2019届高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题含解析

问题04 函数中的存在性与恒成立问题
一、考情分析
函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享
(1) 设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）
R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .
(2) 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
⎩⎨
⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0
)(0
)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出,可把求参数范围转化为求函数值域．
(4) 利用分离参数法确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤
①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围.
(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.
(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 三、知识拓展 (1)恒成立问题
①. ∀∈D ,均有f ()>A 恒成立,则f ()min >A ； ②. ∀∈D ,均有f ()﹤A 恒成立,则 f ()ma <A ；
③. ∀∈D,均有f() >g()恒成立,则F()= f()- g() >0,∴F()min >0；
④. ∀∈D,均有f()﹤g()恒成立,则F()= f()- g() <0,∴F() ma <0；
⑤. ∀1∈D, ∀2∈E,均有f(1) >g(2)恒成立,则f()min> g()ma；
⑥. ∀1∈D, ∀2∈E,均有f(1) <g(2)恒成立,则f() ma < g() min.
(2)存在性问题
①. ∃0∈D,使得f (0)>A成立,则f() ma >A；
②. ∃0∈D,使得f(0)﹤A成立,则f() min <A；
③. ∃0∈D,使得f(0) >g(0)成立,设F()= f()- g(),∴F() ma >0；
④. ∃0∈D,使得f(0) <g(0)成立,设F()= f()- g(),∴F() min <0；
⑤. ∃1∈D, ∃2∈E, 使得f(1) >g(2)成立,则f() ma > g() min；
⑥. ∃1∈D, ∃2∈E,均使得f(1) <g(2)成立,则f() min < g() ma.
(3)相等问题
若f()的值域分别为A,B,则
⊆；
①. ∀1∈D, ∃2∈E,使得f(1)=g(2)成立,则A B
②∃1∈D, ∃2∈E, 使得f(1)=g(2)成立,则A B≠∅.
(4)恒成立与存在性的综合性问题
①∀1∈D, ∃2∈E, 使得f(1) >g(2)成立,则f()m in> g()m in；
②∀1∈D, ∃2∈E, 使得f(1) <g(2)成立,则f()ma < g()ma.
四、题型分析
解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.
(一) 函数性质法
【例1】已知函数f()＝3－a2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数,使得f()<0成立,求实数a的取值范围．【分析】本题实质是存在性问题
【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于a 2>3＋10中2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论． 【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数()()21x
f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一
的整数t ,使得()0f t <,则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】令()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ,使得()g t 在直线()h x 的下
方.()()
'
21x
g x e
x =+,当12x <-时,函数单调递减,当12x >-,函数单调递增,当1
2
x =-时,函数取得最小值为1
2
2e
-
-.当0x =时,(0)1g =-,当1x =时,(1)0g e =>,直线()h x ax a =-过定点()1,0,斜率为a ,故
()0a g ->且()113g e a a --=-≥--,解得3,12m e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
(二)分离参数法
【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；
(2)若2
()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.
【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为
3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：lne 13a ++=,从而解得1a =；
（2）要使2
()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max 2
()[
]f x k x ≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()x
g x x
+=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：22
1
(1ln )
ln '()x x x x g x x x
⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴
()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求
.
(2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∴2
()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x
k x
+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()x
g x x
+=
,则问题转化为求()g x 的最大值, 22
1
(1ln )
ln '()x x x
x g x x x
⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.
【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.
利用分离参数法确定不等式(),0f x λ≥,（,x D λ∈为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤 (1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； (2)求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
(3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. 【牛刀小试】【2017湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数
()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈．
(1)若4t =,且1
[,2]4
x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； (2)若01a <<,且1[,2]4
x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)
1
5
；(2)[2,)+∞.
(2)∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立, ∴
1
log log (22)2
a a x x t ≥+-.
又∵01a <<,1[,2]4
x ∈,22x t ≤+-,
22t x ≥-∴恒成立,
∴max (22)t x ≥-.
令21171
22)([,2])484
y x x =-+
=-+∈,
∴max 2y =.故实数t 的取值范围为[2,)+∞.
(三)主参换位法
【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减
函数,(1)求a 的值；(2)若[]2
()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求t 的取值范围.
【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解. 【解析】(1)1a =
(2)由(1)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+,
()g x 在[]11
-，上单调递减, ()cos 0g x x λ'∴=+≤
cos x λ∴≤-在[]11-，
上恒成立, 1λ∴≤-，
[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--, ∴只需2sin11t t λλ--≤++,
2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立,
由上述②结论：可令()2
(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,
则2
t 10
1sin110t t +≤⎧
⎨
--+++≥⎩, 21sin10
t t t ≤-⎧
∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立,1t ∴≤-. 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再求
解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.
