四川省泸州市泸县第四中学2024届数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析

四川省泸州市泸县第四中学2024届数学高一第二学期期末质量
检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．给出函数()21
2(x f x a
a -=+为常数，且0a >，1)a ≠，无论a 取何值，函数()
f x 恒过定点P ，则P 的坐标是( ) A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()1,3
D ．1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
2．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．
D ．
3．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为
A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系
B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =
C ． 2.09m =
D ．由表格数据可知，该回归直线必过点
()1.5,2.5
4．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b α
B ．b α⊂
C ．b α⊥
D ．b 与α相交
5．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则直线1l 与2l 的距离为（ ）
A ．
55
B ．
25
5
C ．
45
5
D ．5
6．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，2
2
π
π
ϕ-<<
）的部分图象如图所示，则ωϕ
，的值分别是（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A ．24里
B ．12里
C ．6里.
D ．3里
8．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A ．
56
B ．
45
C ．
34
D ．
23
9．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件：
991991001001
11001a a a a a -⋅-<-＞，＞，；给出下列论:①01q ＜＜；②9910110a a ⋅-＞；
③100T 值是T 中最大值；④使1n T ＞
成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
10．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．
4
5
B ．45
-
C ．45
±
D ．
35
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数()43x
f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，那么实数a 的值等于
____________.
12．已知3sin 45
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin2x 的值为________. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.
14．已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a 等于________.
15．三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，
P ABC -的体积为2V ，则
1
2
V V =____________
16．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且
3123n n S n T n -=+，则8
8
a b =______. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和(n *∈N )，且23a =，416S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项为n T ，证明：1
2
n T < 18．已知扇形的面积为6π，弧长为6
π
，设其圆心角为α （1）求α的弧度；
（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
的值.
19．已知AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上任一点．求证:平面ABC ⊥平面PAC .
20．已知向量(1,0),(2,1)a b ==.
（I ）当实数k 为何值时，向量ka b -与2a b +共线？ （II ）若向量23,
AB a b BC a mb =+=+，且A, B, C 三点共线，求实数m 的值.
21．某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表： 分组 [0,30) [30,60)
[60,90) [90,120) [120,150]
频数
5 7
13 10 5
⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；
⑵成绩在[120,150]的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
试题分析：因为21()x f x a -=恒过定点1(,1)2，所以函数21
()2x f x a -=+恒过定点1(,3)2.故选D.
考点：指数函数的性质. 2、B 【解题分析】
根据分层抽样的规律，计算和的关系为： ，将选项代入判断不符合的得到
答案. 【题目详解】
某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人, 样本中的中年人为6人，则老年人为：
青年人为：
代入选项计算，B 不符合 故答案为B 【题目点拨】
本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 3、C 【解题分析】
A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；
B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；
C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；
D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【题目详解】
已知线性回归直线方程为y =0.82x +1.27，
b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；
计算x ＝5时，y =0.82×
5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确； 14x =
⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24
m
+=， 代入回归直线方程得
8.24
m
+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【题目点拨】
本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题． 4、C 【解题分析】
根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果. 【题目详解】
A 中，若b α，由a α⊥，可得a b ⊥；故A 不满足题意；
B 中，若b α⊂，由a α⊥，可得a b ⊥；故B 不满足题意；
C 中，若b α⊥，由a α⊥，可得a b ∥；故C 正确；
D 中，若b 与α相交，由a α⊥，可得a b ，异面或平，故D 不满足题意. 故选C 【题目点拨】
本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型. 5、A 【解题分析】
利用直线平行的性质解得a ，再由两平行线间的距离求解即可 【题目详解】
∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴82a a -
=-，且12
2a a
-≠ 解得a ＝﹣1．
所以直线l 1：1x -2y +1＝0，直线l 2：1x -2y +3＝0，
故1l 与2l
5
=
故选A ．
【题目点拨】
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用． 6、A 【解题分析】 利用
115212122T πππ=-=，求出ω，再利用5212
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求出ϕ即可 【题目详解】
115212122T πππ=-=，∴2T w
ππ==，2ω∴=，则有 ()()22f x sin x ϕ+＝，代入512
x π
=得
552221212f sin ππϕ⎛⎫⎛⎫⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则有516sin πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 52,()62
k k z ππ
ϕπ+=+∈，
23
k π
ϕπ=-
+
，又2
2
π
π
ϕ-
<<
，
3
ϕπ
∴=-
故答案选A 【题目点拨】
本题考查三角函数的图像问题，依次求出ω和ϕ即可，属于简单题 7、C 【解题分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以
1
2
为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 【题目详解】
解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比1
2
q =
的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
==-，解得：1192a =，
65
1
19262a ∴=⨯
=，
故选C ． 【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 8、B 【解题分析】
算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率. 【题目详解】
设A 为“恰好抽到2幅不同种类”
某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，
现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数2
