2019-2020学年山东省淄博实验中学高三(上)开学数学试卷(8月份)

2019-2020学年山东省淄博实验中学高三（上）开学数学试卷
（8月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x2−x≤0}，则A∩B＝（）
A.{0, 1}
B.{1}
C.[0, 1]
D.(0, 1]
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】
∵集合A＝{x∈N|x<3}＝{0, 1, 2}，
B＝{x|x2−x≤0}＝{x|0≤x≤1}，
∴A∩B＝{0, 1}．
2. 已知命题p:∀x∈R，e x≥1+sinx．则命题￢p为（）
A.∀x∈R，e x<1+sinx
B.∀x∈R，e x≤1+sinx
C.∃x0∈R，e x0≤1+sinx0
D.∃x0∈R，e x0<1+sinx0
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以：命题p:∀x∈R，e x≥1+sinx的否定是：∃x0∈R，e x0<1+sinx0．
3. 设a，b∈R，则“a≥|b|”是“a>b”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
举例说明不充分，再由a>b不能得到a≥|b|说明不必要．
【解答】
当a＝b＝0时，a≥|b|成立，不能得到a>b；
反之由a>b，也不能得到a≥|b|，
故“a≥|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．4. 已知a>b，则下列成立的是（）
A.√a>√b
B.a2>b2
C.a
c >b
c
D.ac2>bc2
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】
A．a>b，不能保证a，b都大于0，故不成立；B．b<a<0时，不成立；
C．∵1
c2>0,a>b，∴a
c2
>b
c2
，故C成立；
D．当c＝0时，不成立．
5. 已知a>0，b>0，a+b＝2，则y=1
a +4
b
的最小值是（）
A.9 2
B.7
2
C.5
D.4
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】
∵a>0，b>0，a+b＝2，
∴y=1
a +4
b
=1
2
(1
a
+4
b
)(a+b)=1
2
(1+4+b
a
+4a
b
)≥1
2
(5+2√b
a
⋅4a
b
)=9
2
，
当且仅当b＝2a时等号成立，
6. 已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a+1
b +b+1
a
的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.4√2【答案】
C
【考点】
等比中项
数列与不等式的综合
基本不等式
【解析】
利用等比数列中项、不等式基本性质直接求解．
【解答】
解：∵a>0，b>0，a，b的等比中项为2，
∴ab=4，
∴a+1
b +b+1
a
≥2√ab+2√1
a
⋅1
b
=4+1=5．
当且仅当a=b时，取等号，
∴a+1
b +b+1
a
的最小值为5．
故选C.
7. 已知等差数列{a n}中，a1＝11，前7项的和S7＝35，则前n项和S n中（）
A.前6项和最小
B.前7项和最小
C.前6项和最大
D.前7项和最大
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需a n≥0，进而求得n的范围．
【解答】
由等差数列求和公式S7＝7×11+7(7−1)
2
，d＝35可得d＝−2，
则a n＝11+(n−1)×(−2)＝13−2n，
要使前n项和最大，只需a n≥0即可，
故13−2n≥0，解之得n≤6.5，
故前6项的和最大．
8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100
个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小一份的量为（）
A.5 2
B.5
4
C.5
3
D.5
6
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．
【解答】
由题意可得中间的那份为20个面包，
设最小的一份为a1，公差为d，
由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×1
7
=a1+(a1+d)，
解得a1=5
3
，
9. 若双曲线x2
a2−y2
b2
=1的一条渐近线与直线y＝2x垂直，则该双曲线的离心率为（）
A.√5
2B.√5 C.√6
2
D.2
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，再利用c2＝a2+b2，e=c
a
即可得双曲线的离心率．
【解答】
双曲线x2
a2−y2
b2
=1的一条渐近线方程为y＝±b
a
x，
∵渐近线与直线y＝2x垂直，故渐近线的斜率为−1
2
，
∴b
a ×(−1
2
)＝−1，即a＝2b．
即a2＝4b2＝4(c2−a2)，即5a2＝4c2，e2=5
4
．
∴双曲线的离心率e=√5
2
．
10. 点F为椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三
角形，那么椭圆的离心率为（）
A.√2
2B.√3
2
C.√3−1
2
D.√3−1
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．【解答】
