2020届高三数学(文理通用)一轮复习《指数与指数函数》题型专题汇编

《指数与指数函数》题型专题汇编
题型一 指数幂的运算
1、若实数a >0，则下列等式成立的是( )
A ．(－2)－2＝4
B ．2a －3＝12a 3
C ．(－2)0＝－1
D ．4
14
a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝1a
答案 D
解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2
a
3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，
故C 错误；对于D ，4
14a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝1
a
，故D 正确．
2、计算：23
278-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
＋1
2
0.002-－10(5－2)－1＋π0＝________.
答案 －167
9
解析 原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋1
2
500－10(5＋2)(5－2)(5＋2)
＋1＝49＋105
－105－20＋1＝－1679.
3、化简：()
()
3
12
11
332
140.1a b
-
--⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
⋅⋅(a >0，b >0)＝________.
答案 85
解析 原式＝2×
333
2
2332
2
210a b a b
--
⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝8
5
.
4、设a >0，将
a 2a ·3a 2
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32 答案 C
解析 原式＝a 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 23 12
＝
a 2
(a 53 )
12 ＝a 2－ 56 ＝a 7
6
.
5
、化简：4
1233
3
223384a a b
a b a -⎛-÷ ⎝
⎭+________(a >0)．
答案 a 2
解析 原式＝331
113
332211113333
222a a b a a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1
22
311
331115322a a a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭÷⨯⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
51116
2333
111
336
2.2a a a a b a a b a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭- 题型二 指数函数的图象及应用
1、函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )
解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数， 且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．
2、函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0<a <1且0<b <1)的图象一定不经过第________象限． 解析：由0<a <1可得函数y ＝a x 的图象单调递减，且过第一、二象限， 因为0<b <1，所以－1<b －1<0，所以0<1－b <1，
y ＝a x 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a x ＋b －1的图象，所以y ＝a x ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限． 答案：三
3、函数f (x )＝a x －
b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是(
)
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0 答案 D
解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.
4、不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a
2恒过一定点，则这个定点的坐标是( )
A ．(1，－1
2)
B ．(1，1
2)
C ．(－1，－1
2)
D ．(－1，1
2
)
答案 C
解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a(2x －12)－2x ，令2x －1
2＝0，得x ＝－1，
则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点(－1，－1
2)．
5、函数y ＝a x
－2 019
＋2 019(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．
解析：∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，∴y ＝a x －2 019＋2 019恒过定点(2 019,2 020)． 答案：(2 019,2 020)
6、已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－
a <2c
D ．2a ＋2c <2
答案 D
解析 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，
∵a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1. ∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2，故选D.
7、已知实数a ，b 满足等式2 019a ＝2 020b ，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.
8、方程2x＝2－x的解的个数是________．
答案 1
解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
9、已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.
所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.
10、已知a>0，且a≠1，若函数y＝|a x－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
解 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图1.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <2
3
.
②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图2，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．
所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，23. 题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
1、已知a ＝432，b ＝254，c ＝13
25，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b
答案 A
解析 由a 15＝15
432⎛⎫ ⎪⎝⎭＝220，b 15＝15
4
52⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15， 所以b <a <c .
2、设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．c >a >b
C ．a >b >c
D ．b >a >c 答案 C
解析 因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1，所以a >b >c . 3、设x >0，且1<b x <a x ，则( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．1<b <a
D ．1<a <b
答案 C
解析 ∵x >0时，1<b x ，∴b >1.∵x >0时，b x <a x ， ∴x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x >1.∴a
b
>1，∴a >b ，∴1<b <a . 4、若－1<a <0，则3a
，13
a ，a 3的大小关系是__________．(用“>”连接) 答案 3a >a 3
>13
a
解析 易知3a
>0，1
3
a <0，a 3
<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3
<()13
a -，
即－a 3
<－13a ，所以a 3
>13a ，因此3a
>a 3
>13
a .
