数学建模案例库(1)
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10.1 问题特性分析报告
10.2 模型质量与模型效果
10.3论文及答辩质量
11
运输问题
北京2008奥运期间，清华大学计划安排480名志愿者前往国家体育场（“鸟巢”）进行志愿活动．清华后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．前往过程中，每辆客车往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．如果你是组织者，应该如何安排车辆？
9.1 问题特性分析报告
9.2 模型质量与模型效果
9.3论文及答辩质量
10
生产安排问题
如果你是某家具厂的厂长，现有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱要方木料0.2m3 、五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如何安排生产能够获得最大利润?
13.2 模型质量与模型效果
13.3论文及答辩质量
14
艾滋病问题
目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。目前采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。假如某个人的艾滋病检测结果呈阳性，请你根据以上数据，推算一下这个人真的得了艾滋病的概率是多大呢？
经济学家和社会学家很早就在关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果来指导生产
23.1 问题特性分析报告
23.2 模型质量与模型效果
23.3论文及答辩质量
24
耐用消费品市场销售问题
建立耐用消费品市场销售量模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
数学建模案例库
数学建模案例库
案例
序号
案例名称
案例内容
考核项目
1
购物优惠问题
去超市购买茶壶、茶杯可以优惠，有两种优惠方法：（1）买一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。以上优惠的前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？请建立模型分析此优惠方案。
14.1 问题特性分析报告
14.2 模型质量与模型效果
14.3论文及答辩质量
15
贷款收益问题
某贷款公司能以5%的年利率借得贷款，然后它又把此款贷给顾客。若它能贷出的款额与它贷出的利率的平方成反比（利率太高无人借贷）。
（1）建立年利率与利润间的数学模型。
（2）当以多大的年利率贷出时，能使贷款公司获得利润为最大？
18.1 问题特性分析报告
18.2 模型质量与模型效果
18.3论文及答辩质量
19
谋杀案问题
凶案发生了。受害者的尸体与晚上7:30被发现。法医于晚上8:20达到现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”经调查，从张某办公室到凶案现场需5分钟。请问张某有作案时间吗？
旅行社组团问题
某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即每增加一个人，每人的收费就降低10元，请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少的时候，旅行社可获得最大营业额？
5.1 问题特性分析报告
5.2 模型质量与模型效果
5.3论文及答辩质量
6
降落伞的降落问题
7.1 问题特性分析报告
7.2 模型质量与模型效果
7.3论文及答辩质量
8
交通事故问题
在公路交通事故的现场，常会发现事故车辆的车轮留有一段拖痕（刹车距离）。这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止转动，而车轮由于惯性的作用在地面上摩擦滑动留下的痕迹。如果在事故现场测得拖痕的长度为15m,并测出路面与车轮的摩擦系数为1.04（此系数由路面质地、轮胎与地面接触面积等因素决定），那么交警如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速是否超出规定？）
3.1 问题特性分析报告
3.2 模型质量与模型效果
3.3论文及答辩质量
4
海报版面的设计问题
要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
4.1 问题特性分析报告
4.2 模型质量与模型效果
4.3论文及答辩质量
5
1.1 问题特性分析报告
1.2 模型质量与模型效果
1.3论文及答辩质量
2
住房出租模型
一住房租赁公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。（1）建立总收入与租金之间的数学模型。（2）当房租定多少可获得最大收入？
24.1 问题特性分析报告
24.2 模型质量与模型效果
24.3论文及答辩质量
25
香烟过滤嘴的作用问题
试建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与那些因素有关，并建立它们之间的数量表达式。
25.1 问题特性分析报告
25.2 模型质量与模型效果
25.3论文及答辩质量
26
学员学习模型
培训部对学员某项技术工作进行培训，一般要研究学员学会这一项技术工作到底有多快，然后确定培训所需时间。一般认为：对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。据此建立学员的学习模型。
26.1 问题特性分析报告
26.2 模型质量与模型效果
26.3论文及答辩质量
27
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广，是人们关心的问题。试建立数学模型说明一旦一家企业采用了一项新技术，那么该行业其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素影响速度的大小？
27.1 问题特性分析报告
27.2 模型质量与模型效果
8.1 问题特性分析报告
8.2 模型质量与模型效果
8.3论文及答辩质量
9
饮食中的营养分配问题
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07Kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用A和食物B各多少kg?
