2019版高考数学总复习第八章解析几何44两条直线的位置关系与距离公式课时作业文2018062822

课时作业 44 两条直线的位置关系与距离公式
一、选择题
1．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝0
解析：由已知，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |
k 2＋－12
＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.
答案：C
2．(2018·广东揭阳一模)若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则
m 的值为( )
A ．7
B ．0或7
C ．0
D ．4
解析：∵直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行， ∴m (m －1)＝3m ×2，∴m ＝0或7， 经检验，都符合题意．故选B. 答案：B
3．(2018·沈阳一模)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2 0152π－2α的值为( )
A.45 B ．－45 C ．1 D ．－12
解析：由已知得tan α＝2，则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 0152π－2α＝－sin2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝
－2tan αtan 2
α＋1＝－4
5
，故选B. 答案：B
4．(2018·江西南昌模拟，4)直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1) D ．(2,3)
解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝7，
x ＋y ＝4
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝1.
则直线过定点(3,1)，故选C.
答案：C
5．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －4＝0 D ．x ＋y ＝0
解析：线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，∴直线l 的斜率k l ＝－1，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.
答案：C
6．(2018·厦门一模)“c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离d ＝|6＋4＋c |32＋42
＝3，解得c ＝5或c ＝－25，故“c ＝5”是“点(2,1)到直线 3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.
答案：B
7．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．
答案：A
8．(2018·宁夏银川二模，3)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )
A. 2
B.823
C. 3
D.83
3
解析：由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1， ∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3
＝0，
∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪6－2312
＋－1
2
＝82
3
， 故选B. 答案：B
9．(2018·上海一模)坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
5，－85
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，85
解析：直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝1
2
，设坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的
点的坐标是(x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
2
－2×y 0
2＋2＝0
y 0＝－2x 0
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－45
y 0
＝8
5
，
即所求点的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，85.选A.
答案：A
10．(2018·河南安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )
A ．(5，＋∞)
B ．(0,5]
C ．(34，＋∞) D．(0, 34]
解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为－1－2
2
＋[2－－3]2
＝34，
∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]． 故选D. 答案：D 二、填空题
11．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．
解析：因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4.
答案：－4
12．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1
与l 2的距离为________．
解析：∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，
即3x ＋4y ＋1
2
＝0，
∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732
＋4
2
＝3
2
.
答案：32
13．(2018·安徽池州月考)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2
y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于________．
解析：由题意知a ≠0.∵直线(b 2
＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2
y －1＝0互相垂直，
∴－b 2＋1a ·1b 2＝－1，
ab ＝b 2＋1b
(a >0)，ab ≥2
b
b
＝2，当且仅当b ＝1时取等号， ∴ab 的最小值等于2. 答案：2
14．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为__________________．
解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.
由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|
k 2＋1，
即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－1
3
.
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．
法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－1
3(x ＋1)，即x ＋3y －5
＝0.
当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∵P (－1,2)，∴斜率不存在． 即直线l 方程为x ＝－1. 答案：x ＝－1或x ＋3y －5＝0
[能力挑战]
15．(2018·江西南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线
段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－2,0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0,6] C ．[－2，－1]∪[3,6] D ．[－2,0)∪(0,6]
解析：由题意得，两点A (1,2)，B (2,11)分布在直线y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其
中一点在直线上)，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫m －6m
－2＋1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0， 解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C. 答案：C
16．(2018·广东广州一模)已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，
m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2
c
的最小值为( )
A.92
B.94 C ．1 D ．9
解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0. 又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴
4－1
2
＋0－m
2
＝3，解得m ＝0.
∴a ＋c ＝2. 又a >0，c >0，
∴12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52
＋2c 2a ·2a c ＝94
， 当且仅当c ＝2a ＝4
3时取等号．故选B.
答案：B
17．(2018·衡阳一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0
x 0
的取值范围是________．
解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|
10
，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，
k OM ＝y 0
x 0
，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当
点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)。