5、函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．与x 有关，不确定
答案 A
解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称，易知b ＝2，c ＝3， 当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )，
当x >0时，3x >2x >1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (b x )<f (c x )， 当x <0时，3x <2x <1，又f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x )<f (c x )，综上，f (b x )≤f (c x )．
6、已知f (x )＝2x －2－
x ，a ＝1
479-
⎛⎫
⎪⎝⎭，b ＝15
97⎛⎫
⎪⎝⎭
，则f (a )，f (b )的大小关系是__________． 答案 f (b )<f (a )
解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又a ＝1
479-
⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1497⎛⎫ ⎪⎝⎭>15
97⎛⎫
⎪⎝⎭
＝b ， ∴f (a )>f (b )．
7、已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a
＝⎝⎛⎭⎫13b
，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B.函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭
⎫13x
的图象如图所示．
由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭
⎫13b
得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 命题点2 解简单的指数方程或不等式 1、设2x ＝8y
＋1,
9y ＝3x －
9，则x ＋y 的值为( )
A ．18
B ．21
C ．24
D ．27 答案 D
解析 由2x ＝8y ＋1得2x ＝23y ＋3，所以x ＝3y ＋3，① 由9y ＝3x －9得32y ＝3x －9，所以2y ＝x －9，② 联立①②，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.
2、已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x
，x ≥0，
2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______．
答案 1
2
解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为1
2
.
3、若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0}
解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x
－4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2<0，
2
－x ＋2－4>0，
解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．
4、若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 答案 ⎣⎡⎭
⎫－3
4，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，
得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x .∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭
⎫12x 在R 上是减函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－3
4，＋∞. 5、不等式⎝⎛⎭⎫13x －x 2<9的解集是________． 答案 {x |－1<x <2}
解析 原不等式可化为3x 2－x
<32，
因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以x 2－x <2，解得－1<x <2， 所以原不等式的解集为{x |－1<x <2}．
6、已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取
值范围是________． 答案 (0,1)∪(2，＋∞)
解析 由题意知f (x )在R 上是单调增函数，当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增． 故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
7、设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋1，0≤x <1，2－2x
，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值是( )
A ．－1
B ．－13
C ．－12 D.1
3
答案 B
解析 易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，
又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增， 则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2， 即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
g (m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，g (m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1≤m ≤－13
，
即实数m 的最大值为－13
.
8、关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－2，－1)∪(0,1]
B ．[－2，－1]∪(0,1]
C ．[－2，－1)∪(0,2]
D ．[－2，－1]∪(0,2]
解析：∵方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，又y ＝2x ∈(0,2]，∴0<a 2＋a ≤2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋a >0，a 2＋a ≤2.解得－2≤a <－1或0<a ≤1.答案：A 9、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x <2，
x 2，x ≥2，
若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C ．[2,6]
D ．[2，＋∞)
解析：易知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x <2，
x 2，x ≥2是定义域在R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，
∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]．故选B. 命题点3 指数函数性质的综合应用 1、函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋1的值域为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞) 答案 B
解析 y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t >0，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2，
此函数在t ∈(0，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域是(1，＋∞)．
2、已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1－2－
x ，x ≥0，
2x －1，x <0，则函数f (x )是( )
A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
解析：选C.易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0， 则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.
3、若函数f (x )＝2x ＋1
2x －a
是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋2－x
＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x ＋12x －1>3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；
当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．
4、设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为__ 解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，
则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．
①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1
a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12
＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝1
3. ②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤
1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎡⎦⎤
1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝1
3
或3.
答案：13或3
5、已知函数f (x )＝2|2x －m |
(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围
是________． 答案 (－∞，4]
解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m
2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m
2
≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． 6、函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．
答案 [0，＋∞)
解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增，
所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)． 7、若函数f (x )＝243
13ax x ⎛⎫
⎪⎝⎭
－＋有最大值3，则a ＝________.
答案 1
解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )
，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎨⎧
a >0，
12a －16
4a ＝－1，
解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
《指数与指数函数》课后作业
1、设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a 答案 C
解析 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1， 所以b <a <c .
