高中数学 3练习章末质量检测1 北师大版必修4

练习
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．各选项中函数式能同时成立的是( )
A ．sin θ＝cos θ＝1
2
B ．sin θ＝0.35，cos θ＝0.65
C ．cos θ＝0，sin θ＝－1
D ．sin θ＝cos θ＝1
解析： 若sin θ＝cos θ＝12，则sin 2 θ＋cos 2
θ＝12
≠1，排除A ；同理，可排除B 、
D.
答案： C
2．sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为( )
A ．1 B.1
2
C.22
D.32
解析： sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°＝sin(75°－30°)＝sin 45°＝22
. 答案： C
3．计算1－2sin 2
22.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33
D.32
解析： 1－2sin 2
22.5°＝cos 45°＝22
. 答案： B 4．若sin α＝
k ＋1k －3，cos α＝k －1
k －3
，则k 的值为( ) A ．－7或1 B ．－7
C ．1
D ．－7或－1
解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫k －1k －32＝1，
∴(k ＋1)2＋(k －1)2＝(k －3)2，∴k 2
＋6k －7＝0， ∴k ＝－7或k ＝1，故选A. 答案： A
5．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－2
5
，则tan(β－2α)的值为( )
A ．－34
B ．－112
C ．－98 D.98
解析： tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝tan β－α－tan α1＋tan β－α·tan α＝25－121＋25×12
＝－1
12
. 答案： B
6．函数y ＝sin 2
x ＋cos 2x 是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的增函数 D ．周期为2π的减函数
解析： y ＝sin 2
x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋cos 2x ＝12＋cos 2x 2
，
故选A. 答案： A
7．已知sin α＋cos α＝62，0<α<π
4
，则α等于 ( )
A.π6
B.π12
C.π24
D.π8 解析： ∵sin α＋cos α＝
62，∴1＋sin 2α＝6
4
. ∴sin 2α＝12.∵0<α<π
4，
∴0<2α<π2.∴2α＝π6，α＝π
12
.∴故选B.
答案： B
8．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为( )
A ．1 B.3
3
C ．－ 3 D. 3
解析： tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－ta n 19°·tan 41°) ＝3－3tan 19°tan41°.
∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 答案： D
9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1
5，则cos 2θ的值为( )
A ．－725 B.725
C ．－2425 D.2425
解析： 将sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1
5
两边平方得，
1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1
25
，
即1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝1
25
，cos 2θ＝－2425.故选C.
答案： C
10．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，
则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.13 B.27 C.17
D.23
解析： 由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝2
5
，
解得sin α＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45，tan α＝－3
4
，
则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝
tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4
＝17. 答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若sin θ2－2cos θ
2＝0，则tan θ＝________.
解析： 由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ
2
＝2.
∴tan θ＝
2tan
θ
2
1－tan 2θ2
＝2×21－22＝－43. 答案： －4
3
12．已知tan α＝12，tan β＝13，且0<α<π2，π<β<3π
2
，则α＋β＝________.
解析： tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋
13
1－1
6
＝1，
∵0<α<π2，π<β<32π，∴π<α＋β<2π.∴α＋β＝5
4π.
答案： 5
4
π
13．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3
5
，则tan α·tan β＝________.
解析： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
5
，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3
5
.②
①＋②，得cos αcos β＝2
5；
②－①，得sin αcos β＝1
5.
∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
525
＝1
2
.
答案： 1
2
14．sin x ＋sin y ＝a ，cos x ＋cos y ＝a (a ≠0)，则sin x ＋cos x ＝________.
解析： sin y ＝a －sin x ，cos y ＝a －cos x ．两式平方相加，可得：2a (sin x ＋cos x )＝2a 2
.由a ≠0得sin x ＋cos x ＝a .
答案： a
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知tan α2＝12，求1＋sin 2α
1＋sin 2α＋cos 2α
的值．
解析： tan α2＝12，tan α＝2tan
α
21－tan 2α2＝11－
14
＝4
3，
1＋sin 2α1＋sin 2α＋cos 2α＝1＋2sin αcos α
1＋2sin αcos α＋2cos 2
α－1
＝cos 2α＋sin 2α＋2sin αcos α2sin αcos α＋2cos 2
α＝1＋tan 2
α＋2tan α2tan α＋2
＝tan α＋12
2tan α＋1＝tan α＋12＝73×2＝76
. 16．(12分)已知tan α＝－13，cos β＝5
5
，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．
解析： (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝25
5
，tan β＝2，
于是tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13＋21＋2
3
＝1.
(2)因为tan α＝－1
3，α∈(0，π)，
所以sin α＝110，cos α＝－3
10
，
f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋(cos x cos β－sin x sin β)
＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －25
5sin x ＝－5sin x .
故f (x )的最大值为 5.
17．(12分)(2011·四川卷)已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2
－2＝0.
解析： (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4.
∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝4
5
，
cos βcos α－sin βsin α＝－4
5
，
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤π2，∴β＝π
2.
∴[f (β)]2－2＝4sin 2π
4
－2＝0.
18．(14分)已知f (x )＝sin x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求f (x )的值． 解析： (1)f (x )＝sin x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x 2 ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，
由f (α)＝
22，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22.∴sn ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6.α＝－π12
.
(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 又sin x 2＝45，∴cos x 2＝3
5
.
∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝24
25
，
cos x ＝－1－sin 2
x ＝－725
.
∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝17
25.。