2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二上学期第三次联考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌市洪都中学高二上学期第三次联
考数学（理）试题
一、单选题
1．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A ．2- B ．2
C ．1
2
-
D ．8
【答案】A
【解析】两直线垂直，斜率相乘等于1- . 【详解】
由题意得，直线1l 的斜率是2-，直线2l 的斜率是4
a -， 因为直线12l l ⊥，所以()214a ⎛⎫
-⨯-=- ⎪⎝⎭
，解得2a =-. 故选A. 【点睛】
本题考查直线垂直的斜率关系. 2．对于任意实数给定下列命题正确的是（ ）
A ．若，则
B ．若，则
C ．若则
D ．若
则
【答案】C
【解析】试题分析：若，取，则
，故A 错误；若，
，则，故B 错误；若则
，所以
，故C 正确；若
取
，则
，
故D 错误。

故选C 。

【考点】不等式的性质
点评：判断不等式是否成立，可通过取值进行排除。

3．在ABC ∆中，若点D 满足3BD DC =，点E 为AC 的中点，则ED =（ ）
A ．5163AC A
B + B ．
11
44AB AC + C ．3144
AC AB -
D ．5163
AC AB -
【答案】B
【解析】根据向量的减法运算得到ED CD CE =-，再根据图形的特点得到结果即可. 【详解】
1142ED CD CE CB CA =-=- ()
1111
4244
AB AC AC AB AC =-+=+.
故答案为：B. 【点睛】
这个题目考查了向量的减法运算以及向量的基底化表示，一般计算长度和夹角未知的向量时，需要将这些向量转化为已知长度和夹角的向量.
4．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a =（ ） A.8 B.18
C.14
D.14-
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，求得1,a d ，可求解10a ，得到答案. 【详解】
由题意，设等差数列的首项为1a ，公差为d ，
因为17747()
7142
a a S a +=
==，解得42a =， 又由452a S +=，则15535()
502
a a S a +=
==，解得30a =， 所以432d a a =-=，又由311240a a d a =+=+=，所以14a =-， 所以101949214a a d =+=-+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知 2a b =＝，A 4
π
=，则B =
（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
6
π或56π
D ．
3
π或23π
【答案】D
【解析】由正弦定理sin sin a b A B
=
，可得：sin 2sin 22
b A B a ⋅===，进而可求解角B 的大小，得到答案。

【详解】
由题意，因为2a =
，b =
4
A π
=
，
由正弦定理sin sin a b A B
=
，可得：sin 2sin 2b A B a ⋅===， 又因为b a >，则B A >，可得：,4B ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以3B π=或23π．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦
定理，求得sin B =
6．若实数,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可． 【详解】 由z ＝x ﹣2y 得y 1
2
=
x 2z -，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）
:
平移直线y 1
2
=
x 2z -，
由图象可知当直线y 1
2
=x 2z -，过点B （0，1）时，
直线y 1
2
=
x 2z -的截距最大，此时z 最小，
代入目标函数z ＝x ﹣2y ， 得z 0=-212⨯=-，
∴目标函数z ＝x ﹣2y 的最小值是：2-． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A ．24里 B ．12里
C ．6里.
D ．3里
【答案】C
【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以
1
2
为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 【详解】
解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比1
2
q =
的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
==-，解得：1192a =，
651
19262
a ∴=⨯
=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 8．已知,m n 是两条直线，,αβ是两个平面，则下列命题中正确的是（ ） A.,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒ B.//,//m n n m ααβ⋂=⇒ C.//,//,m m n n αβαβ⊥⇒⊥
D.,,////m n m n αβαβ⊥⊥⇒
【答案】D
【解析】A不正确，因为n可能在平面β内；
B两条直线可以不平行；
C当m在平面β内时，n此时也可以在平面β内。