615n C ==， 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数211
32212m C C C ==，
则恰好抽到2幅不同种类的概率为()124155
m P A n ===． 故选B ． 【题目点拨】
计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法. 9、B 【解题分析】
利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②错误；利用等比数列的性质判断③错误；利用等比数列的性质判断④正确，，从而得出结论. 【题目详解】
解：由9910010,a a -⋅＞可得9910010,a a ⋅>＞又110a >＞，即n a ＞0，
由
991001
01
a a -<-，即99100(1)(1)0a a --<,结合11a ＞，所以9910a ->，10010a -<， 即991a >，10001a <<，即100
99
01a q a <=
<，即①正确； 又991012
100a a a ⋅=，所以9910110a a ⋅<<，即9910110a a ⋅-<，即②错误；
因为1299100...1...0n a a a a a >>>>>>>>，即99T 值是T 中最大值，即③错误；
由991001a a ⋅>，即219819899100()1a T a =⋅>，即1981T >，又2199
19910010a T =<<，
即19901T <<，即④正确， 综上可得正确的结论是①④， 故选：B. 【题目点拨】
本题考查了等比数列的性质及不等式的性质，重点考查了运算能力，属中档题. 10、B 【解题分析】 根据题意可得：tan 2α
，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角
三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．
【题目详解】
由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，
则22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15
ααααααααα-⨯=====-++-+
故答案选B 【题目点拨】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、2 【解题分析】
根据原函数与其反函数的图象关于直线y x =对称，可得函数()43x
f x a a =-+的图象
经过点()2,1-，由此列等式可得结果. 【题目详解】
因为函数()43x
f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，
所以函数()43x
f x a a =-+的图象经过点()2,1-，
所以2143a a -=-+，即2440a a -+=， 解得2a =. 故答案为：2
【题目点拨】
本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题. 12、
725
【解题分析】
利用二倍角的余弦函数公式求出cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用诱导公式化简，将
cos 22x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值代入计算即可求出值．
【题目详解】
解：∵3sin 45
x π⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，2187cos 212sin 1242525x x ππ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则sin2x ＝cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=7
25
， 故答案为
725
. 【题目点拨】
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 13、4 【解题分析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，寻找到规律周期性，确定输出结果． 【题目详解】
第1次循环：1S =-，2i =；第2次循环：23S =
，3i =；第3次循环：3
2
S =，4i =；第4次循环：4S =，5i =；…；S 关于i 以4为周期，最后跳出循环时
202114505i ==+⨯，此时4S =.
故答案为：4. 【题目点拨】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题关键是由程序确定变量变化的规律：周期性． 14、
1
3
【解题分析】
根据两直线互相垂直的性质可得()210a a +-=，从而可求出a 的值.
【题目详解】
直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈垂直，
()210a a ∴+-=. 解得13
a =
. 故答案为：13 【题目点拨】
本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：12120A A B B +=是关键，属于基础题.
15、14
【解题分析】 由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=
设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12
h ， 所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 考点：几何体的体积.
16、43
【解题分析】
取15n =，代入计算得到答案.
【题目详解】
3123n n S n T n -=+，当15n =时115111585
15815()451444215()3033332
a a S T
b b b a +-====+=+ 故答案为43
【题目点拨】
本题考查了前n 项和和通项的关系，取15n =是解题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）21n a n =-；（2）见解析
【解题分析】
（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）化简11n n n b a a +==11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项相消求数列的和，化简整理，即可证得．
【题目详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差是d ，由23a =，416S =，得113,4616,a d a d +=⎧⎨
+=⎩ 解得11a =，2d =，∴21n a n =-.
（2）由（1）知，21n a n =-，∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭
， 12111111111123352121221n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
因为n *∈N ，则12
n T <
成立. 【题目点拨】 本题考查等差数列的通项公式的求法，也考查了裂项相消求和求数列的和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18、（1）12π
α=（2
）2
【解题分析】
（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；
（2）先由诱导公式化简待求式为tan α，利用两角差的正切公式可求
tan tan()1234πππ
=-． 【题目详解】
（1）设扇形的半径为r ，则6ar π=，所以6r πα=. 由12S rl =可得12666
πππα⨯⨯=， 解得12π
α=.
（2）()cos sin sin sin 2tan 119sin cos cos sin 22παπααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. tan tan 34tan tan 212341tan tan 34ππ
πππππ-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+. 【题目点拨】
本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.
19、证明见解析
【解题分析】
先证直线BC ⊥平面PAC ，再证平面ABC ⊥平面PAC .
【题目详解】
证明: ∵AB 是圆的直径，C 是圆上任一点，∴90ACB ∠=，∴BC AC ⊥，
PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴BC PA ⊥，又PA AC A =，
∴BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，
∴平面ABC ⊥平面PAC .
【题目点拨】
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
20、（1）12
-（2）32 【解题分析】
（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【题目详解】
（1）k a b -=k （1，0）﹣（2，1）＝（k ﹣2，﹣1）．
a +2
b =（1，0）+2（2，1）＝（5，2）
． ∵k a b -与a +2b 共线
∴2（k ﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，
即2k ﹣4+5＝0，
得k 12
=-． （2）∵A 、B 、C 三点共线，
∴AB BC ．
∴存在实数λ，使得()
23a b a mb a mb λλλ+=+=+，
又a 与b 不共线， ∴23m λλ=⎧⎨=⎩
， 解得32
m =． 【题目点拨】
本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．
21、 (1) 300人；(2)
35 【解题分析】
（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；
（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率．
【题目详解】
⑴40名学生中成绩不低于90分的学生人数为15人；
所以估计该年级成绩不低于90分的学生人数为1580030040
⨯= ⑵分别记男生为1,2,3号，女生为4,5号，从中选出2名学生，有如下基本事件 （1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）
因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件A ），
即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5） ∴63()105
P A == 【题目点拨】
本题考查频率分布表以及古典概型的概率计算，，考查学生的运算能力，属于基础题．。