【牛刀小试】若不等式()
2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数的取值范围.
12x <<
【解析】()
2
211x m x ->-可转化为()2
1210m x x --+<,设()()
2
1210f m m x x =--+<,则()
f m
是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()22
1201220
f x x f x x ⎧=-<⎪
⎨-=--+<⎪⎩,12x <<. (四)数形结合法
【例4】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围.
【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k =-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.
【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的
有两类函数：若二次函数()2
0y ax bx c a =++≠大于0恒成立,则有00
a >⎧⎨
∆<⎩,同理,若二次函数()2
0y ax bx c a =++≠小于0恒成立,则有0
a <⎧⎨∆<⎩.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时,()3
f x x =,若不等式()(
)2
42f t f m mt
->+对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(
,-∞ B ．()
C. ()),0-∞⋃+∞ D ．()
,-∞⋃+∞
【答案】A
(五)存在性之常用模型及方法 【例5】设函数()2
1ln 2
a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.
（1）求b 的值；
（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得()1
a
f x a <
-,求a 的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a ,b 的方程,进而求得b 的值：()()1a
f x a x b x
'=
+--,()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；
（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1a f x a <
-成立,只需min ()1
a f x a >-即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由（1）可知
()21ln 2
a f x a x x x -=+-,则()
()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判
断()f x 的单调性,从而可以解得a 的取值范围是()
()11,+∞.
【解析】（1）()()1a
f x a x b x
'=
+--, 由曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线的斜率为0,得()10f '=, 即()10a a b +--=,1b =； 4分（2）由（1）可得,()2
1ln 2
a f x a x x x -=+
-, ()()()()()211111x a x a a x x a a f x a x x x x
---⎡⎤--+⎣⎦'=+--==
,
令()0f x '=,得11x =,21a x a
=-,而21111a a a a --=--, ①当12a ≤
时,11a
a
≤-, 在[)1,+∞上,()0f x '≥,()f x 为增函数,()()
()min
11
1122
a a f x f ---==
-=
,
令
121a a
a --<
-,即2210a a +-<,解得11a <<. ②当
1
12
a <<时,
11a a >-,
()()
()min
ln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫
==++> ⎪
-----⎝⎭
, 不合题意,无解,10分
③当1a >时,显然有()0f x <,
01a a >-,∴不等式()1
a
f x a <
-恒成立,符合题意,
综上,a 的取值范围是()
()1
1,+∞.
【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为
",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝.处理的原则就是：不熟系问
题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知=
)(x f x x +2
2
1,=)(x g a x -+)1ln(, (1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.
五、迁移运用
1．【2018届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式230x
a x log -<对任意10,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立,则实
数a 的取值范围为（ ） A. [
1,127） B. 1,127⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 10,27⎛⎫
⎪⎝⎭ D. 10,27⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】构造函数f （）=32,g （）=-log a , 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵不等式32-log a ＜0对任意10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立,
∴f （13）≤g （13）∴3•19- 1
3
a log ≤0．∴0＜a ＜1且a ≥127∴实数a 的取值范围为[1127
，）
,故选A 2．【2018届广西贵港市高三上学期12月联考】若不等式()()21313ln
1ln33
x x
a x ++-⋅≥-⋅对任意的
(],1x ∈-∞恒成立,则a 的取值范围是（ ）
A. 10,
3⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C. [)2,+∞
D. (],2-∞ 【答案】D
【解析】由题意结合对数的运算法则有： ()213133ln
ln 3
3
x x
x
a ++-⋅≥,由对数函数的单调性有：
()2131333
3x x
x
a ++-⋅≥,整理可得： 2133x x a +≤,由恒成立的条件有： 2min
133x x
a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,其中21313233x
x x
x
y +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭
,当且仅当0x =时等号成立.即0x =时,函数2133x x y +=取得最小值2. 综上可得： 2a ≤.本题选择D 选项.
3.【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩,若关于
的不等式
()()20f x af x
⎡⎤+<⎣⎦恰有个整数解,则实数的最大值是（ ）
A.
B.
C. 5
D.