故选项不对。

D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的。

故答案为：D。

9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3
【答案】B
【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．
故选B．
【考点】由三视图求面积、体积．
10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD
＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（ ）
A ．
57
B ．
75
C D 【答案】A
【解析】由题意平移AA 1，异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角，在△EFG 中可求． 【详解】
解：取A 1B 1中点G ，连接EG ，FG ，EG ⊥FG ，因为EG ∥AA 1， 所以异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角， 在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan ∠FEG 57
=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，属于简单题．
1140y --=与圆()2
2225x y +-=交于A ，B 两点，P 为圆上异于A ，B 的动点，则ABP △的面积的最大值为( ) A ．8 B ．16
C ．32
D ．64
【答案】C
【解析】试题分析：设与直线40y --=平行的直线+C 0y -=．当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径得，C=12或C=-8．显然，当C=12时，直线与圆的切点到直线的距离（两条平行线间的距离）最大且为
，同时可得，弦
，所以ABP 的面积的最大值为
．故选C ．
【考点】直线与圆的综合问题．
12．如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记
M OA OC =⋅，N x y =+，分别考察,M N 的所有运算结果，则（ ）
A ．M 有最小值，N 有最大值
B ．M 有最大值，N 有最小值
C ．M 有最大值，N 有最大值
D ．M 有最小值，N 有最小值
【答案】B
【解析】设OCB α∠=，用α表示出,M N ，根据α的取值范围，利用三角函数恒等变换化简,M N ，进而求得,M N 最值的情况. 【详解】
依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠=，所以1AC AB =
=.设OCB α∠=，则
30,090ABx αα∠=+<<，所以()())30,sin 30
A
αα++，
()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以
()()
12cos sin 30sin 2302
M OA OC ααα==+=++⋅，当23090,30αα+
==
时，M 取得最大值为13
122
+=.
OA xOB yOC =+，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y ααα
α
++=
=，所以
()()
30sin 302sin 2cos N x y ααα
α
++=+=
+12sin 2α
=+
，当29
0,45αα==时，
N 有最小值为12
+
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
二、填空题
13．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos αα+的值为__________． 【答案】15
-
【解析】按三角函数的定义，有431sin cos 555
αα-+=
+=-. 14．过点1(,1)2
P 的直线与圆22
:(1)4C x y -+=交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB
∠最小时，直线的方程为___． 【答案】
【解析】【详解】
当∠ACB 最小时，弦长AB 最短，此时CP ⊥AB . 由于C (1,0)，P (
12，1)，∴k CP ＝－2，∴k AB ＝1
2
， ∴直线l 方程为y －1＝12 (x －1
2
)， 即2x －4y ＋3＝0.
15．已知实数0a >，0b >，11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是______．
【答案】
【解析】先利用基本不等式求得(1)2(1)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】
由题意，设23(1)2(1)z a b a b =++=+++， 又由
112(1)1
[(1)2(1)](
)3331111b a a b a b a b +++++⋅+=++≥+=+++++
当且仅当
2(1)1
11
b a a b ++=++时，即1)a b b +=+时等号成立，
即z 的最小值为3+，所以2+a b 的最小值是
故答案为：【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得
(1)2(1)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，
属于中档试题.
16．正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点M 在正方体表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹的周长为______．
【答案】【解析】在棱1,AB BB 上分别取点,P Q ，使得12,BP PA BQ QB ==，得到点M 的轨迹为PEQ ∆，即可求得轨迹的周长，得到答案. 【详解】
由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得1BD ⊥平面1ACB ， 在棱1,AB BB 上分别取点,P Q ，使得12,BP PA BQ QB ==， 分别连接,,PE PQ EQ ，则1//,//PE AC EQ B C ， 所以平面1//AB C 平面PEQ ，所以1BD ⊥平面PEQ ， 即点M 的轨迹为等边PEQ ∆，
又由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以AC =
所以2
3
PE AC =
=PEQ ∆的周长为
即点M 的轨迹的周长为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方体的几何性质的应用，以及线面垂直关系的应用，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，得到点M 的运动轨迹是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
三、解答题
17．已知a ，b 为两个不共线向量，2a =，1b =，2c a b =-，d a kb =+. （1）若//c d ，求实数k ；
（2）若7k =-，且c d ⊥，求a 与b 的夹角. 【答案】（1）1
2k =-
（2）3
πθ= 【解析】分析：（1）向量//c d ，则存在实数λ使得c d λ=r
u r
，由此可得,k λ的方程组，从而解得k ；
（2）由0c d ⋅=求得a b ⋅．
详解：（1）∵//c d ，∴c d λ=，∴()
2a b a kb λ-=+，
21
12k k λλ=⎧⇒=-⎨
-=⎩
. （2）∵7k =-，∴7d a b =-，又∵c d ⊥， ∴()()270a b
a b --=，∴2
221570a
a b b -⋅+=，
又∵2a =，1b =，∴1a b ⋅=，∴
1
cos 2
a b a b θ⋅==. 又∵[]
0,θπ∈，∴3
π
θ=
.
点睛：本题考查向量的平行与垂直，解题关键是掌握它们成立的条件．向量//c d （0d ≠）⇔存在实数λ使得c d λ=r u r
，向量c d ⊥⇔0c d ⋅=． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3
12
n n S a =
-（a N *∈）．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3
2log 12n
n a b =+，求12231111n n
b b b b b b -++⋅⋅⋅． 【答案】（1）1
23n n a -=⋅；（2）
1
21
n n --. 【解析】（1）当1n =时，求得12a =，进而利用递推关系式，得到数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得32log 1212
n
n a b n =+=-，利用“裂项法”，即可求解，得到答案. 【详解】
（1）当1n =时，113
12
a a =-，解得12a =． 由3
12n n S a =
-， ① 则()113
122
n n S a n --=-≥， ②
所以①－②得1331122n n n a a a -⎛⎫⎛⎫
=---