2、已知函数f (x )＝5x ，若f (a ＋b )＝3，则f (a )·f (b )等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．25 答案 A
解析 ∵f (x )＝5x ，∴f (a ＋b )＝5a ＋b ＝3，∴f (a )·f (b )＝5a ×5b ＝5a ＋b ＝3.故选A. 3、已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b
答案 C
解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x >1. ∴a
b
>1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 4、已知f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )
A ．[9,81]
B ．[3,9]
C ．[1,9]
D ．[1，＋∞) 答案 C
解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，
因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故选C.
5、若函数f (x )＝a |2x －
4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－1
3
(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
6、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，
－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[－3,0)
C ．[－3，－1]
D ．{－3} 答案 B
解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－1
2a ，－1和 [－8,1]，即－8≤－1
2
a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)．
7、若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －1
3的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 答案 －1
解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，
∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－2
3，则实数a 能取的最大整数为－1.
8、不等式222
x x
－＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．
答案 (－1,4)
解析 原不等式等价于2
22x x －＋>2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4， 即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.
9、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是_____ 答案 (－1,2)
解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x
，
因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭
⎫12x 恒成立等价于m 2
－m <2，解得－1<m <2. 10、已知函数f (x )＝2x
－1
2x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，
则函数g (x )的最小值是________．
答案 0
解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －1
2
x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；
当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x
＝12
x －2x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0， 所以函数g (x )的最小值是0.
11、设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －1，x <1，
2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫2
3，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C
解析 令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .
当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，
当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )<g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1， 解得2
3≤a <1；a ≥1，且2a ≥1，解得a ≥1.
综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.故选C.
12、若函数f (x )＝2|x ＋
a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，
最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________． 答案 (0,4]
解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．
当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]． 13、设f (x )＝|2x －
1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”)
答案 <
解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1.
若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；
若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4. 综上知，总有2a ＋2c <4.
14、已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x
＋2的最大值和最小值． 解 由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，即0≤x ≤2. 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1. 当t ＝1
2
，即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.
15、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x
－m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x
在(－∞，1]上恒成立．
又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x
与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤5
6， 即m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，5
6. 16、已知函数f (x )＝14x －λ
2
x －1＋4(－1≤x ≤2)．
(1)若λ＝3
2，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．
解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32
时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫1
4≤t ≤2.
所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74.所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤
74，5316.
(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．
设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫
12
≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝65
8.
∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658.故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，65
8. 17、设f (x )＝x （1－2x ）
1＋2x
.
(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)讨论函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)根据题意，f (x )＝x （1－2x ）
1＋2x
，
则f (－x )＝（－x ）（1－2－x ）1＋2－x ＝（－x ）（2x －1）2x ＋1＝x （1－2x ）
1＋2x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．
(2)因为f (x )＝x （1－2x ）1＋2x ＝－x ＋2x 2x ＋1
，
所以f ′(x )＝－1＋2（2x ＋1）－2x （2x ln 2）（2x ＋1）2＝－1＋2
2x ＋1－2x （2x ln 2）（2x ＋1）2
，
因为x ＞0，所以2x ＋1＞2，所以22x ＋1＜1，所以－1＋2
2x ＋1＜0，所以f ′(x )＜0，
故函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减． 18、已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.
(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，
令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤
18，1. 故y ＝2t 2
－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142
－9
8，t ∈⎣⎡⎦
⎤18，1，
故值域为⎣⎡⎦
⎤－9
8，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，
设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，
当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．
当a <0时，开口向下，对称轴m ＝1
4a
<0，过点(0，－1)，不成立．
当a >0时，开口向上，对称轴m ＝1
4a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.
19、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b
2＋a
＝0，解得b ＝1，
所以f (x )＝－2x ＋1
2x ＋1＋a
.
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12
＋11＋a ，解得a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2
＝－12＋1
2x ＋1，
由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．
因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－1
3.
故k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
3.。