人教A版数学必修一第一学期高一新课标示范性单元评估数学试卷(一)必修①第一章集合与函数概念新人教A.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2007-2008学年第一学期
安徽省高一新课标示范性单元评估数学试卷（一）
——必修① 第一章 集合与函数概念
一、选择题（4分×12=48分）
1．设全集∪=｛3，9，a 2
＋2a －1｝，P=｛3，a ＋7｝,C u P=｛7｝，则 a 的值为（ ）
A ．2
B ．－4
C ．2或－4
D ．－2或4 选 A
【解析】7∈∪且7∉P
∴a 2
＋2a －1=7 ∴a=2或－4 经检验,应取a=2 选A
（当a=－4时, a ＋7=3与集合中元素的互异性矛盾）
2．设U 为全集，M 、N U ，若M ∩N=N ，则（ ）
A ．C U M ⊇C U N
B ．M ⊆
C U N C ．C U M ⊆C U N
D ．M ⊇C U N 选C
【解析】M ∩N=N 有下列两种情况:
观图可知：应选（C ）
3．下列所示的四幅图中,可表示为y=f （x ）的图像的只可能是（ ）
M N
U
M （N ）
选D
【解析】考察函数的唯一性.
4．下列集合M 到P 的对应f 是映射的是（ ）
A ．M =｛－2, 0, 2｝, P=｛－4, 0, 4 ｝,f ：求M 中元素的平方
B ．M=｛0, 1｝, P=｛－1, 0, 1｝, f ：求 M 中元素的平方根.
C ．M=R, P=｛x|x ＞0｝, f ：求M 中元素的绝对值.
D ．M=｛圆｝, P=｛三角形｝, f ：求M 中元素的内接三角形. 选A
【解析】考察映射的基本概念.
5．函数y=f （x ）的定义域为[－1,2]. 则函数g （x ）=f （－x ）+f （x ）的定义域为（ ） A 、[－2,2] B ．[－1,1] C ．[－2,－1] D ．[1, 2] 选B 【解析】{
x x 1212---≤≤≤≤⇒{
x x 21
12
--≤≤≤≤⇒－1≤x ≤1.故选B.
6．函数y=
x x 12
+-的值域为（ ）
A ．｛y|y ≠1｝
B ．｛y|y ＞1｝
C ．｛y|y ＞2｝
D ．｛y|－1＜y ＜2} 选A 【解析】 y=
x x 12
+-=
x x 232
-+-=1＋
x 3
2
- 由x －2≠0 ⇒
x 3
2
-≠0 ⇒y ≠1
7．已知：f （x －1）=x 2
,则f （x+1）=（ ）
A ．（x －1）2
B ．（x+1）2
C ．（x+2）2
D ．x 2
+2 选C
【解析】令x －1=t,则x=t ＋1于是f （t ）=（t ＋1）2
=t 2＋2t ＋1
即f （x ）=x 2
＋2x ＋1
∴f （x ＋1）=（x ＋1）2
＋2（x ＋1）＋1=（x ＋2）2
注：换元法
8．设f （x ）满足f （－x ）+2f （x ）=x+3,则f （1）的 值为（ ）
A ． 2
B ． 4
C ．32
D ．3
4
选A
【解析】f （－x ）＋2f （x ）=x ＋3 ①
A B C D
4
1－ a 将① 中x 替换为－x 得：
f （x ）＋2f （－x ）=－x ＋3 ②
①×2－②消去f （－x ）得：
3f （x ）=3x ＋3 即f （x ）=x ＋1 ∴f （1）=2 注：变量替换法.
9．已知函数f （x ）=x 2
＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞,4）上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞－3
B ．a ＜－3
C ．a ≥－3
D ．a ≤－3 选D
【解析】如图，对称轴为x=()2a 12
--
=1－a
观图分析知：当4≤1－a 即a ≤－3时.满足题意故选（D ）
10．奇函数f （x ）在x ＞0时 f （x ）=x （1－3x ）, 求
x ＜0时，f （x ）=（ ）
A ．f （x ）=－x （1＋3
x ） B ．f （x ）=x （1＋3
x ） C ．f （x ）=x （1－3x ） D ．f （x ）=－x （1－3x ） 选B
【解析】设x ＜0则－x ＞0.于是-f(x)f （－x ）=（－x ）[1－()3x -]= -x （1＋3x ）f
（x ）=x （1+3x ）故选B
11．如果奇函数f （x ）在区间[1, 2]上是增函数,且最小值为1,
那么f （x ）在区间[－2, －1]上是（ ）
A ．增函数且最小值为－1
B ． 增函数且最大值为－1
C ．减函数且最小值为－1
D ．减函数且最大值为－1 选B
【解析】如图，选B
12．对于定义在实数集R 上的函数f （x ）. 如果存在实数x 0使f （x 0）= x 0，则称x 0叫做函数f （x ）的一个“不动点”.若函数f （x ）= x 2
＋ax ＋1不存在“不动点”，则a 的取值范围是（ ）
A ．（－2, 2）
B ．（－∞，－2）∪（2, ＋∞）
C ．（－1, 3）
D ．（－3, 1） 选C
【解析】设x 0使f （x 0）= x 02
＋a x 0＋1= x 0 即x 02
＋（a －1）x 0＋1=0
不存在“不动点”⇔方程无实根 ∴ △=（a －1）2
－4＜0 ∴ －1＜a ＜3
二．填空（4分×4=16分） 13．狄利克莱函数D （x ）=
{
x x 1,0,为数
为无数
有理理，则D []x D()= .
