十二章能量法

P
Pl EA
P
P2l N2l
2EA 2EA
P
U


N 2 (x) 2EA(x)
dx
l
l l
二、扭转
m
m

UW 1 m 1mml m2l T2l
2
2 GIp 2GIp 2GIp
U T2(x) dx
l 2GIp(x)
三、弯曲
纯弯曲：UW
1 m
W

1 2
P

vC
由 UW ， 得 ：
vC

Pa 2b2 3EI l
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能， 并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
解： M ()PRsin
U M2() Rd 2 (PRsin)2 Rd P 2 R 3
l 2EI
vCE 1I X 2 al2 3 aX 2 a22 3 aq 1l2 3a 2
0 ql 3
X 8a(l a)
(2) ql2 / 8
CE 1IX 2 al2 3X2 a21q 1l232 1
0 X ql3
4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
6EI
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
解：
vC

1 EI
l2 8
m

ml 2

8E I
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载 荷q及集中力X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
解：(1)
ql2 / 8
2

1m 2
ml EI
m2l M 2l 2EI 2EI
横力弯曲：U M2(x) dx l 2EI(x)
四、组合变形
截面上存在几种内力，各个内力及相应的 各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各 个内力只对其相应的位移做功。
N 2(x)
T2(x)
M 2(x)
U
dx
dx
dx
B2
vC1
解 ： 由 功 的 互 等 定 理 P v C 1 m B 2
得：PvC1
Pl2 m
16EI
由此得：vC1
ml2
16EI
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移ΔC。
vC1
B2
解 ： 由 功 的 互 等 定 理 P v C 1 m B 2
得：P vC1
M (x)P x, M 0(x) 1
B l
M(x) M0(x) dx
EI
l 0
Px EI
d x Pl2 2EI


例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用 下切口的张开量 Δ AB 。EI=常数。
解：M()PR(1cos)
M0()R(1cos)

对 于 组 合 变 形 ：l
EI
N(x)N0(x) T(x)T0(x) M (x)M 0(x)

l
dx
EA
l G Ip
dx
l
EI
dx
注 意 ： 上 式 中 应 看 成 广 义 位 移 ， 把 单 位 力 看 成 与 广 义 位 移 对 应 的 广 义 力
例：试用莫尔定 A 理计算图(a)所示 悬臂梁自由端B 的挠度和转角。
A
A
P
B x
l
1
B x
1
B x
解 ： (1 )在 B 截 面 作 用 一 单 位 力 ,如 图 (b )所 示 M (x)P x, M 0(x) x
vB l
M(x) M0(x) EI dx
l 0
Px 2 EI
dx
Pl 3 3EI

(2)在 B 截 面 作 用 一 单 位 力 偶 ,如 图 (c)所 示
l
tg x M (x) dx
l
tgxC
MC0
CL12TU20
M (x) M 0(x)

dx
l
EI


M
0 C
EI
顶点 顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
解：
M (x) M 0(x)
vB
6EI
B

1 EI
ml 2
23
ml 逆时针
3EI
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
解：
ql2
vB

1 EI
l
ql2
3 2
3l 4
2
ql 4

8E I
ql2
B

1 EI
l ql2 3 2
1

2
ql3 顺时针
例：图示刚架，EI=const。求A截面的水 平位移 ΔAH 和转角θ A 。
解：AHq E aI44 12 31 38 53 8q E aI4
qa 2
qa q a 2 qa / 2
2
§12-5 互等定理
ij
载荷作用点 位移发生点
先 作 用 P 1 ， 后 作 用 P 2 ， 外 力 所 作 的 功 ：
l
2EI
dx
M 2 E 2(Ix)d x[M 2 0 E (x I)]2d x M (x)E M I0(x)d x
l
l
l
1M l M (x(x))EEM IM 0I(x)0dx(x)dx l
M(x)EM I 0(x)dx（莫莫尔尔定积理分） l

M(x) M0(x) dx
1
1
U2P 1112P 222P 112
先 作 用 P 2 ， 后 作 用 P 1 ， 外 力 所 作 的 功 ：
1
1
U 2P 2222P 1 11P 221
功的互等定理: P 1 12P 2 21
若 P 1P 2， 则 得
位移互等定理:
12 21
例：求图示简支梁C截面的挠度。
l
EI
dx