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即13n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，
数列{}n a 的通项公式1
23n n a -=⋅．
（2）由（1）得3
2log 1212
n
n a b n =+=-， 所以
()()
1223111111113352321n n b b b b b b n n -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⨯⨯-- 111111112335232121n n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解，以及利用“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及熟练应用“裂项法”求和的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．如图，在直四棱柱-P ABCD 中，ADB 90∠=，CB CD =．点E 为棱PB 的中点．
（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ． 【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【解析】分析：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，先证明BD ⊥平面PCO ，再证明PC BD ⊥．(2)先证明平面CEO 平面PAD ，再证明CE 平面PAD ． 详解：证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，
因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又PO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ，
又EO ⊄平面PAD ，所以EO 平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO 平面PAD ． 又=CO EO O ⋂，所以平面CEO 平面PAD ， 而CE ⊂平面CEO ，所以CE 平面PAD ．
点睛：本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用.
20．在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．
（1）求边长c ；
（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长．
【答案】（1（2）8+【解析】（1）由正弦定理可得sin sin a C c A =，再由sin 5a C =，求得5
sin A c
=，利用三角函数的基本关系式，列出方程，即可求解；
（2）由ABC ∆的面积公式和sin 5a C =，解得8b =，再由余弦定理，求得解得
a =.
【详解】
（1）由正弦定理可得：
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c
=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c
=，
又因为2
2
22
2516
sin cos 1A A c c +=
+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1
sin 202
S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，
由余弦定理，可得2
2
2
2cos 64412841
a b c bc A =+-=+-=，
解得a =，
所以ABC ∆的周长88L a b c =++==+
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
21．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线
34100x y -+=上任意一点．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．
【答案】（1）()()2
2
314x y -+-=（2）
【解析】（1）首先列出圆的标准方程()()()22
20x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，
1
2222
S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是
圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】
解：（1）设圆C 的方程为()()()2
2
20x a y b r r -+-=>．
由题意得()()(
)()222
222
250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,
1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,
1,
x y =⎧⎨
=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
（2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC
S S =．
因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以1
2
PMC
S
PM CM PM =
⋅=，即22PMC
S S PM ==．
因为PM CM ⊥
，所以PM ==
因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以
3PC ≥
=，
则PM
=≥2PMC
S S
=≥
故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
22．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，且2AD =，1AB =，若PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.
（1）证明：PF DF ⊥；
（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ？若存在，确定点G 的位置：若不存在，说明理由；
（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A PD F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，EG ∥
平面PFD ；（3【解析】（1）连接AF ，利用勾股定理，证得DF AF ⊥，利用线面垂直的判定定理证得DF ⊥平面PAF ，即可证得DF PF ⊥；
（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，利用面面平行的判定定理，证得平面//EHG 平面PFD ，得到//EG 平面PFD ，即可得到结论；
（3）取AD 的中点M ，连接FM ，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN ，得到则
PD ⊥平面FMN ，得出MNF ∠为二面角A PD F --的平面角，直角FMN ∆中，即
可求解. 【详解】
（1）连接AF ，则AF =
，DF =，又2AD =，
由222DF AF AD +=，所以DF AF ⊥， 又由PA ⊥平面ABCD ，则DF PA ⊥， 又由PA
AF A = ，所以DF ⊥平面PAF ，
又因为PF ⊂平面PAF ，所以DF PF ⊥．
（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，且有1
4AH AD =， 再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，连接EG ，则//HG 平面PFD 且1
4
AG AP =， 所以平面//EHG 平面PFD ，又由EG ⊂平面PFD ，所以//EG 平面PFD ， 所以当G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，使得EG ∥平面PFD ． （3）因为PA ⊥平面ABCD ，
所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=︒，所以1==PA AB ，
取AD 的中点M ，连接FM ，则FM AD ⊥，FM ⊥平面PAD ，所以FM PD ⊥， 在平面PAD 中，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN ，则PD ⊥平面FMN ， 则MNF ∠为二面角A PD F --的平面角， 因为Rt MND Rt PAD △△∽，所以
MN MD
PA PD
=，
因为1PA =，1MD =，PD =90FMN ∠=︒，
所以5MN =
，5
FN =，
在直角FMN ∆中，cos 6MN MNF FN ∠=
=
，
故二面角A PD F --
【点睛】
本题考查了线面平行、线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时熟记二面角的平面角的定义，得出二面角的平面角是解答的本题的一个难点.。