为初相角。
由上式可的振动系统的参数： 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔
T

2
n
2
m k
振动频率：在单位时间内振动的次数
1 1 f T 2 k m
振动圆频率：
2 k n T 2f m
定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量为J, 角速度 为ω：
1 2 T J 2

1 1 2 平面运动的刚体， T m vc J c 2 2 2
式中vc表示物体质心的速度，Jc表示物体对于通过
质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量．
(3) 势能
弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程 中所做的功弹簧伸缩x时，U 0 转轴有扭转角θ时， U 1 k 2 刚体的势能为： U
2、具体分析 (1)能量法原理 在阻尼可以略去不计的条件下，振系在自由振动 时的动能与势能之和(即机械能)保持常值．令T与 U分别代表振系的动能与势能，有 T+U=常数 -----------------（1） 这就是应用于振系的能量守恒原理。对时间求导， 可得 d (T U ) 0 -----------------（2） dt 以具体振系的能量表达式代入上式，化简后即可 得出描述振系自由振动的微分方程．
Pl3 s 3EI
物体的运动微分方程为
3EI k 3 s l
P
固有频率为
3EI 3 y m y l
1 f 2
3EI m l3
2．1简谐振动
例.可绕水平轴转动的细长直杆，下端附有重锤(杆重不计)，组成单摆，亦称 数学摆。求摆的运动微分方程及固有周期。 解：摆的铅垂位置OS是静平衡位置。当摆偏离θ 角时，重力的切向分量Psinθ 力图使摆回到静平衡位置。重力起着弹簧的作用。
mgSsin J
圆频率和振动周期为
mgS 0 J
T 2
n
m gS n J

J 2 mgS
计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当 困难。本例提供了用实验确定J的一个方法。
2.2 能量法
1、 研究的内容 讨论单自由度线性系统的自由振动，即振系在受到初始激 扰后的振动．应用牛顿运动定律，列出确定这种振动规律 的微分方程，说明其求解方法，得出位移与速度的表达式 以及频率与周期的公式． 对理想的无阻尼振系，还应用了能量守恒原理，列出微分 方程，这种方式可以不通过微分方程而直接导出频率与周 期的公式。
2．1简谐振动
工程中一些简单的振动有时可以简化为弹簧 - 质量系统的 运动问题。 光滑水平面上的小物体，质量为m，由螺旋弹簧连至定点 D ，弹簧重量可以不计，在不受力时的长度为 l0 ，轴线成水平。 沿弹簧轴线取坐标轴 x ，以弹簧不受力时的右端位置 O 为原点， 向右为正，假定物体只限于沿坐标轴 x进行直线运动，则物体 在任一瞬时的位置都可以由坐标 x完全确定。这是1自由度系统。
物体的运动微分方程为
mglsin ml
2
g 0 l
单摆周期决定于杆长 l 与重力加速度 g ， 与摆锤重量和振幅无关。测定摆的振动周期， 就可算出当地的重力加速度。这一原理可以 用于重力探矿。
2．1简谐振动
例.可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（物理摆），设物体质量m，对轴O的 转动惯量为J，重心G至轴O的距离为S。求复摆微幅振动微分方程及振动周 期。 解：取偏角θ 为坐标，逆时针为正。复摆定轴转动微分方程