【答案】D
4．【2018届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数()1
x f x x e
=+,若对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A. (),1e -∞-
B. (]1,1e -
C. [
)1,1e - D. ()1,e -+∞ 【答案】B
【解析】函数()1x f x x e =+，对任意x R ∈, ()f x ax >恒成立,∴1x x ax e +>恒成立,即()11x a x e
>-恒成立；设()()()1
,1x
g x h x a x e =
=-,∈R ；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；
则满足不等式恒成立的是h ()的图象在g ()图象下方,求()g x 的导数()'x
g x e -=-,
且过()g x 图象上点()00,x y 的切线方程为()0
00x y y e
x x --=--,且该切线方程过原点(0,0),
则0
00x y e
x -=-⋅,即000x x e e x --=-⋅,解得01x =-；∴切线斜率为0x k e e -=-=-,∴应满足a −1>−e ,
即a >1−e ；又a −1⩽0,∴a ⩽1,∴实数a 的取值范围是(1−e ,1].故选B.
5．【2018届广东省五校高三12月联考】已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>,若有且只有两个整数1x , 2x 使得()10f x >,且()20f x >,则a 的取值范围是（ ） A. ()ln3,2 B. [)2ln3,2- C. (]
0,2ln3- D. ()0,2ln3- 【答案】C
【解析】
由题意可知, ()0f x >,即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>, ()22ln 40ax a x x a ∴->-->,设
()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-,由()121'2x g x x x -=-
=
,可知()2ln 4g x x x =--,在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数,在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上为增函数, ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0,在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ,使得()10f x >,且()20f x >,则
()()()()
{11 33a h g h g >>≤,即0{2 23
a a a ln >->-≤-,解得02ln3a <≤-,故选C.
6．【2018届陕西省西安高三上学期期中】已知函数()3
213
f x x a x =
-,若对于任意的[]12,0,1x x ∈,都有()()121f x f x -≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A. ⎡⎢⎣⎦
B. ⎛ ⎝⎭
C. 0,33⎡⎫⎛-
⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝
⎦
D. ,00,33⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A
7．【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
不等式即，
结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，
故恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则的最小值为，
据此可得实数的取值范围为.
本题选择D选项.
8．【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知对任意的，总存在唯一的，使得
成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
9．【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上学期第二次月考】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数；
所以的图像如图所示：
直线恒过点，
设过的直线与曲线相切于点且切线方程为：
，代入，故，
解得或者，
当时，，所以当时，直线可与在轴下方的图像相交．
因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方
或在直线上，故即，故选B．
10．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三10月联考】已知函数①f()=+1；②f()=-2；
③f()=；④f()=ln；⑤f()=cos。

其中对于f()定义域内的任意，都存在，使得f()f()=成立的函数是
A．①③B．②⑤C．③⑤D．②④
【答案】B
【解析】由知，对函数f()图象上任意一点，都存在一点，使
OA⊥OB，若斜率都存在，则．
对于①，由于f()=+1，所以无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故①不成立；
对于②，由于，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f()图象上任意一点，都存在一点，使OA⊥OB，故②成立；
对于③，由于，若，则，显然不成立，故③不成立；
对于④，由于f()=ln，则当时，故，直线OA为轴，此时与直线OA垂直的直线为y轴，而y 轴与函数f()的图象无交点，故④不成立；
对于⑤，由于f()=cos，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f()图象上任意一点，都存在一点，使OA⊥OB，故⑤成立．
综上可得符合条件的是②⑤．
故选B．
11．【福建省莆田市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
12．【福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知函数，，
若对任意的，，都有
成立，则的取值范围是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】由于，则，∴函数
在
上单调递减，在上
单调递增，，
．
由于任意，，
恒成立，所以
，
即时，
恒成立，即在
上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则， 而，当
时，，
所以在
单调递减， 由于
，所以时，
，
时，
，所以
，即．
13．【2018届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式2150x e nx -+>在实数集R 上恒成立,则正整数
n 的最大值是_____．
[参考数据： 215
72
e <<] 【答案】14n =
【解析】
14．【2018届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知()212b
f x x c x
=
++（b , c 为常数）和()11
4g x x x
=
+是定义在{}=|1
4M x x ≤≤上的函数,对于任意的x M ∈,存在0x M ∈使得()()0f x f x ≥, ()()0g x g x ≥,且()()00=f x g x ,则()f x 在M 上的最大值为__________.
