韦达定理应用

韦达定理：
一元二次方程的两个根分别为，那么则有：
;
一元二次方程的两个根分别为，那么则有：
;
1：已知两个根其中的一个，就可以代入韦达定理的关系式里的任何来求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验。

例：一元二次方程，它的一个根是2，求它另外一个根。

解：设另外一个根为x₁，由公式（）知：
2：根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。

例：已知一元二次方程的两个根是和，求这个方程。

解：设所求方程为则
所求方程为
3：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。

例：已知两个数的和为20，乘积为23，求这两个数。

解：设这两个数分别为方程的两个根，根据韦达定理：，则的根即为所求两数。

解得
，为所求两个数。

4：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。

例：已知方程，不解方程，求它的两个根的倒数平方和。

解：设方程的两个根。

根据韦达定理： ;
5：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。

例：已知方程，不解方程，求一个新方程，使得新方程的两个根分别是原方程各个根的立方。

解：设原方程的两个根为，那么：，。

设新方程为，它的两个根是，根据题意：，。

；
所求方程为
6：利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值。

例：已知方程的两个根倒数的和是求的值。

解：设方程的两个根为，那么：，
又依题意。