非线性物理5-1(孤立波)
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对于不可压缩介质，粒子数密度 n 应用粒子速度 v 来替代，即有 n n v v v 0 v 0 t x t x 在重力作用下水波的色散关系：(g-重力加速度，h 水深) 1 w (k) = g k tank (k h) 级数展开近似式 h 2 gh , gh 利用
他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停 止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度 向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河 一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
2. 波动中的色散
色散关系
设一波动方程：
2u 2 2u 2 v m u0 0 2 2 t x
将解代入：
得关系
2 2 w 2 v0 k m2 0
得色散关系
2 2 w (k ) = v0 k m2
2 w v0 k vg 2 2 k v0 k m2
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 KdV方程 半 个 多 世 纪 后 ， 1895 年 ， 两 位 荷 兰 科 学 家 科 特 维 格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是 波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立 了KdV方程：
u u 3 u u 3 0 t x x
第五章
孤立波
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个 大鼓包，沿着运河一直向前推进。
第五章
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程
孤立波
第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
光学孤立子
第一节
历史回顾
1. 一个奇特的水波 2. 孤立波与孤立子
1. 一个奇特的水波
罗素的发现 1834年，苏格兰海军工程师罗素 (J. Scott Russell)在一次偶 然xp[ i (kx wt )]
由色散关系可求得波的群速
线性波动方程与色散关系间存在着对应关系。
iw , ik t x
于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。根据对应关系， 可以由色散关系直接构造出波动方程来。
3. KdV 方程
KdV方程的推导
定义 ①向单方向传播的行波； ②分布在空间的一个小区域中； ③波动形状不随时间演变而发生变化； ④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 孤立子 具有一切粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电 荷、自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守 恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里。
设方程的解为 u u( x v0t ) u( ) 方程变为 整理后
u u 3u ( v) 3 0 t x x
u u u 2u u v0 2 0
v0
u 3u (u ) 3 0
u ( x, t ) 3v sech
2
v 2
( x vt)
sech(x)为双曲正割函数, 具有钟形形状。
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 FPU问题 又过了半个多世纪，1955年 ，美国阿尔莫斯国家实验室， 著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆(Ulam) 设计了一个数值计算实验：“非线性弹簧联结的64个质点组成 弦的振动”，发现初始对少数质点激发，长时间后能量几乎全 部回到了初始集中在少数质点上的状态。 1965年，两位美国数学家，采布斯基 (Zabusky) 与克鲁思卡 尔(Kruskal)，用计算机计算发现， FPU 问题与 KdV 方程的解 直接有关。此后，人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方 程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。 KdV方程成为 数学物理的一个基本方程
1.波动的会聚效应
浪花的形成
数学表述 设介质中x 处的粒子密度 n(x,t)， 由粒子守恒 n dn
dt
0
n dx dx/dt = v n n 0 v 0 t x dt t x
如果速度v = v0是常数，方程具有行波解：n = (x - v0 t) 介质的移动速度 v0 即波速。在初始时刻介质中出现的扰动 n(x,0)= F(x) ，波 动将在传播中保持不变。波动将以速度 v0无畸变地沿 x 方向前进。 如果波动的速度 v 与介质的密度 n 有关，设： n(x,t)=F [x - v(n) t] dv 0 出现波包前沿变陡，形成波包会聚。 当 dn
S -G 方程解
的解取形式 u u( x vt ) u( ) 2u 2 2u 2 v0 2 m sin u 0 2 t x m2 2 则得常微分方程 2 2 0 v v0 2u 2 sin u 0 2 C / 2m2 为椭圆函数的模数 方程
1. 一个奇特的水波
罗素的发现 水槽中的实验 罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中， 反复的观察重锤激起的水浪的运动。
实验发现水波移动速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的关系为
v 2 B(d A)
B 为比例常数
实验结果表明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅越高速度 越快，且波幅的宽度对高度之比也越小。
2.波动中的色散
平面波的相速 一个频率 w 为沿 x 方向传播的平面波为：
