辽宁省丹东市2025届高三上学期总复习阶段测试 数学试卷(含解析)

辽宁省丹东市2025届高三上学期总复习阶段测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合{}
*2
N 230A x x x =∈--≤，{}11B x x =-≤，则A B = （
）
A．{1,0,1,2}-B．{0,1,2}C．{1,2}D．{1,2,3}
2．已知复数1i
22i
z -=+，则z z -=（）
A．i
B．i -C．0D．1
-3．已知向量,a b 满足，||1a =
，||b =
2||a b -= cos ,a b = （）
A．
B．
C．
12
D．4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若44S =，816S =，则9101112a a a a +++=（
）A．36
B．32
C．24
D．16
5．已知函数2(43)3,0
()log (1),0
a x a x a x f x x x ⎧+-+>=⎨-≤⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递增，则a 的
取值范围是（）
A．13,34⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
B．30,4⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C．3,14⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D．13,34⎛⎤ ⎥
⎝⎦
6．甲、乙、丙等5人被安排到,,A B C 三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（）
A．
1925
B．
45
C．
56
D．
23
7．已知3log 5a =，2log 3b =，4
ln 3e c =，则（）
A．a b c
<<B．c b a
<<C．b c a <<D．c a b
<<8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)(1)()f x f x f x +=-+，则(2024)(2026)f f +=（
）A．1
-B．0
C．1
D．2
二、多选题（本大题共3小题）9．设函数2()(2)(1)f x x x =+-，则（）
A．()f x 有三个零点
B．0x =是()f x 的极小值点
C．()f x 的图象关于点(1,2)--对称
D．当01x <<时，()
2
()f x f x >10．已知函数π()cos (1sin )tan 24x f x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，则（
）
A．()f x 为偶函数
B．()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
C．()f x 最小正周期为2πD．()f x 的图像是中心对称图形
11．已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则（
）
A．x y +有最小值为B．xy 有最大值为
23
C．22x y +有最小值为
23
D．22x y +有最大值为1
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =
．13．求值：
22
=
．
14．已知等差数列{}n a 的公差为
2π3
，集合{}
*
sin N n M a n =∈∣，且{,}M a b =，则ab =
；若1π0,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则{}n a 的前30项的和30S =
．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数()2cos()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的部分图象如图所示．
(1)求()f x 的解析式；
(2)若将()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍，得到函数()g x ，求()g x 在ππ
[
,]123
的值域．16．记n S 为等差数列的前n 项和，141n n n S a a +=+，*
0,N n a n ≠∈．
(1)求的通项公式；
(2)若2
2
n n n a S b =，求使n b 取得最大值时n 的值．
17．记ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC V 周长为3，且
sin sin (1)sin C A c B -=-．
(1)求A ；
(2)若ABC V 的面积为
12
，求sin sin B C +的值．
18．甲乙两人各有n 张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，21n -，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n ，两人进行n 轮比赛，在每轮比赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，21n -每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当4n =时，求甲的总得分小于2的概率．(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1i =，2，3，…，n ，则11
n n
i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记n 轮比赛（即从第1轮到第n 轮比赛）中甲的总
得分为Y ，乙的总得分为Z ，求()E Y 和()E Z 的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？19．已知函数()(2)ln(1)2f x ax x x =+-+．(1)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；
(2)当0x ≤时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
(3)人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢21厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在()*
N n n ∈
个中性氢原子，其辐射强度ρ≥t
级．已知某星系辐射强度0ρ满足11404
1161(12)n
n n n ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭=
-，求证：该星系的辐射强度没有
达到3级．
参考答案
1．【答案】C
【详解】解2230x x --≤得13x -≤≤，则{}1,2,3A =，解11x -≤得02x ≤≤，即{}02B x x =≤≤，所以{}1,2A B = .故选：C 2．【答案】B 【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42
z ----===-++-，所以1i 2
z =
，则1
i i i 2
12z z -=--=-.
故选：B.
3．【答案】A
【详解】由||1a =
，||b =
2||a b -=
得()
222444343a b a b a b a b -=+-⋅=+-⋅= ，所以1a b ⋅=
，
所以cos ,3a b
a b a b ⋅===
.故选：A.4．【答案】A
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由44S =，816S =，得56788412a a a a S S +++=-=，
因此4
5678
4
3a a a a q S +++=
=，所以491011125678()36a a a a q a a a a +++=+++=.