M
0 C
EI
1 Pl 2 2l


EI 2 3
Pl 3

3E I
B

1 EI

Pl2 2
1

Pl2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
解：
vmax
2 2l ql2 EI3 2 8
5l 32

m
P2l 2EI
2
由此得：C
vC1
ml2
8EI
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ 。
解 ： 由 位 移 互 等 定 理 知 ， ① 杆 的 伸 长 量 等 于 ② 杆 直 径 的 减 小 量

Pl3 3EI
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。
解：
U
l
M2 (x) 2EI
dx
aPlbx12 2EI
dx1
bPlax22 2EI
dx2
0
0
P2b2 a3 P2a2 b3


2EIl2 3 2EIl2 3

P 2a 2b2 6EI l
3P2R3 P2R3


W 214PGIpAV
4EI
由 UW ， 得 ：
3PR3 PR3
AV 2GIp
2EI
R
§12-3 单位载荷法
P1 P2 C

P1
P2 C
M(x)
U


M2 (x) 2EI
dx
l
P0 1 C
M 0 (x)
U0

l
[M0(x)]2 2EI
dx
R


§12-4 图形互乘法
在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形 式的积分：
M(x) M0(x)

l
EI
dx
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外， 故只需计算积分
M(x)M0(x)dx
l
M 直0杆(x的)Mx0(xt)g图必定是直线或折线。
M (x) M 0 (x) dx

32(2 )Rm
Ed4
例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内, 在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直 位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知 GIp、 EI为常量
解：(1) T ()P R (1cos), M ()P Rsin
T0()R(1cos), M0()Rsin
P1 P2 P0
C
M(x)M0(x)
[(M(x)M0(x)]2
U1
l
2EI
dx
P0作功：
U0
P 1、 P2作 功 ： U

共做功

W1

U0
U
1
P 0在 上 又 作 功 ： 1
P1
P2
P0 1
C

W1 U1
[(M (x)M 0(x)]2
U 0U1
解：
3 Pa2 2a
vC

EI

2

3
Pa3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θ AB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
解：
AB2E PaI38 11 322 12 1
2 Pa 3
3E I
AB 0
AVlT(G )T Ip 0()Rdl M ()E M I0()Rd
PR2(1cos)2RdPR2sin2Rd
0 GIp
0 EI
3 PR3 PR3


2GIp 2EI
R
(2) T ()P R (1cos), M ()P Rsin
第十二章 能量法 §12-1 概 述
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能， 简称变形能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功，即
U=W
§12-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩
UW
1 2
P

l

1 2
M 0()sin
G
2(1 )
B 0T (G )T Ip 0()R d 0M ()E M I0()R d
0mG coIsp 2Rd0msE inI2Rd
mR mR


GIp 2 EI 2
R


Rm 1
2 GIp

1

EI
l2EA (x) l2G Ip(x) l2EI(x)
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
解： M (x)Px
U M2 (x) dx l ( Px) 2 dx P 2 l 3
l 2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 PvB
由 UW ， 得v B
T0() cos
, M0()sin
AxlT(G )T Ip 0()R d l M ()E M I0()R d
R


(3) T ()P R (1cos), M ()P Rsin
T0() sin
, M0()cos
AylT(G )T Ip 0()R d l M ()E M I0()R d
例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转 角及E截面的挠度。
解：
A

Pa 2 EI

1 2

5 6
1 2

16

Pa 2 2E I
2

21
Pa2 EI
vE

Pa 3 EI

1 2

1 3
Hale Waihona Puke 2 Pa 2E
3
I

3 2

1
13Pa 3 12E I
AB2
0
M()M0()Rd2
EI
0
PR2(1cos)2Rd
EI
3 PR 3

EI
d
例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由 端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其 直径为d。试求B端的扭转角。已知E、μ 。
解： T()mcos, M ()msin
E
T0()cos,
5ql4 384E I
ql2 / 8 l/4
max
1 2lql2 EI3 8
1 2
ql3
24E I
ql2 / 8
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
解：
vmaxE2I212l P 4l6l
Pl 3

48E I
Pl /4 l/4
0 2EI
8EI
1 W 2 PBV 由 UW ， 得 ：
PR3
BV 4EI
R
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端 的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的 垂直位移。已知GIp、EI为常量。
解：T ()P R (1cos), M ()P Rsin
Ul T 2G 2(Ip)Rdl M 2E 2(I)Rd
max E1I21lP 4l 21
Pl2 16E I
Pl /4
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠 度和A、B截面的转角。
解：
vC

1 EI
l2 8
m 2
ml 2

16E I
l/4
A

1 EI
ml 2
13
ml
顺时针