如图所示：
方法一、设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得
直线OP的斜率为k＝tan60∘=√3，
∴点P坐标为：(1
2c, √3
2
c)，
代入椭圆的标准方程，得c2
4 a2+
3
4
c2
b2
=1，
∴b2c2+3a2c2＝4a2b2，
∴(a2−c2)c2+3a2c2＝4a2(a2−c2)∴a2c2−c4+3a2c2＝4a4−4a2c2∴e2＝4−2√3
∴e=√4−2√3=√(√3−1)2，
∴e=√3−1．
方法二、设椭圆的左焦点为F ′，连接PF ′，由题意可得∠FPF ′＝90∘， PF ＝c ，FF ′＝2c ，PF ′=√3c ， 由椭圆的定义可得√3c +c ＝2a ， 即有e =c
a =3+1=√3−1． 故选：D ．
11. 已知m >0，xy >0，当x +y ＝2时，不等式2
x +m y
≥4恒成立，则m 的取值范围是
（ ）
A.[√2, +∞)
B.[2, +∞)
C.(0, √2]
D.(√2, 2]
【答案】 B
【考点】
基本不等式及其应用 【解析】 根据条件有2
x +
m y
=12
(x +y)(2x
+m y
)=12
(m +2+
2y x +
mx y
)，化简后利用基本不等式可
得2
x +m
y 的最小值，然后根据2
x +m y
≥4恒成立可得1
2
(m +2+2√2m)≥4，解出m 的范
围即可． 【解答】
∵ m >0，xy >0，x +y ＝2， ∴ 2
x +
m y
=12
(x +y)(2x
+m y
)=12
(m +2+
2y x
+
mx y
)
≥1(m +2+2√2y ⋅mx ) =1
2(m +2+2√2m)，
∵ 不等式2x +
m y
≥4恒成立，∴ 1
2
(m +2+2√2m)≥4，
整理得(√m +3√2)(√m −√2)≥0，解得√m ≥√2，即m ≥2， ∴ m 的取值范围为[2, +∞)．
12. 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，
线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1
+e
2
2的
最小值为（ ） A.√6
B.3
C.6
D.√3
【答案】
C
【考点】
圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率
双曲线的离心率【解析】
通过图象可知F1F2＝F2P＝2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得2e
1+e2
2
的表
达式，通过基本不等式即得结论．
【解答】
由题意可知：F1F2＝F2P＝2c，
又∵F1P+F2P＝2a1，F1P−F2P＝2a2，∴F1P+2c＝2a1，F1P−2c＝2a2，
两式相减，可得：a1−a2＝2c，
∵2
e1+e2
2
=2a1
c
+c
2a2
=4a1a2+c2
2ca2
，
∴2
e1+e2
2
=4(2c+a2)a2+c2
2ca2
=8ca2+4a22+c2
2ca2
=4+2a2
c
+c
2a2
，
∵2a2
c +c
2a2
≥2√2a2
c
⋅c
2a2
=2，当且仅当2a2
c
=c
2a2
时等号成立，
∴2
e1+e2
2
的最小值为6，
二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题5分，共20分）．
在(3x−2
x
)6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答）
【答案】
4860
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】
在(3x−2
x
)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅(−2)r⋅36−r⋅x6−2r，
令6−2r＝2，求得r＝2，可得x2的系数为C62⋅4⋅34＝4860，
现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是________．（用数字作答）
【答案】
72
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①，将3位男学生全排列，②，在中间的2个空位中，任选1个安排1个女生，③，在剩下的3空位中，安排剩下的2个女生，由分步计数原理计
算可得答案．
【解答】
根据题意，分3步进行分析：
①，将3位男学生全排列，有A33＝6种情况，排好后中间有2个空位，
②，在中间的2个空位中，任选1个安排1个女生，有3×2＝6种情况，
③，在剩下的3空位中，安排剩下的2个女生，有2种情况；
则有6×6×2＝72种安排方法；
设(1−ax)2018＝a0+a1x+a2x2+...+a2018x2018，若a1+2a2+3a3+...+2018a2018＝2018a(a≠0)，则实数a＝________．
【答案】
2
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
把已知等式边同时对x求导，再令x＝1，求得a的值．
【解答】
将(1−ax)2018＝a0+a1x+a2x2+...+a2018x2018两边同时对x求导，
可得2018(1−ax)2017(−a)＝a1+2a2x+3a3x2+...+2018a2018x2017，
令x＝1得，−2018a(1−a)2017＝a1+2a2+3a3+...+2018a2018＝2018a，
