高中数学 第2章 推理与证明 2.1 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修1-2

[跟进训练] 2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第 n 个图形中由 n 个正方形组成：
通过观察可以发现：第 5 个图形中，火柴棒有________根；第 n 个图形中，火柴棒有________根．
16 3n ＋ 1 [ 数 一 数 可 知 各 图 形 中 火 柴 的 根 数 依 次 为 ： 4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多 3 根火柴，它们构成 等差数列，故第 5 个图形中有火柴棒 16 根，第 n 个图形中有火柴棒 (3n＋1)根．]
思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解． (2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱 AD 与一侧面 ABC 垂直的四棱锥的侧面 ABC 的面积，将此直角边 AB 在斜边上的 射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得 S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.
2．(变条件)把本例(2)条件换为“在 Rt△ABC 中，AB⊥AC， AD⊥BC 于点 D，有A1D2＝A1B2＋A1C2成立”．那么在四面体 A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理 由．
[解] 猜想：类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体 A－BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD.则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边 AB⊥AC，D 是 A 点在 BC 上的射影，则 AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体 A－BCD 中，DA⊥平面 ABC，点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影，类比平面三 角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC 三者面积之间的关系， 并给予必要证明．
(3)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝3，满足 Sn＝6－2an＋ 1(n∈N*)．
①求 a2，a3，a4 的值； ②猜想 an 的表达式．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋ 2 1 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x [(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …
S
2 △ABC
＝
S△OBC·S△DBC.
证明如下：如图，设直线 OD 与 BC 相交于点 E， ∵AD⊥平面 ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面 BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC.
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面 AED，
∴BC⊥AE，BC⊥DE.
∴S△ABC＝12BC·AE，
类比推理及其应用 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体 是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的 两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面 外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成 下列探究点：
[解] (1)由 a1＋a2＋…＋a2n－1 类比成 b1·b2·b3…b2n－1，除以 2n－1， 即 商 类 比 成 开 2n － 1 次 方 ， 即 在 正 项 等 比 数 列 {bn} 中 ， 有
2n－1 b1·b2·b3…b2n－1＝bn.
(2)△ABC 、 △BOC 、 △BDC
三者面积之间关系为
[探究问题] 1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中， 各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何 表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.
【 例 3 】 (1) 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 对 任 意 的 正 整 数 n ， 有 a1＋a2＋2an3＋－…1 ＋a2n－1＝an.类比这一性质，在正项等比数列{bn}中， 有________．
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的
思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]
2．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S＝
底×高 2 ，可推知扇形的面积 S 扇＝( )
r2 A. 2
l2 B.2
1＋12＋13＋…＋115＞2， …， 请你归纳出一般性结论：________.
(1)65 (2)1＋12＋13＋…＋2n－1 1＞n2 [(1)因为 4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测 x＝64＋1＝65.
(2)观察不等式左边，各项分母从 1 开始依次增加 1，且终止项为 2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论： 1＋12＋13＋…＋2n－1 1＞n2.]
2．理解归纳推理和类比推理的含 理，培养数学逻辑推理的素养．
义，并能利用归纳和类比推理进行 2．借助合情推理，培养抽象概
简单的推理．(重点、难点)
括的素养.
自主 预习 探新 知
1．归纳推理与类比推理
归纳推理
类比推理
由两类对象具有某些类
由某类事物的部分对象具有某些
似特征和其中一类对象
特征，推出该类事物的全部对象
x f4(x)＝f3(f3(x))＝1－14－×14－xx4x＝1－x8x，
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－×18－xx8x＝1－x16x，
根据前几项可以猜想 fn(x)＝1－2xn－1x.]
(3)解：①因为 a1＝3，且 Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以 S1＝6－2a2＝a1＝3，解得 a2＝32， 又 S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋32，解得 a3＝34， 又 S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋32＋34，
[解] 如图所示，在四面体 P－ABC 中，S1， S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ 依次表示平面 PAB， 平面 PBC，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S＝ S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n) ＝(－1)n＋1nn＋ 2 1.
(2)∵f(x)＝1－x x，
∴f1(x)＝1－x x. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
x ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－×12－xx2x＝1－x4x，
下面证明上述猜想成立 如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于点 F， 连接 AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面 ACD.
合作 探究 释疑 难
数、式中的归纳推理 【例 1】 (1)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此规律，第 n 个等式可为________．
(2)已知：f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为 ________．
2数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数 列的通项公式或前 n 项和公式.
①通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和； ②根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式.
[跟进训练] 1．(1)数列 5,9,17,33，x，…中的 x 等于________． (2)已知下列各式： 1＞12， 1＋12＋13＞1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32，
解得 a4＝38. ②由①知 a1＝3＝230，a2＝32＝231，a3＝34＝232， a4＝38＝233，…，猜想 an＝2n3－1(n∈N*)．
进行数、式中的归纳推理的一般规律 1已知等式或不等式进行归纳推理的方法,①要特别注意所给 几个等式或不等式中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式或不等式中结构形式的特征； ③提炼出等式或不等式的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论.
(2)图形①到④中线段的条数分别为 1,5,13,29，因为 1＝22－3,5 ＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第 8 个图形中线段的条数 应为 29－3＝509.]
利用归纳推理解决几何问题的两个策略 1通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列， 观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式. 2递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个 数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式， 再求通项公式.
S△BOC＝12BC·OE, S△BCD＝12BC·DE.
在
Rt△ADE
中，由射影定理知
AE2
＝
OE·DE
，
∴S
2 △ABC
＝
S△BOC·S△BCD.
1．(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cos C＋ c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边”．类比上述定理， 写出对空间四面体性质的猜想．
C.l2r
D．不可类比
C [结合类比推理可知 S 扇＝l2r.]
3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括 两个端点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6 ＝________，an＝______(n>1，n∈N*)．
15 3n－3 [依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各 有 6 个点，因此 a6＝3×6－3＝15.由 n＝2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an＝3n－3(n>1，n∈N*)．]
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自
课
主
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小
习
结
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探 新
复习课件
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高中数学 第2章 推理与证明 2.1 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修1-2
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第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
学习目标
核心素养
1．了解合情推理的含义．(易混点) 1．通过学习归纳推理和类比推
2．合情推理
从具
归纳推理 类比推理
→
合情 推理
→
体问 题出
―经―过―观再―察进―、行分―归析纳―、、―比类较―比、―联―想→
提出 猜想
发
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，
“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形
状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
的某些已知特征，推出另
定义 都具有这些特征的推理，或者由
一类对象也具有这些特
个别事实概括出一般结论的推
征的推理称为类比推理
理，称为归纳推理(简称 归纳)
(简称 类比 )
归纳推理是由部分到整体、由个 类比推理是由特殊到特
特征
别到一般的推理
殊的推理
思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
[提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结 论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比 推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的 特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
几何图形中的归纳推理
【例 2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成 若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．
(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数 为________．
(1)5n＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案 中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为 5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6＋(n－1)×5＝5n＋1.