u( x, t ) A exp[ i (kx wt )]
等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度—相速 等相位面 =k x- w t= const
d = dx dt = kdx wdt = 0 x t
dx w v dt d 0 k
2.波动中的色散
色散波
一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3… 的合成：
w v k
w vg k
如果所有谐波都以同一的速度行进，w1/k1w2/k2=...=常数，是非色散波； 如果每个谐波都有不同的行进速度， w/k≠常数，是色散波。 色散波将在传播中因弥散而消失。
k = y
H ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 ) V ( yk ) yk
1. 一维原子链与sine-Gordon方程
S -G 方程
通过
yk y ( x , k ) y ( y y ) k k -1 x 将分离变量运动方程 H k = y ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 ) V ( yk ) yk 过渡到连续变量
u( ) 3 sech 4 ( 0 )
2
其解是罗素观察到的水面上奇特水波
第三节
正弦—高登方程
1. 一维原子链与正弦—高登 (sine-Gordon)方程 2. 正弦－高登方程孤立波解
1. 一维原子链与sine-Gordon方程
S -G 方程
iw , ik t x
wk k k
3
6
v v 3v 3 t x x
考虑导致波形坍塌的非线性效应 得KdV方程 v
v 3v ( v) 3 0 t x x
3. KdV 方程
KdV方程的孤立波解
u( x ) 0
(iii)、(iv) 两种是在 x 时, u(x)趋近于不同的数 值
第二节
KdV 方程
1. 波动中的非线性会聚效应 2. 波动中的色散 3. KdV方程 4. KdV方程的孤立波解
1. 波动的会聚效应
浪花的形成
远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了 浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低部分受到 阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处前 进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌， 卷起了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应， 形成浪花。
称 正、反 扭折解
2. sine-Gordon方程孤立波解
S -G方程解
解的性质： (1) 扭折解
u 41 tg(e )
当 时， u ; 当 时，u (2) 反扭折解 1
利用特殊函数积分公式可得
两种特殊情况 (1) 0 ，snx~sinx
(2) 1 ，snx~thx
u m sin sn 2 2 2 v v0
sin u sin( ) 2
sin
u th( ) 2
2. sine-Gordon方程孤立波解
一维原子链模型： 一串周期地束缚在非线性 弹簧上的原子。 原子链的哈密顿为：
H= 1 1 2 y [ ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 )] V( yk ) k 2m k 2 k k
(V(y)为外场势能)
2 设势函数 ( ) ，第 k个原子的运动方程为：
y y 2 V' ( y ) 2 t x
2 2
2y 2y 2 sin y 0 2 t x
一般情况 S -G 方程
2u 2 2u 2 v m sin u 0 0 2 2 t x
V=cosy 时
2. sine-Gordon方程孤立波解
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史
孤立波方程 人们在理论上和实验上对孤立波巳作了大量的研究。此后 发现，除KdV方程外还有其它微分方程具有孤立波解。 在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波 特性。 (1)KdV方程 (2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程 (3)户田(M.Toda)非线性晶格方程 (4)非线性薛定谔方程(NLSE)
S -G方程解
由双曲函数公式
经推导得
u e e sin th( ) 2 e e
e
u u (1 sin ) 1 tg u 最后得解 1 2 4 tg( ) u 4 tg (e ) u u 4 4 (1 sin ) 1 - tg 2 4
2.孤立波与孤立子
孤立波
在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherent structure，或称拟 序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有 序结构。 从运动形态上讲相干结构与混沌运动既是相互对立的，又是具有内在联系 的两种非线性现象。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态，相干结构反映了 非线性系统中的惊人有序性。 在尺度上：大到天文范围(木星 上巨型红斑达 4×108 米，约地球 与月亮之间的距离；泰国安达曼 海面出现的孤立波约150公里宽； 水面上孤立水波的尺寸在 1 米量 级 ) ，小到纳米 ( 二硫化钽晶体中 的电菏密度孤立波)。
孤立波在哪里？ 孤立波除存在于浅水层外，还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体 、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波， 既可以速度 v 在空间传播，又可以处于静止状态。
2.孤立波与孤立子
孤立波类型
( i ) 波包型 (ii) 凹陷型 (iii) 扭折型 (iv)反扭折型 ( i )、(ii) 两种在 x 时，
木星红斑
2.孤立波与孤立子
孤立子 计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明：
(1)孤立波非常的稳定；(2)象一个物质粒子。