又a≠0，所以(1−a)2017＝−1，1−a＝−1，故a＝2，
已知函数y=f(x)在R上的图像是一条连续不断的曲线，并且关于原点对称，其导函数为f′(x)，且当x>0时，有x2f′(x)>−2xf(x)恒成立. 若对∀x∈R，不等式
e2x f(e x)−a2x2f(ax)>0恒成立，则正整数a的最大值为________．
【答案】
2
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
奇偶性与单调性的综合
【解析】
可得函数f(x)为R上的奇函数．令g(x)＝x2f(x)，则g(x)为奇函数．可得g(x)在[0, +∞)单调递增．函数g(x)在R上单调递增．对∀x∈R，不等式e2x f(e x)−
a2x2f(ax)>0恒成立，⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)−ax⇔g(e x)>g(ax)．即只需
e x>ax．进而得出答案
【解答】
解：定义在R上的函数f(x)关于原点对称，
∴函数f(x)为R上的奇函数．
令g(x)=x2f(x)，则g(x)为奇函数．
g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)，
当x>0时，不等式g′(x)>0，g(x)在[0, +∞)单调递增，
∴函数g(x)在R上单调递增．
不等式e2x f(e x)−a2x2f(ax)>0恒成立
⇔e2x f(e x)>a2x2f(ax)⇔g(e x)>g(ax)，
∴e x>ax．
当x>0时，a<e x
x
=ℎ(x)，
则ℎ′(x)=e x(x−1)
x2
，可得x=1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值，ℎ(1)=e，
∴a<e，
此时正整数a的最大值为2．
a=2对于x≤0时，e x>ax恒成立．
综上可得：正整数a的最大值为2．
故答案为：2．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若b n=1
a n a n+1
，求数列{b n}的前n项和S n．
【答案】
解：(1)∵{a n}是等差数列，
公差d≠0，a5=14，a32=a1a11，
可得a1+4d=14，(a1+2d)2=a1(a1+10d)，
解得a1=2，d=3，
所以{a n}的通项公式：a n=a1+(n−1)d=3n−1；
(2)b n=1
a n a n+1=1
(3n−1)(3n+2)
=1
3(1
3n−1
−1
3n+2
)，
数列{b n}的前n项和：
S n=1
[
1
−
1
+
1
−
1
+⋯+
1
−
1
]
=1
3(1
2
−1
3n+2
)=1
6
−1
9n+6
．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解等差数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】
解：(1)∵{a n}是等差数列，
公差d≠0，a5=14，a32=a1a11，
可得a1+4d=14，(a1+2d)2=a1(a1+10d)，
解得a1=2，d=3，
所以{a n}的通项公式：a n=a1+(n−1)d=3n−1；
(2)b n=1
a n a n+1=1
(3n−1)(3n+2)
=1
3(1
3n−1
−1
3n+2
)，
数列{b n }的前n 项和：
S n =13[12−15+15−18+⋯+13n −1−13n +2]
=13(1
2−1
3n+2)=1
6−1
9n+6．
如图，在四棱锥P −ABCD 中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；
（2）M 为直线PC 的中点，且AP ＝AD ＝2，求二面角A −MD −B 的余弦值． 【答案】
∵ ABCD 为矩形，∴ AD ⊥AB ，
∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴ AD ⊥平面PAB ，
则AD ⊥PB ，又PA ⊥PB ，PA ∩AD ＝A ， ∴ PB ⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， ∴ 平面PAD ⊥平面PBC ．
取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由AP ＝AD ＝2，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形， 得：A(0, −√2, 0)，D(0, −√2, 2)，B(0, √2, 0)，M(√2
2
, √2
2, 1)，
MA →
=
(−√2
2, −3√22, −1)，MD
→=
(−√2
2, −3√22, 1)，MB
→=(−
√22
, √2
2, −1)， 设平面MAD 的一个法向量为m →
=(x, y, z)，
由{m →
⋅MA →
=−√2
2x −3√2
2
y −z =0m →⋅MD →
=−√2
2
x −3√22
y +z =0
，取y ＝1，得m →=(−3, 1, 0)， 设平面MBD 的一个法向量为n →
=(x, y, z)，
由{n →
⋅MD →
=−√22x −3√2
2y +z =0n →⋅MB →
=−√22x +√2
2y −z =0 ，取z ＝1，得n →
=(−1, 1, √2)， ∴ cos <m →,n →
>=
m →⋅n
→
|m →
|⋅|n →
|
=
10×2
=√10
5
， ∴ 二面角A −MD −B 的余弦值为√105
．
【考点】
