2018-2019学年高中数学 阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版选修4-5(1)

阶段质量检测（一）
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a >b >c ，则一定成立的不等式是( ) A ．a |c |>b |c | B ．ab >ac C ．a －|c |>b －|c |
D. 1a <1b <1
c
解析：选C 当c ＝0时，A 不成立； 当a <0时，B 不成立；
当a ＝1，c ＝－1时，D 不成立． ∵a >b ，∴C 成立．
2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <
a ＋b
2
D ．v ＝a ＋b
2
解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为S a
，从乙地到甲地所需时间为S b
，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝
2S
S a ＋S b
＝
2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab
2b ＝
a ，即a <v <a
b .
3．若a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( ) A ．ab ＞bc B ．ac ＞bc C ．ab ＞ac
D ．a |b |＞c |b |
解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c . ∴a ＞0，又b >c .∴ab >ac .
4．若1a <1
b
<0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2
<b 2
B ．ab <b 2
C.b a ＋a b
>2
D ．|a |－|b |＝|a －b |
解析：选D 法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D ，知D 不正确． 法二：由1a <1
b
<0，得b <a <0，
所以b 2>ab ，ab >a 2
，故A 、B 正确．
又由b a >1，a b >0，且b a ≠a b ，得b a ＋a b
>2，故C 正确． 对于D ，由b <a <0⇔|a |<|b |.
即|a |－|b |<0，而|a －b |≥0，故D 错误． 5．函数y ＝log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1
x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4
D ．－4
解析：选B x >1⇒x －1>0，y ＝log 2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3，当且仅当x －1＝
1
x －1
，即x ＝2时取等号． 6．若6<a <10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )
A ．(9,30)
B ．[0,18]
C ．[0,30]
D ．(15,30)
解析：选A 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a
2
≤a ＋b ≤3a .
又因为6<a <10，所以3a
2>9,3a <30.
所以9<3a
2
≤a ＋b ≤3a <30.即9<c <30.
7．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ，
由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＝2，
a ＋
b ＝4，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝1.
8．设xy <0，x ，y ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．|x ＋y |>|x －y | B ．|x －y |<|x |＋|y | C ．|x ＋y |<|x －y |
D ．| x －y |<||x |－|y ||
解析：选C ∵xy <0，∴x ，y 异号．不妨取x ＝1，y ＝－1验证即可． 9．不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞)
D ．(0,1)
解析：选D 在|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当ab >0或至少有一者为零时取等号，
∴当 |a ＋b |<|a |＋|b |时，ab <0，
∴x ·log 3x <0，∵x >0，∴log 3x <0，故0<x <1.
10．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4
D ．－4或8 解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋a ＋1，x >－1，
x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，
－3x －a －1，x <－a
2
，
如图1可知，当x ＝－a
2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a
2－1
＝3，可得a ＝8；
当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋a ＋1，x >－a
2
，
－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2
，
－3x －a －1，x <－1，
如图2可知，当x ＝－a
2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2＝－a
2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答
案为
D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝3x ＋12
x
2(x >0)的最小值为________．
解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12
x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，
当且仅当3x 2＝12
x 2，即x ＝2时取等号．
答案：9
12．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．
解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6. |2x －1|＋x ＋3≤5⇔|2x －1|≤2－x ⇔x －2≤2x －1≤2－x
⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －1≥x －2，2x －1≤2－x
解得－1≤x ≤1. 答案：6 [－1,1]
13．定义运算x ·y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ≤y ，y ，x ＞y ，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________．
解析：依题意，有|m －1|≤m ，所以－m ≤m －1≤m ，所以m ≥1
2
.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 14．已知x 2
＋2y 2
＝1，则x 2y 4
－1的最大值是________． 解析：∵x 2
＋2y 2
＝1，∴x 2
＋y 2
＋y 2
＝1. 又∵x 2
·y 4
－1＝x 2
·y 2
·y 2
－1，
x 2
·y 2
·y 2
≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋y 2＋y 2
33＝127， ∴x 2y 4
－1≤127－1＝－2627.
即x 2y 4
－1≤－2627.
∴x 2y 4
－1的最大值是－2627.
答案：－26
27
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)解不等式：|2x －1－x |<2.
解：原不等式⇔⎩⎨
⎧
2x －1－x <2，
2x －1－x >－2.
因为2x －1－x <2⇔2x －1<x ＋2 ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －
x ＋2
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12，
x 2＋2x ＋5>0
⇔x ≥1
2
.
又2x －1－x >－2⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1≥0，x －2≥0，
2x －
x －2
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －1≥0，
x －2<0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥2，
x 2
－6x ＋5<0
或1
2
≤x <2， ⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥2，1<x <5
或12≤x <2⇔2≤x <5或12≤x <2⇔1
2
≤x <5. 所以原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥1
2
，1
2≤x <5
⇔1
2
≤x <5. 因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
≤x <5
. 16．(本小题满分12分)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2
)(1＋x 2
＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2
≥33xy 2>0， 1＋x 2
＋y ≥33x 2y >0，
故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2
＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .
17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.
故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.
此不等式可化为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥a ，
x －a ＋3x ≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <a ，
a －x ＋3x ≤0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥a ，x ≤a 4
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x <a ，x ≤－a 2.
结合a >0，解得x ≤－a
2
，
即不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x |x ≤－a 2.
∵不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}， ∴－a
2
＝－1，故a ＝2.
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R)． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )>6的解集；
(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，f (x )>6， 即|x ＋3|－|5－x |>6，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥5，x ＋3－x －5，
解得x ≥5；
或⎩⎪⎨
⎪⎧ －3<x <5，x ＋3＋x －，解得4<x <5；
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤－3，－x －3＋x －
，
解集是∅.
故不等式f (x )>6的解集为{x |x >4}．
(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|， 由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5， 故m 的取值范围为[－15,5]．。