假定一个雪球是半径为的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为（与环境的相对湿度、阳光和空气温度等因素有关）。已知两小时内融化了其体积的四分之一。问其余部分在多长时间内全部融化完？
17.1 问题特性分析报告
17.2 模型质量与模型效果
17.3论文及答辩质量
18
饿狼追兔问题
现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的2倍。问兔子能否安全回到巢穴？
抽样检验问题
一批商品共1000件，已知该种商品的不合格率约为2%，商检部门用抽检方案（30/3）进行检验（即从1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品数不大于3件，则判定该批商品为合格批，从而被接受；如果其中不合格品数大于3件，则判定该批商品为不合格批，从而不被接受）。求该批商品的接受概率。
13.1 问题特性分析报告
27.3论文及答辩质量
11.1 问题特性分析报告
11.2 模型质量与模型效果
11.3论文及答辩质量
12
掷骰子赌博问题
掷两骰子，可能出现2点、3点、4点、5点、6点、7点、8点、9点、10点、11点、12点。 问你在哪个点上压钱赢的机会比较大？
12.1 问题特性分析报告
12.2 模型质量与模型效果
12.3论文及答辩质量
13
15.1 问题特性分析报告
15.2 模型质量与模型效果
15.3论文及答辩质量
16
观赏角度问题
某公园中有一高为米的美人塑像，其底座高为米，为了观赏时对塑像张成的夹角最大（即看得最清楚），应该站在离底座脚多远的地方？
16.1 问题特性分析报告
16.2 模型质量与模型效果
16.3论文及答辩质量
17
雪球融化问题
设质量为m的降落伞从飞机上落下后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时（t=0）速度为零，求降落伞下落的速度与时间的函数关系。
6.1 问题特性分析报告
6.2 模型质量与模型效果
6.3论文及答辩质量
7
沸水降温问题
把温度为100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃的环境中自然冷却，经5分钟时测得水温为60℃，试求：（1）水温T（℃）与时间t（分钟）的函数关系；（2）问水温自100℃降至30℃需要多长时间？
2.1 问题特性分析报告
2.2 模型质量与模型效果
2.3论文及答辩质量
3
客房的定价问题
一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？
问题1：一架重4.5T的奷击机以每小时600km的速度开始着陆，在减速伞的作用下滑跑500m后速度减为每小时100km。问减速伞的阻力系数是多少？
问题2：对于重9T的轰炸机以每小时700km的速度开始着陆，机场跑道为1500m，问轰炸机能否安全着陆？
20.1 问题特性分析报告
20.2 模型质量与模型效果
21.2 模型质量与模型效果
21.3论文及答辩质量
22
铅球掷远问题
建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与的关系式，并在，一定的条件下求最佳出手角度
22.1 问题特性分析报告
22.2 模型质量与模型效果
22.3论文及答辩质量
23
新产品的推销与广告问题
19.1 问题特性分析报告
19.2 模型质量与模型效果
19.3论文及答辩质量
20
飞机着陆问题
我们知道，当机场跑道的长度不够时，经常使用减速伞作为飞机的减速装置。减速伞的应用原理是，在飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开减速伞，利用空气对伞的阻力来减少飞机的滑跑距离，通常情况下阻力与飞机的速度成正比，以保障飞机在较短的跑道上安全着陆。请解决下列两个问题任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个，排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后拿走原来所放的棋子。再重复以上的过程，这样放一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？
21.1 问题特性分析报告
10.2 模型质量与模型效果
10.3论文及答辩质量
11
运输问题
北京2008奥运期间，清华大学计划安排480名志愿者前往国家体育场（“鸟巢”）进行志愿活动．清华后勤集团有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．前往过程中，每辆客车往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．如果你是组织者，应该如何安排车辆？
9.1 问题特性分析报告
9.2 模型质量与模型效果
9.3论文及答辩质量
10
生产安排问题
如果你是某家具厂的厂长，现有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱要方木料0.2m3 、五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如何安排生产能够获得最大利润?