平面与平面垂直
二面角的平面角及求法 【解析】
（1）推导出AD ⊥AB ，从而AD ⊥平面PAB ，进而AD ⊥PB ，由PA ⊥PB ，得PB ⊥平面PAD ，由此能一个劲的平面PAD ⊥平面PBC ．
（2）取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −MD −B 的余弦值． 【解答】
∵ ABCD 为矩形，∴ AD ⊥AB ，
∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴ AD ⊥平面PAB ，
则AD ⊥PB ，又PA ⊥PB ，PA ∩AD ＝A ， ∴ PB ⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， ∴ 平面PAD ⊥平面PBC ．
取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由AP ＝AD ＝2，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形， 得：A(0, −√2, 0)，D(0, −√2, 2)，B(0, √2, 0)，M(√2
2
, √2
2, 1)，
MA →
=(−
√2
2, −3√22
, −1)，MD →=(−
√2
2, −3√22
, 1)，MB →=(−
√22
, √2
2, −1)， 设平面MAD 的一个法向量为m →
=(x, y, z)，
由{m →
⋅MA →
=−√2
2x −3√2
2
y −z =0m →⋅MD →
=−√2
2x −3√22y +z =0 ，取y ＝1，得m →=(−3, 1, 0)， 设平面MBD 的一个法向量为n →
=(x, y, z)，
由{n →
⋅MD →
=−√2
2x −3√2
2y +z =0n →⋅MB →
=−√22
x +√2
2
y −z =0
，取z ＝1，得n →
=(−1, 1, √2)， ∴ cos <m →,n →
>=
m →⋅n
→
|m →
|⋅|n →
|
=
√
10×2
=√10
5， ∴ 二面角A −MD −B 的余弦值为√10
5
．
已知椭圆C:
x 2
a +y 2
b
=1(a >b >0)的离心率为√2
2
，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为4√2．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)设M 为椭圆C 的右顶点，过点N(6, 0)且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记直线PM ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1⋅k 2为定值． 【答案】
（1）由题意有{
e =
c
a =
√2
2
2ab =4√2
a 2=
b 2+
c 2
⇒{a =2
b =√2
c =√2 ，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2
2=1． （2）由(Ⅰ)可知M(2, 0)，依题意得直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k(x −6)(k ≠0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，(x 1, x 2≠2)，联立方程{x 2
4
+
y 2
2=1y =k(x −6) ， 消去y 并整理可得(1+2k 2)x 2−24k 2x +72k 2−4＝0，x 1+x 2=
24k 21+2k 2
，x 1x 2=
72k 2−41+2k
2
，k 1k 2=y 1
x 1
−2.y 2
x 2
−2
=k 2(x 1−6)(x 2−6)
x
1x 2−2(x 1+x 2
)+4
=k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4
=
k 2[
72k 2−41+2k 2−144k 2
1+2k 2+36]72k 2−41+2k 2−48k
21+2k 2
+4=
k 2[72k 2−4−144k 2+36(1+2k 2)]72k 2−4−48k 2+4(1+2k 2)
=32k 2
32k 2=1为定值．
【考点】 椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系 【解析】
(Ⅰ)利用性质建立方程组，求出椭圆的方程；
(Ⅱ)先建立方程组化为一元二次方程，利用根与系数关系，建立k 1⋅k 2的表达式，并化简证明． 【解答】
（1）由题意有{
e =c
a =
√22
2ab =4√2
a 2=
b 2+
c 2
⇒{a =2
b =√2
c =√2 ，∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2
2=1． （2）由(Ⅰ)可知M(2, 0)，依题意得直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝k(x −6)(k ≠0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，(x 1, x 2≠2)，联立方程{x 2
4
+
y 2
2=1y =k(x −6)
， 消去y 并整理可得(1+2k 2)x 2−24k 2x +72k 2−4＝0，x 1+x 2=24k 2
1+2k 2
，x 1x 2=
72k 2−41+2k 2，k 1k 2=y 1
x
1−2
.