【答案】5
【解析】∵()1114g x x x =+≥=,(当且仅当=2时,等号成立), ∴()()22212b f c g =+
+==,∴12b c =--,∴()22111222
b b b f x x
c x x x =++=+--, ∴()322
'b x b
f x x x x -=-=,∵f()在=2处有最小值,∴()'20f =,即b=8,故c=−5, 故()()322
188
5,'2x f x x f x x x
-=+-=,故f()在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数, 而()()17
185,4825522
f f =
+-==+-=,故f()的最大值为5. 15.设函数f ()＝a ＋sin ＋cos ．若函数f ()的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f ()在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】]1,1[-
16.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数2
()ln f x ax a x =--,1()x
e
g x x e =
-,其中a R ∈,e 2.718
=为自然对数的底数.
（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时,()0g x >；
（3）确定a 的所有可能取值,使得()()f x g x >在(1,)+∞区间内恒成立.
【解析】（1）由2
()ln f x ax a x =--,得2121
'()2(0)ax f x ax x x x
-=-=
>. 当0a ≤时,'()0f x <在(0,)+∞成立,则()f x 为(0,)+∞上的减函数；
当0a >时,由'()0f x =,得2x a
==±,
∴当x ∈时,'()0f x <,当)x ∈+∞时,'()0f x >.
则()f x 在上为减函数,在)+∞上为增函数.
综上,当0a ≤时,()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时,()f x 在(0,2a 上为减函数,在)2a
+∞上为增函数.
（3）由()()f x g x >,得2
11ln 0x
ax a x e x
----
+>. 设2
11()ln 0x
t x ax a x e x
-=---
+>,由题意知,()0t x >在(1,)+∞内恒成立. ∵(1)0t =,∴有1122111'()220x x x
t x ax e ax e x x x
---=-+-=+-≥在(1,)+∞内恒成立. 令121()2x x x ax e x --Φ=+
-,则11233
122'()22x x x x a e a e x x x ---Φ=+-+=++,
当2x ≥时,'()0x Φ>, 令32()x h x x -=
,426'()x h x x
-+=,函数在[1,2)上单调递增.∴min ()(1)1h x h ==-. 又21a ≥,10x
e
->,∴12x <<,'()0x Φ>.
综上所述,1x >,'()0x Φ>,()x Φ在区间(1,)+∞单调递增, ∴'()'(1)0t x t >≥,即()t x 在区间(1,)+∞单调递增,∴1
2
a ≥
. 17.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数()()ln b
f x a x b x x
=++(其中a b ∈R ，).
(Ⅰ) 当4b =-时,若()f x 在其定义域内为单调函数,求a 的取值范围；
(Ⅱ) 当1a =-时,是否存在实数b ,使得当2[e e ]x ∈，时,不等式()0f x >恒成立,如果存在,求b 的取值范围,如果不存在,说明理由（其中e 是自然对数的底数,e ＝2.71828…）.
【解析】(Ⅰ) 由题0x >,4()()4ln f x a x x x =--,2224444()(1)ax x a
f x a x x x -+'=+-=.
①当0a ≤时,知()0f x '<,则()f x 是单调递减函数；
②当0a >时,只有对于0x >,不等式2440ax x a -+≥恒成立,才能使()f x 为单调函数,只需22(4)160a ∆=--≤,解之得11a a -或≤≥,此时1a ≥．
综上所述,a 的取值范围是(,0][1,)-∞+∞． (Ⅱ) ()ln b
f x b x x x
=--
,其中0x >,222
()1b b x bx b
f x x x x
-++'=-+=． (ⅰ) 当0b ≤时,()0f x '<,于是()f x 在(0)+∞，
上为减函数,则在2[e e ]，上也为减函数, 知max 1
()(e)e (1)e 0e e
b f x f b b ==--
=--<恒成立,不合题意,舍去． (ⅱ) 当0b >时,由()0f x '=得
x =
知max
1()(e)e (1)e e e b f x f b b ==--=--,而211e 2e
(1)e (1)e 0e e e 1e 1
b -----=<++≤,
于是max
()0f x <恒成立,不合题意,e >,即2e e 1b >
+, 则()f x 在(e )上为增函数,在,+∞)上为减函数,
要使在2
[e e ]，恒有()0f x >恒成立,则必有2
(e)0(e )0f f >⎧⎨>⎩
，， 则22e 0e
2e 0e b b b b ⎧
-->⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，，
所以24324
2e e e 1e e e .2e 1b b ⎧>=⎪⎪--⎨⎪
>⎪-⎩
，由于32232e e (2e 1)e 3e 10---=-+<,则244322e e e e 1e e 2e 1=>
---,所以2
e e 1
b >-． 18. 【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数2
1()(1)2
x f x x e ax =--
()a R ∈ ()I 当1a ≤时,求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=
的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方,求a 的取值范围.