人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子- soliton”，简称“孤 子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上 稳定的准粒子。
2.孤立波与孤立子
孤立子
他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停 止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度 向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河 一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
2. 波动中的色散
色散关系
设一波动方程：
2u 2 2u 2 v m u0 0 2 2 t x
将解代入：
得关系
2 2 w 2 v0 k m2 0
得色散关系
2 2 w (k ) = v0 k m2
2 w v0 k vg 2 2 k v0 k m2
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 KdV方程 半 个 多 世 纪 后 ， 1895 年 ， 两 位 荷 兰 科 学 家 科 特 维 格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是 波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立 了KdV方程：
u u 3 u u 3 0 t x x
第五章
孤立波
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个 大鼓包，沿着运河一直向前推进。
第五章
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程
孤立波
第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
光学孤立子
第一节
历史回顾
1. 一个奇特的水波 2. 孤立波与孤立子
1. 一个奇特的水波
罗素的发现 1834年，苏格兰海军工程师罗素 (J. Scott Russell)在一次偶 然xp[ i (kx wt )]
由色散关系可求得波的群速
线性波动方程与色散关系间存在着对应关系。
iw , ik t x
于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。根据对应关系， 可以由色散关系直接构造出波动方程来。
3. KdV 方程
KdV方程的推导
定义 ①向单方向传播的行波； ②分布在空间的一个小区域中； ③波动形状不随时间演变而发生变化； ④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 孤立子 具有一切粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电 荷、自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守 恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里。
设方程的解为 u u( x v0t ) u( ) 方程变为 整理后
u u 3u ( v) 3 0 t x x
u u u 2u u v0 2 0
v0
u 3u (u ) 3 0
u ( x, t ) 3v sech
2
v 2
( x vt)
sech(x)为双曲正割函数, 具有钟形形状。
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 FPU问题 又过了半个多世纪，1955年 ，美国阿尔莫斯国家实验室， 著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆(Ulam) 设计了一个数值计算实验：“非线性弹簧联结的64个质点组成 弦的振动”，发现初始对少数质点激发，长时间后能量几乎全 部回到了初始集中在少数质点上的状态。 1965年，两位美国数学家，采布斯基 (Zabusky) 与克鲁思卡 尔(Kruskal)，用计算机计算发现， FPU 问题与 KdV 方程的解 直接有关。此后，人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方 程，说明孤立波是一种普遍存在的物理现象。 KdV方程成为 数学物理的一个基本方程
1.波动的会聚效应
浪花的形成
数学表述 设介质中x 处的粒子密度 n(x,t)， 由粒子守恒 n dn
dt
0
n dx dx/dt = v n n 0 v 0 t x dt t x
如果速度v = v0是常数，方程具有行波解：n = (x - v0 t) 介质的移动速度 v0 即波速。在初始时刻介质中出现的扰动 n(x,0)= F(x) ，波 动将在传播中保持不变。波动将以速度 v0无畸变地沿 x 方向前进。 如果波动的速度 v 与介质的密度 n 有关，设： n(x,t)=F [x - v(n) t] dv 0 出现波包前沿变陡，形成波包会聚。 当 dn
S -G 方程解
的解取形式 u u( x vt ) u( ) 2u 2 2u 2 v0 2 m sin u 0 2 t x m2 2 则得常微分方程 2 2 0 v v0 2u 2 sin u 0 2 C / 2m2 为椭圆函数的模数 方程
1. 一个奇特的水波
罗素的发现 水槽中的实验 罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中， 反复的观察重锤激起的水浪的运动。
实验发现水波移动速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的关系为
v 2 B(d A)
B 为比例常数
实验结果表明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅越高速度 越快，且波幅的宽度对高度之比也越小。
2.波动中的色散
平面波的相速 一个频率 w 为沿 x 方向传播的平面波为：
u( x, t ) A exp[ i (kx wt )]
等相位面运动速度代表一列平面波的传播速度—相速 等相位面 =k x- w t= const