第9题图
第11题图
【答案】1
【解析】（1）若x 为无理数.则D （x ）=0⇒D[D （x ）]=D （0）=1
（2）若x 为有理数.则D （x ）=1⇒D[D （x ）]=D （1）=1
14．已知函数f （x ）中，对任意实数a 、b 都满足：f （a+b ）=f （a ）+f （b ），且f （2）=3.
则f （3）= . 【答案】
2
9 【解析】f （2）=f （1）＋f （1）=2f （1）=3⇒f （1）=
32⇒f （3）=3f （1）=3×32=92
. 15．函数f （x ）=x 5+ax 3+bx+1. 若f （－2008）=1，则f （2008）= .
【答案】1
【解析】由题：f （－2008）=（－2008）5+a ·（－2008）3+b ·（－2008）+1=1 ①
设：f （2008）=20085＋a ·20083＋b ·2008+1=x ② ①+② 得：2=1+x ∴x=1
16．老师给出一个函数y=f （x ）.四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x ∈R,都有f （1+x ）=f （1－x ）； 乙：在（－∞, 0）上函数递减； 丙：在（0,+∞）上函数递增； 丁：f （0）不是函数的最小值. 如果其中恰有三个学生说得正确,请写出一个这样的函数： . 【解析】f （x ）=x 2
－2x+1等.（开放型，答案不唯一） 三、解答题（共36分） 17．（本题满分8分）
对于集合A ，B ，定义A ×B={（a ，b ）|a ∈A ，b ∈B}. ①若A={1,2},B={3,4},求A ×B ；
②若A ×B ＝｛（１，２），（２，２）｝，求A ，B ； ③若A 中有m 个元素,B 中有n 个元素,则A ×B 中有几个元素?
【解析】①A ×B ＝{（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）}…………………………2分
②A={1,2},B={2}…………………………………………5分 ③mn 个……………………………………………………8分
18．（本题满分8分）
设f （x ）是偶函数, g （x ）是奇函数,定义域都是{x|x ≠±1},且f （x ）+g （x ）=1x 1
-,
求
f （x ）,
g （x ）． 【解析】由f （x ）+g （x ）=x 1
1
-……………① 得
f （－x ）+
g （－x ）=
x 11
--………………………………………3分
又有奇偶函数的定义可知f （x ）－g （x ）=x 1
1
--………②………………6分
①②联立解得:f （x ）=
2
x 1
1
-;g （x ）=
2
x x 1
-.…………………………8分
19．（本题满分10分）
设定义在[2,2]-上的奇函数f （x ）在[0,2]上是减函数，若f （1-m ）< f （m ） 求m 的取值范围.
【解析】∵f （x ）是定义在[2,2]-上的奇函数，且f （x ）在[0,2]上是减函数
∴f （x ）在[2,0]-也是减函数，∴f(x)在[2,2]-上单调递减………2分 （1）若f （x ）在[0,2]上，不等式f （1-m ）<f （m ）可化为
2m 221m 21m>m
----⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤ 解得：-1≤m ＜1
2……………………………5分
故满足条件的m 的值为-1≤m ＜
1
2
…………………10分 20．探究题（本题满分10分）
探究函数f （x ）=x ＋x
4
,x ∈（0，+∞）的最小值,并确定取得最小值时x 的值.列表如
下：
x … 0.5 1 1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 … 请观察表中y 值随x 值变化的特点,完成以下的问题.
函数f （x ）=x ＋x
4
（x ＞0）在区间（0,2）上递减；
（1）函数f （x ）=x ＋
x
4
（x ＞0）在区间 上递增.
当x= 时,y 最小= .
（2）证明：函数f （x ）=x ＋x
4
（x ＞0）在区间（0,2）上递减.
（3）思考：函数f （x ）=x ＋
x
4
（x ＜0）有最值吗？如果有,那么它是最大值还是最小值？
此时x 为何值？（直接回答结果,不需证明）
【解析】（1）（2,＋∞）；2；4……………………………………2分 （2）任取x 1,x 2∈（0, 2）且 x 1＜x 2于是,f （x 1）－f （x 2）
=（x 1＋
1
x 4
）－（x 2＋
2
x 4
）
=()()2212
11x x x x x x 4-- （1）
∵ x 1, x 2∈（0, 2） 且 x 1＜x 2 ∴ x 1－x 2 ＜0；x 1x 2－4＜0； x 1x 2＞0
∴（1）式＞0 即f （x 1）－f （x 2）＞0，f （x 1）＞f （x 2）
∴f （x ）在区间（0, 2）递减.……………………………………………7分 （3）当x=－2时,有最大值－4提示：f （x ）在（－∞，0）∪（0, ∞）
为奇函数.图象关于原点对称.…………………………………………10分。