《利用三角函数测高》提升练

《利用三角函数测高》提升练
1.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A.20米
B.103米
C.153米
D.56米
2.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影点A’的俯角∠A’NB为45°，则电视塔AB的高度为____米.(结果保留根号)
3.在一个阳光明媚的周末，小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后，把两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20m，风筝B的引线(线段BC)长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
(1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高；
(2)求风筝A与风筝B的水平距离.(结果精确到0.01m，2≈1.4143≈1.732)
4.一批武警官兵奉命营救小山两侧A，B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及两地的距离.已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A，B，C，P在同一平面内，并测得A，B 两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处测得山顶P的仰角为45°，求A，B两地的距离及小山的高.(结果保留根号)
参考答案
1.A【解析】由题意知GE∥AB∥CD，BC=2GC，GE=15米，∴AB=2GE=30米，∴AF=BC=AB·tan∠BAC=30×tan30°=103(米).
在Rt△AFD中，DF=AF·tan30°=103×
3
3
=10(米)，∴CD=CF－DF=AB－DF=30
－10=20(米).故选A.
2.1002【解析】连接AN，易证△ABN≌△A’BN，∴A’N=AN，∠ANB=∠A’NB=45°.
∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=22.5°，∴AN=MN=200米，∴AB=AN·sin∠
ANB=200×sin45°=200×
2
2
=1002(米).
3.【解析】(1)如图，分别过点A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E.
在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴AD=20×sin60°=103≈17.32(m).在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴BE=24×sin45°=122≈16.97(m). ∵17.32＞16.97，∴风筝A离地面更高.
(2)在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴DC=20×cos60°=10(m).
在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴EC=BE≈16.97m，∴ED=EC－DC≈6.97m，
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m.
4.【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，求得AE与EC的值，进而求得AB的值与小山的高.
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，∴∠B=∠DCB=30°，∠BCA=∠DCA
－∠DCB=45°，∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×2
2米)，∴
AB=
AE
sin B
=
7002
1
2
=14002(米).
∴BE=AB·cosB=14002×
3
2
=7006(米),∴BC=BE＋EC=(7006＋7002)
(米)，∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，∴△ABP∽△CBA，
∴AB PH
BC AE
=，∴
14002
70067002
+
=
PH
7002
，∴PH=(7006－7002)米.
∴A，B两地的距离为14002米，小山的高为(7006－7002)米.。