故选：A 5．【答案】C
【详解】因为()f x 为R 上的增函数，故：()0143023log 10a a a a <<⎧⎪-⎪
≥⎨⎪≥-⎪⎩，解得3,14a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
故选：C.6．【答案】A
【详解】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到,,A B C 三个社区做志愿者，
每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按1,1,3和1,2,2分组，
再分配到三个社区，共有2233
3533
5
3
22
C C A C A 150A +
=种不同的安排方法，其中甲乙在一个社区的共有1323
3333C A C A 36+=种，
则甲乙不去同一个社区的概率为3619
115025
P =-=.故选：A .7．【答案】D
【详解】由已知得4ln 3
4e
3
c =
=，比较3log 5a =和4
3
c =的大小，其中4
334
log 33
c ==，
因为3
43
35125381⎛⎫=>= ⎪⎝⎭
，所以4
3353>，
又因为3log y x =在()0,∞+单调递增，所以4
33
3log 5log 3c a ==>，即a c >；
比较2log 3b =和43
2
log 2c =的大小，其中3
43
3381216⎛⎫=>= ⎪⎝⎭
，即4332>，
因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以4
322
log 3log 2b c =>=，即b c >；
比较3log 5a =，2log 3b =的大小，33log 5log 31a =>=，22log 321log b =>=，
因为2
2
2
33333333323log 5log 5log 5log 2log 10log 9log 5log 21log 3log 3222log 2
a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以a b <，即c a b <<，故选：D .8．【答案】B
【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)()f x f x f x +=-+，令x -代x ，可得(1)(1)()f x f x f x -=++-，
联立(1)(1)()(1)(1)()f x f x f x f x f x f x +=-+⎧⎨-=++-⎩
，可得()()f x f x -=-，
所以()f x 是定义在R 奇函数，所以(0)0f =，由(1)(1)()f x f x f x +=-+，令1x +代x ，
可得(2)()(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x +=-++=-+-+，因为()()f x f x -=-，所以(2)(1)f x f x +=-，令1x +代x ，，则(3)()()f x f x f x +=-=-，令3x +代x ，则()(6)(3)f x f x f x +==-+=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数.由(1)(1)()f x f x f x +=-+，
令1x =，可得(2)(0)(1)(1)f f f f =+=，
令2x =，可得(3)(1)(2)(2)(1)0f f f f f =-+=-=，
令3x =，可得(4)(2)(3)(2)(1)f f f f f =-+=-=-，所以()(2024)(33762)2(1)f f f f ==⨯+==，()(2026)(33764)4(1)f f f f ==⨯+==-，
所以(2024)(2026)(1)(1)0f f f f +=-=.故选：B.9．【答案】BCD
【详解】对于A，令2()(2)(1)0f x x x =+-=，解得2x =-或1x =，所以()f x 有两个零点，故A 错误；
对于B，22()2(2)(13)6(2)x x f x x x x '==+-+++，令260()3x f x x =+='，解得2x =-或0x =，当2x <-或0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，故B 正确；
对于C，因为22(1)(1)(12)(11)(12)(11)f x f x x x x x -++--=-++-+-+--+---()
()()()2
2
12124x x x x =+-+---=-，
即()(1)(1)22f x f x -++--=⨯-，
则()f x 的图象关于点(1,2)--对称，故C 正确；
对于D，由对于A 的分析可知，当0x >时，()f x 单调递增，则当01x <<时，()f x 单调递增，
又当01x <<时，2x x >，所以()2
()f x f x >，故D 正确.
故选：BCD.10．【答案】BC 【详解】
ππ
π,Z 242x k k +≠+∈，π2π2
x k ≠+，Z k ∈，所以函数的定义域π
2π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，
故A 错误；
tan 1sin cos
π222tan 241tan cos sin 222
x x x
x x x x
++⎛⎫+==
⎪⎝⎭--，()2
22sin cos
221sin tan cos sin cos sin cos 242222cos sin 22
x x
x x x x x x x x x π+⎛⎫⎛⎫-+=-⋅=-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭-，
所以2
π1cos 2()cos (1sin )tan cos 242x x f x x x x +⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，
当π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()2π,2πx ∈，此时cos 2x 单调递增，故B 正确；
cos 2y x =的最小正周期为
2π
π2=，但函数的定义域是π2π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，所以函
数的最小正周期为2π，故C 正确；
因为函数的定义域是π
2π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，所以cos 21x ≠-，所以函数()f x 取不到
最小值0，但有最大值1，所以函数()f x 的图象不是中心对称图形，故D 错误.故选：BC 11．【答案】AC
【详解】对于A，由221x y xy ++=可得2()1
xy x y =+-当0xy >时，因2()4x y xy +≤，即2
2
()()14
x y x y ++-≤，即24()3x y +≤，
解得x y +≤
==x y x y +
有最小值为3
-；当0xy <时，显然有2
()
4
x y xy +<
，即得x y +<当,x y 中有一个为0时，1x y +=或1x y +=-，
综上可得，x y +
有最小值为3
-，即A 正确；
对于B，由221x y xy ++=可得2212x y xy xy +=-≥，解得1
3
xy ≤，
当x y ==
==x y xy 有最大值为13，故B 错误；
对于C，由221x y xy ++=可得()22
222xy x y =-+，因222xy x y ≤+，则()222222x y x y -+≤+，解得22
2
3
x y +≥
，
当3x y ==
或3
==x y 时等号成立，即22x y +有最小值为23，故C 正确；
对于D，当1,1x y =-=，满足221x y xy ++=，但222x y +=，故D 错误.故选：AC.