d = dx dt = kdx wdt = 0 x t
dx w v dt d 0 k
2.波动中的色散
色散波
一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3… 的合成：
w v k
w vg k
如果所有谐波都以同一的速度行进，w1/k1w2/k2=...=常数，是非色散波； 如果每个谐波都有不同的行进速度， w/k≠常数，是色散波。 色散波将在传播中因弥散而消失。
k = y
H ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 ) V ( yk ) yk
1. 一维原子链与sine-Gordon方程
S -G 方程
通过
yk y ( x , k ) y ( y y ) k k -1 x 将分离变量运动方程 H k = y ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 ) V ( yk ) yk 过渡到连续变量
u( ) 3 sech 4 ( 0 )
2
其解是罗素观察到的水面上奇特水波
第三节
正弦—高登方程
1. 一维原子链与正弦—高登 (sine-Gordon)方程 2. 正弦－高登方程孤立波解
1. 一维原子链与sine-Gordon方程
S -G 方程
iw , ik t x
wk k k
3
6
v v 3v 3 t x x
考虑导致波形坍塌的非线性效应 得KdV方程 v
v 3v ( v) 3 0 t x x
3. KdV 方程
KdV方程的孤立波解
u( x ) 0
(iii)、(iv) 两种是在 x 时, u(x)趋近于不同的数 值
第二节
KdV 方程
1. 波动中的非线性会聚效应 2. 波动中的色散 3. KdV方程 4. KdV方程的孤立波解
1. 波动的会聚效应
浪花的形成
远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了 浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低部分受到 阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处前 进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌， 卷起了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应， 形成浪花。
称 正、反 扭折解
2. sine-Gordon方程孤立波解
S -G方程解
解的性质： (1) 扭折解
u 41 tg(e )
当 时， u ; 当 时，u (2) 反扭折解 1
利用特殊函数积分公式可得
两种特殊情况 (1) 0 ，snx~sinx
(2) 1 ，snx~thx
u m sin sn 2 2 2 v v0
sin u sin( ) 2
sin
u th( ) 2
2. sine-Gordon方程孤立波解
一维原子链模型： 一串周期地束缚在非线性 弹簧上的原子。 原子链的哈密顿为：
H= 1 1 2 y [ ( yk+1 yk ) ( yk yk-1 )] V( yk ) k 2m k 2 k k
(V(y)为外场势能)
2 设势函数 ( ) ，第 k个原子的运动方程为：
y y 2 V' ( y ) 2 t x
2 2
2y 2y 2 sin y 0 2 t x
一般情况 S -G 方程
2u 2 2u 2 v m sin u 0 0 2 2 t x
V=cosy 时
2. sine-Gordon方程孤立波解
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史
孤立波方程 人们在理论上和实验上对孤立波巳作了大量的研究。此后 发现，除KdV方程外还有其它微分方程具有孤立波解。 在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波 特性。 (1)KdV方程 (2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程 (3)户田(M.Toda)非线性晶格方程 (4)非线性薛定谔方程(NLSE)
S -G方程解
由双曲函数公式
经推导得
u e e sin th( ) 2 e e
e
u u (1 sin ) 1 tg u 最后得解 1 2 4 tg( ) u 4 tg (e ) u u 4 4 (1 sin ) 1 - tg 2 4
2.孤立波与孤立子
孤立波
在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherent structure，或称拟 序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有 序结构。 从运动形态上讲相干结构与混沌运动既是相互对立的，又是具有内在联系 的两种非线性现象。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态，相干结构反映了 非线性系统中的惊人有序性。 在尺度上：大到天文范围(木星 上巨型红斑达 4×108 米，约地球 与月亮之间的距离；泰国安达曼 海面出现的孤立波约150公里宽； 水面上孤立水波的尺寸在 1 米量 级 ) ，小到纳米 ( 二硫化钽晶体中 的电菏密度孤立波)。
孤立波在哪里？ 孤立波除存在于浅水层外，还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体 、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波， 既可以速度 v 在空间传播，又可以处于静止状态。
2.孤立波与孤立子
孤立波类型
( i ) 波包型 (ii) 凹陷型 (iii) 扭折型 (iv)反扭折型 ( i )、(ii) 两种在 x 时，
木星红斑
2.孤立波与孤立子
孤立子 计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明：
(1)孤立波非常的稳定；(2)象一个物质粒子。
人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子- soliton”，简称“孤 子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上 稳定的准粒子。
2.孤立波与孤立子
孤立子