(i) 当01a <<时,ln 0a <,故：
(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,
(ln ,0)x a ∈ 时,()0f x '<,()f x 单调递减,
(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；
(ii) 当1a =时,ln 0a =, ()(1)x
x
f x xe ax x e '=-=-0≥恒成立,
()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,无减区间；
综上,当0a ≤时,()f x 的单调增区间是(0,)+∞,单调减区间是(,0)-∞；
当01a <<时,()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和,单调减区间是(ln ,0)a ；
当1a =时,()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间.
()II 由()I 知()x f x xe ax '=-
当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=的图象恒在32
(1)y ax x a x =+--的图象上方,
即32
(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立
即 2
10x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立
记 2()1x g x e ax x =--- (0)x >,
∴()()21x
g x e ax h x '=--= ()'2x h x e a ∴=-
(i) 当12
a ≤
时,()'20x
h x e a =->恒成立,()g x '在(0,)+∞上单调递增, ∴()'(0)0g x g '>=, ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=,符合题意；
(ii) 当1
2
a >
时,令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时,()'0h x <,∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减
∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<= ∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减, ∴ (0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=,不符合题意
综上可得a 的取值范围是1(,]2
-∞.
19. 【2017广东省惠州市第二次调研】已知函数()ln f x x =,()()h x a x a R =∈. （Ⅰ）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点,求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m ,使得对任意的1
(,)2
x ∈+∞,都有函数()m y f x x =+的图象在()x e g x x =的图象的
下方？若存在,请求出整数m 的最大值；若不存在,请说理由.
（参考数据：ln 20.6931=,ln3 1.0986= 1.3956==）.
【解析】（Ⅰ）函数()f x 与()h x 无公共点,等价于方程ln x
a x
=在(0,)+∞无解 令ln ()x t x x =
,则21ln '(),x
t x x
-=令'()0,t x =得x e =
因为x e =是唯一的极大值点,故max ()t t e e
==……………4分 故要使方程
ln x
a x
=在(0,)+∞无解, 当且仅当1a e >
,故实数a 的取值范围为1
(,)e +∞
20.【2017河南省天一大联考】已知函数()ln f x b x =．
（1）当1b =时,求函数2
()()G x x x f x =--在区间1,2
e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值；
（2）若在[]1,e 上存在0x ,使得000
1()b
x f x x +-<-
成立,求b 的取值范围． 【解析】（1）当1b =时,2
()()G x x x f x =--2
ln (0)x x x x =-->,
(21)(1)
'()x x G x x
+-=
,
令'()0G x =,得1x =,
当x 变化时,()G x ,'()G x 的变化情况如下表：
因为111()ln ln 212424
G =-
-=-+<,(1)0G =, 2()1(1)11G e e e e e =--=-->,
所以2
()()G x x x f x =--在区间1,2
e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值分别为：
2max ()()1G x G e e e ==--,min ()(1)0G x G ==．
（2）设1()l n b
h x x b x x +=-+
．若在[]1,e 上存在0x ,使得0001()b x f x x +-<-,即000
1ln 0b x b x x +-+<成立,则只需要函数1()ln b
h x x b x x
+=-+
在[]1,e 上的最小值小于零． 又2221(1)'()1b b x bx b h x x x x +--+=--=[]2
(1)(1)x x b x +-+=, 令'()0h x =,得1x =-（舍去）或1x b =+． ①当1b e +≥,即1b e ≥-时,()h x 在[]1,e 上单调递减,
故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ,由1()0b
h e e b e +=+-<,可得211e b e +>
-． 因为2111e e e +>--,所以21
1
e b e +>-． ②当11b +≤,即0b ≤时,()h x 在[]1,e 上单调递增,
故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ,由(1)110h b =++<, 可得2b <-（满足0b ≤）．
③当11b e <+<,即01b e <<-时,()h x 在(1,1)b +上单调递减,在(1,)b e +上单调递增,故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+． 因为0ln(1)1b <+<,所以0ln(1)b b b <+<,
所以2ln(1)2b b b +-+>,即(1)2h b +>,不满足题意,舍去．
综上可得2b <-或211
e b e +>-,
所以实数b 的取值范围为21
(,2)(
,)1
e e +-∞-+∞-．。