12．【答案】21
x --+【详解】当0x <时，0x ->，故()21x f x --=-，又()()f x f x -=-，故()()21x f x f x -=-=-+-，故答案为：21x --+.13．【答案】1
【详解】
2222=⎝⎭
1cos10cos101
2sin 40cos 40sin 80cos10cos10︒︒
=
==︒︒︒︒︒
.
故答案为：1
14．【答案】
1
2
-/0.5-295π
【详解】因等差数列的公差为2π
3，则32323
n n n πa a a π+=+⨯
=+，故3sin sin(2π)=sin n n n a a a +=+，
不妨设sin n n b a =，则数列{}n b 是周期为3的数列.
又{,}M a b =，故有①123b b b =≠或②123b b b ≠=或③132b b b =≠三种情况.①当12b b =时，由112πsin sin(3
a a =+
，可得112π
π()2π,Z 3a a k k =-++∈，解得
1π
π,Z 6
a k k =
+∈，若k 是偶数，则123π1π2π1π4π
sin
,sin(,sin()1,6263263
b b b ===+==+=-此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
若k 是奇数，则1237π17π2π17π4π
sin
,sin(),sin(1,6263263
b b b ==-=+=-=+=此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
②当23b b =时，由112π4πsin()sin()33a a +=+，可得112π4π
π()2π,Z 33
a a k k +=-++∈，解得1π
π,Z 2
a k k =-
+∈，若k 是偶数，则123ππ2π1π4π1
sin(1,sin(),sin(,
2232232b b b =-=-=-+==-+=此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
若k 是奇数，则123ππ2π1π4π1sin
1,sin(),sin(),2232232
b b b ===+=-=+=-此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
③当13b b =时，由114πsin sin(3
a a =+
，可得114π
π()2π,Z 3a a k k =-++∈，解得
1π
π,Z 6
a k k =-+∈，
若k 是偶数，则123π1π2ππ4π1
sin(,sin(1,sin(),
6263632b b b =-=-=-+==-+=-此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
若k 是奇数，则1235π15π2π5π4π1sin
,sin()1,sin(),6263632
b b b ===+=-=+=此时1{,1}2
M =-，1
2ab =-；
综上，可得1
2
ab =-.
当1π
(0,)2a ∈时，由上分析知1π6
a =，
因等差数列的公差为2π3，故30π30292π
30295π.623
S ⨯=⨯+
⨯=故答案为：1
2
-；295π.
15．【答案】(1)π
()2cos(26
f x x =-；
(2)[-.
【详解】（1）观察图象知，函数()f x 的最小正周期413ππ()π3123
T =
-=，则2π
2T
ω=
=，由13π
212(
f =，得13π22π,Z 12k k ϕ⨯+=∈，而||ϕπ<，则π61,k ϕ=-=，所以()f x 的解析式是π
()2cos(26
f x x =-.
（2）由（1）知，π()2cos(2)6f x x =-，则π
()(2)2cos(46
g x f x x ==-，
当ππ[,]123x ∈，则ππ7π4[,]666x -∈，而函数cos y x =在π[,π]6
上单调递减，在7π
[π,6上
单调递增，因此当π4π6x -
=，即7π
24x =时，min ()2g x =-；当ππ466
x -=，即π12x =时，
max ()g x =
所以()g x 在ππ
[
,]123
的值域为[-.16．【答案】(1)21n a n =-；(2)3.