13.2 模型质量与模型效果
13.3论文及答辩质量
14
艾滋病问题
目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。目前采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。假如某个人的艾滋病检测结果呈阳性，请你根据以上数据，推算一下这个人真的得了艾滋病的概率是多大呢？
经济学家和社会学家很早就在关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果来指导生产
23.1 问题特性分析报告
23.2 模型质量与模型效果
23.3论文及答辩质量
24
耐用消费品市场销售问题
建立耐用消费品市场销售量模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
数学建模案例库
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案例
序号
案例名称
案例内容
考核项目
1
购物优惠问题
去超市购买茶壶、茶杯可以优惠，有两种优惠方法：（1）买一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。以上优惠的前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？请建立模型分析此优惠方案。
14.1 问题特性分析报告
14.2 模型质量与模型效果
14.3论文及答辩质量
15
贷款收益问题
某贷款公司能以5%的年利率借得贷款，然后它又把此款贷给顾客。若它能贷出的款额与它贷出的利率的平方成反比（利率太高无人借贷）。
（1）建立年利率与利润间的数学模型。
（2）当以多大的年利率贷出时，能使贷款公司获得利润为最大？
18.1 问题特性分析报告
18.2 模型质量与模型效果
18.3论文及答辩质量
19
谋杀案问题
凶案发生了。受害者的尸体与晚上7:30被发现。法医于晚上8:20达到现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”经调查，从张某办公室到凶案现场需5分钟。请问张某有作案时间吗？
旅行社组团问题
某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即每增加一个人，每人的收费就降低10元，请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少的时候，旅行社可获得最大营业额？
5.1 问题特性分析报告
5.2 模型质量与模型效果
5.3论文及答辩质量
6
降落伞的降落问题
7.1 问题特性分析报告
7.2 模型质量与模型效果
7.3论文及答辩质量
8
交通事故问题
在公路交通事故的现场，常会发现事故车辆的车轮留有一段拖痕（刹车距离）。这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止转动，而车轮由于惯性的作用在地面上摩擦滑动留下的痕迹。如果在事故现场测得拖痕的长度为15m,并测出路面与车轮的摩擦系数为1.04（此系数由路面质地、轮胎与地面接触面积等因素决定），那么交警如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速是否超出规定？）
3.1 问题特性分析报告
3.2 模型质量与模型效果
3.3论文及答辩质量
4
海报版面的设计问题
要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
4.1 问题特性分析报告
4.2 模型质量与模型效果
4.3论文及答辩质量
5
1.1 问题特性分析报告
1.2 模型质量与模型效果
1.3论文及答辩质量
2
住房出租模型
一住房租赁公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。（1）建立总收入与租金之间的数学模型。（2）当房租定多少可获得最大收入？
24.1 问题特性分析报告
24.2 模型质量与模型效果
24.3论文及答辩质量
25
香烟过滤嘴的作用问题
试建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与那些因素有关，并建立它们之间的数量表达式。
25.1 问题特性分析报告
25.2 模型质量与模型效果
25.3论文及答辩质量
26
学员学习模型
培训部对学员某项技术工作进行培训，一般要研究学员学会这一项技术工作到底有多快，然后确定培训所需时间。一般认为：对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。据此建立学员的学习模型。
26.1 问题特性分析报告
26.2 模型质量与模型效果
26.3论文及答辩质量
27
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广，是人们关心的问题。试建立数学模型说明一旦一家企业采用了一项新技术，那么该行业其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素影响速度的大小？
27.1 问题特性分析报告
27.2 模型质量与模型效果
8.1 问题特性分析报告
8.2 模型质量与模型效果
8.3论文及答辩质量
9
饮食中的营养分配问题
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07Kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用A和食物B各多少kg?