y 2x 2−2
=
k 2(x 1−6)(x 2−6)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4
=
k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4
=
k 2[
72k 2−41+2k 2−144k 2
1+2k 2+36]72k 2−41+2k 2−48k 2
1+2k 2
+4=
k 2[72k 2−4−144k 2+36(1+2k 2)]72k 2−4−48k 2+4(1+2k 2)
=32k 232k 2
=1为定值．
2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科．某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科目满分100分．为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请求出a 和b ，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
参考公式：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
由题意，男生人数为100×550
1000=55，女生人数为100×450
1000=45， 所以2×2列联表为：
a ＝45，
b ＝20．
假设H 0：选择科目与性别无关，所以K 2
的观测值k =
100(45×20−25×10)2
70×30×55×45
≈8.129>
6.635，
查表可得：P(K 2≥k)<0.01，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．
从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4．设
事件X 发生概率为P(X)，则P(X =0)=C 5
4C 94=5
126，
P(X =1)=C 53C41
C 9
4=40
126， P(X =2)=C 52C42
C 9
4=60
126， P(X =3)=
C 51C43
C 9
4=20126，
P(X =4)=C 44
C 9
4=1
126．
所以X 的分布列为：
所以X 的数学期望EX =0×5
126+1×40
126+2×60
126+3×20
126+4×1
126=
169
．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】
（1）求出男生人数，女生人数，完成2×2列联表．即可求出a 和b ，求出k2，即可判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关．
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X 的取值，求出概率即可得到，X 的分布列及数学期望． 【解答】
由题意，男生人数为100×550
1000=55，女生人数为100×450
1000=45， 所以2×2列联表为：
a ＝45，
b ＝20．
假设H 0：选择科目与性别无关，所以K 2
的观测值k =
100(45×20−25×10)2
70×30×55×45
≈8.129>
6.635，
查表可得：P(K 2≥k)<0.01，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．
从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4．设事件X 发生概率为P(X)，则P(X =0)=C 5
4C 94=5
126，
P(X =1)=
C 53C41
C 9
4=40
126，
P(X=2)=C52C42
C94=60
126
，
P(X=3)=C51C43
C94=20
126
，
P(X=4)=C44
C94=1
126
．
所以X的分布列为：
所以X的数学期望EX=0×5
126+1×40
126
+2×60
126
+3×20
126
+4×1
126
=16
9
．
已知函数f(x)=1
2
x2−alnx+1(a∈R)．
(Ⅰ)若函数f(x)在[1, 2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若−2≤a<0，对任意x1，x2∈[1, 2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1
x1−1
x2
|恒成
立，求实数m的取值范围．．
【答案】
（1）∵f(x)=1
2
x2−alnx+1在[1, 2]上是增函数，
∴f′(x)＝x−a
x
≥0恒成立，
所以a≤x2，
只需a≤(x2)min＝1；
（2）因为−2≤a<0，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[1, 2]上单调递增，
不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x
1−1
x2
|，
可化为f(x2)+m x
2≤f(x1)+m
x1
，
设ℎ(x)＝f(x)+m
x =1
2
x2−alnx+1+m
x
，
则ℎ(x1)≥ℎ(x2)．
所以ℎ(x)为[1, 2]上的减函数，
即ℎ′(x)＝x−a
x −m
x2
≤0在[1, 2]上恒成立，
等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，
设g(x)＝x3−ax，
所以m≥g(x)max，
因−2≤a<0，
所以g′(x)＝3x2−a>0，
所以函数g(x)在[1, 2]上是增函数，
所以g(x)max＝g(2)＝8−2a≤12（当且仅当a＝−2时等号成立）．所以m≥12．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；