【详解】（1）解：因为{}n a 为等差数列，且141n n n S a a +=+，*
0,N n a n ≠∈，
所以当2n ≥时，则有1141n n n S a a --=+，
两式相减，得114()2n n n n n a a a a da +-=-=（d 为等差数列{}n a 的公差），解得2=d ；
当1n =时，则有11241S a a =+，即11241a aa =+，1114(2)1a a a =++，解得11a =，
所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-；（2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2
n n n
S n +-=
=，
所以24
2122
n n n a n S n b -==，
当n b 取得最大值时，
则有11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即44
212344
21
21
(1)22
(1)22n n n n n n n n ---+⎧-≥⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，整理得()
()44444141n n n n ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩
，解得221n n ⎧≤≤⎪⎨
≥+⎪⎩
12n +≤≤+又因为*N n ∈，解得3n =，所以3b 最大，且381
32
b =
.所以当n b 取得最大值时，3n =.17．【答案】(1)π3
A =；
(2)
8
.【详解】（1）解：因为sin sin (1)sin sin sin C A c B c B B -=-=-，即b c a bc +-=，又因为3b c a ++=，所以()()3b c a b c a bc +-++=，
即22()3b c a bc +-=，所以222b c a bc +-=，
所以2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，又因为0πA <<，所以π3
A =
．
（2）解：因为
1sin 2bc A =
π3A =，所以1
3
bc =，
又因为b c a bc +-=，
所以1
3b c a +-=，又3b c a ++=，
得5
3b c +=，43
a =，
由正弦定理可得
sin sin sin 8
c B C A a b ===
，
所以sin sin sin sin ()88b A c A B C b c a a +=+=+=
．18．【答案】(1)
12
(2)甲得分最小值和最大值的概率都为
1!
n (3)答案见解析【详解】（1）甲顺序为1，3，5，7，乙选卡片的不同顺序共有4！=24种，而使得甲得分小于2的所有顺序共有12种，
2，4，6，8
2，4，8，6；2，6，4，8；2，6，8，
4；
2，8，6，4；4，2，6，8；
4，6，2，8；4，6，8，2；4，8，6，2；6，4，8，2；6，4，2，8；8，4，6，2．由古典概型得甲的总得分小于2的概率为121242
=；（2）甲按照固定顺序1，3，5，7，…，21n -，乙按照2、4，6，8，…，2n ，甲得分最小值为0，则概率为1!
n ．甲按照固定顺序1，3，5，7，…，21n -，乙按照2n 、2，4，6，…，22n -，甲得分最大值为1n -，则概率为
1!n ．（3）设随机变量1,1,2,,0,i i X i n i ⎧==⋅⋅⋅⎨⎩
第轮得分的是甲，第轮得分的是乙，则i X 服从两点分布，()11i i P X n -==，且1
n i i Y X ==∑，由题意可得，()1111121112n n i i i i n n E Y E X E n n n n ==⎛⎫⎛⎫-----===++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑()1122
n n E Z n -+=-=，因为()()1E Y E Z -=-，
所以随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差不变，总是甲比乙多1分.
19．【答案】(1)()f x 在(,1)-∞单调递减
(2)(]
,1-∞-(3)证明见解析
【详解】（1）当1a =-时．()(2)ln(1)2f x x x x =--+．其定义域为(,1)-∞，所以()1ln(1)11f x x x
=---+-'，令()1()ln(1)11g x f x x x
==---'-+，所以()2(1)x g x x =-'-．当(,0)x ∈-∞时，()0g x '>，'单调递增，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，'单调递减，
所以0x =是'的极大值点，且(0)0f '=，所以()0f x '≤恒成立．
则()f x 在(,1)-∞单调递减．
（2）因为(0)0f =，0x <，ln(1)0x ->，20x <，
若0a =，则()()2ln 1f x x x ⎡⎤=-+⎣⎦，求导可得()21x f x x
'-=-，当0x ≤时，'≥0，则()f x 单调递增，()()00f x f ≤=，不合题意；若0a >，当20x a =-<时，20f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不合题意；所以考虑0a <．
当0x ≤时，()0f x ≥等价于2ln(1)02x x ax -+≥+，令2()ln(1)2x F x x ax =-++，所以()
2224414()1(2)(1)(2)x a x a F x x ax x ax -++-=+=-++'-，
①若1a ≤-，则当0x <时，()0F x '<，故在区间(),0∞-单调递减，()00F =，所以当0x ≤时，()0F x ≥，故()0f x ≥．
②若10a -<<，244
,0a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0F x '>，
可得在区间244
,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，而()00F =，
所以当244
0a x a +-<<时，()0F x <，()0f x <．
综上，a 的取值范围是(],1-∞-．（3）由题意需证：(
)1144116112n n n n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
<-，即1
1
3
41161e 1
2n n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭
<⎛⎫- ⎪⎝⎭，
令1
x n =，*N n ∈，则(]0,1x ∈，有()()1
34161e 2x x x x --<-，
两边同时取对数得()()()1ln 14ln 24ln 23x x x x ----+≤，
只需证：()()()1ln 14ln 234ln 20x x x x -----+≤（*）
令()()()()1ln 14ln 234ln 2h x x x x x =-----+，
所以()()()()2ln 124
ln 1222x x x
h x x x x --+=-+='---，
由（1）知，∈0,1时，()()2ln 120x x x --+<，则ℎ'<0，
所以ℎ在0,1内单调递减，且()04ln 24ln 20h =-+=，所以不等式（*）成立，即该星系得辐射强度没有达到3级.。