假定一个雪球是半径为的球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为（与环境的相对湿度、阳光和空气温度等因素有关）。已知两小时内融化了其体积的四分之一。问其余部分在多长时间内全部融化完？
17.1 问题特性分析报告
17.2 模型质量与模型效果
17.3论文及答辩质量
18
饿狼追兔问题
现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的2倍。问兔子能否安全回到巢穴？
抽样检验问题
一批商品共1000件，已知该种商品的不合格率约为2%，商检部门用抽检方案（30/3）进行检验（即从1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品数不大于3件，则判定该批商品为合格批，从而被接受；如果其中不合格品数大于3件，则判定该批商品为不合格批，从而不被接受）。求该批商品的接受概率。
13.1 问题特性分析报告
27.3论文及答辩质量
11.1 问题特性分析报告
11.2 模型质量与模型效果
11.3论文及答辩质量
12
掷骰子赌博问题
掷两骰子，可能出现2点、3点、4点、5点、6点、7点、8点、9点、10点、11点、12点。 问你在哪个点上压钱赢的机会比较大？
12.1 问题特性分析报告
12.2 模型质量与模型效果
12.3论文及答辩质量
13
15.1 问题特性分析报告
15.2 模型质量与模型效果
15.3论文及答辩质量
16
观赏角度问题
某公园中有一高为米的美人塑像，其底座高为米，为了观赏时对塑像张成的夹角最大（即看得最清楚），应该站在离底座脚多远的地方？
16.1 问题特性分析报告
16.2 模型质量与模型效果
16.3论文及答辩质量
17
雪球融化问题
设质量为m的降落伞从飞机上落下后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时（t=0）速度为零，求降落伞下落的速度与时间的函数关系。
6.1 问题特性分析报告
6.2 模型质量与模型效果
6.3论文及答辩质量
7
沸水降温问题
把温度为100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃的环境中自然冷却，经5分钟时测得水温为60℃，试求：（1）水温T（℃）与时间t（分钟）的函数关系；（2）问水温自100℃降至30℃需要多长时间？
2.1 问题特性分析报告
2.2 模型质量与模型效果
2.3论文及答辩质量
3
客房的定价问题
一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？
问题1：一架重4.5T的奷击机以每小时600km的速度开始着陆，在减速伞的作用下滑跑500m后速度减为每小时100km。问减速伞的阻力系数是多少？
问题2：对于重9T的轰炸机以每小时700km的速度开始着陆，机场跑道为1500m，问轰炸机能否安全着陆？
20.1 问题特性分析报告
20.2 模型质量与模型效果
21.2 模型质量与模型效果
21.3论文及答辩质量
22
铅球掷远问题
建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与的关系式，并在，一定的条件下求最佳出手角度
22.1 问题特性分析报告
22.2 模型质量与模型效果
22.3论文及答辩质量
23
新产品的推销与广告问题
19.1 问题特性分析报告
19.2 模型质量与模型效果
19.3论文及答辩质量
20
飞机着陆问题
我们知道，当机场跑道的长度不够时，经常使用减速伞作为飞机的减速装置。减速伞的应用原理是，在飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开减速伞，利用空气对伞的阻力来减少飞机的滑跑距离，通常情况下阻力与飞机的速度成正比，以保障飞机在较短的跑道上安全着陆。请解决下列两个问题任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个，排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后拿走原来所放的棋子。再重复以上的过程，这样放一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？
21.1 问题特性分析报告