(Ⅱ)问题可化为f(x2)+m
x2≤f(x1)+m
x1
，设ℎ(x)＝f(x)+m
x
=1
2
x2−alnx+1+m
x
，求
出函数的导数，问题等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】
（1）∵f(x)=1
2
x2−alnx+1在[1, 2]上是增函数，
∴f′(x)＝x−a
x
≥0恒成立，
所以a≤x2，
只需a≤(x2)min＝1；
（2）因为−2≤a<0，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[1, 2]上单调递增，
不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x
1−1
x2
|，
可化为f(x2)+m x
2≤f(x1)+m
x1
，
设ℎ(x)＝f(x)+m
x =1
2
x2−alnx+1+m
x
，
则ℎ(x1)≥ℎ(x2)．
所以ℎ(x)为[1, 2]上的减函数，
即ℎ′(x)＝x−a
x −m
x2
≤0在[1, 2]上恒成立，
等价于m≥x3−ax在[1, 2]上恒成立，
设g(x)＝x3−ax，
所以m≥g(x)max，
因−2≤a<0，
所以g′(x)＝3x2−a>0，
所以函数g(x)在[1, 2]上是增函数，
所以g(x)max＝g(2)＝8−2a≤12（当且仅当a＝−2时等号成立）．
所以m≥12．
随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg，按1kg计算）需再收5元．某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
对近天，每天揽件数量统计如表：
(1)计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101∼300之间的概率；
(2)①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 【答案】
解：(1)样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36， 频率f =36
60=3
5，故可估计概率为3
5，
显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即X ~B(5,3
5)， 故所求概率为1−P(X =0)−P(X =1)
=1−C 50×(1−3
5
)5−C 51
×3
5
×(1−3
5
)4=
28533125
．
(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：
10×43+15×30+20×15+25×8+30×4
100
=15，
故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元． ②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：
根据题意及①，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：
故代办点平均每日利润的期望值为260×15×1
3−3×110=970（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：
则代办点平均每日利润的期望值为235×15×1
3−2×110=955（元）， 970>955，
故代办点不应将前台工作人员裁员1人. 【考点】
离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】
（1）样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36，频率f =36
60=3
5，可估计概率为3
5，显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即XB(5,3
5)，即可得出．
（2）①样本中快递费用及包裹件数可得列表，可得样本中每件快递收取的费用的平均值．
②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及（2）①，搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如表，可得代办点平均每日利润的期望值．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如表．即可得出． 【解答】
解：(1)样本中包裹件数在101∼300之间的天数为36， 频率f =36
60=3
5，故可估计概率为3
5，
显然未来5天中，包裹件数在101∼300之间的天数服从二项分布，即X ~B(5,3
5)， 故所求概率为1−P(X =0)−P(X =1)
=1−C 50×(1−3
5
)5−C 51
×3
5
×(1−3
5
)4=
28533125
．
(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
10×43+15×30+20×15+25×8+30×4
100
=15，
故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元． ②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：
根据题意及①，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：
−3×110=970（元）；故代办点平均每日利润的期望值为260×15×1
3
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：
−2×110=955（元），则代办点平均每日利润的期望值为235×15×1
3
970>955，
故代办点不应将前台工作人员裁员1人.。