四川省成都七中高二数学下学期零诊模拟试题 理 新人教A版

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1.已知命题:,2,p x R x ∃∈>命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 命题p ⌝是真命题 B 命题q 是真命题 C 命题p q ∨是假命题 D 命题p q ⌝∧是真命题
2.“1m =”是“直线y mx m =+与直线2y mx =+平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.△ABC 中，若()()0CA CB AC CB +⋅+=，则△ABC 为（ ） A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法确定
4.如图，一个“半圆锥”的正视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三 角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（） 3 B 23π3 3π
5.若双曲线221mx y -=经过抛物线22y x =的焦点，在双曲线的离 心率为（） 535
26.执行右边的程序框图，则输出n 的值为( ) A 6 B ．5 C ．4 D ．3 7. 函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是( )
A ．
]3,0[π
B ．]127,12[ππ
C ．]65,3[ππ
D ．],6
5[ππ
8．已知函数()f x =6(3)3(7)(7)x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩
，
，数列{a n }满足a n =f (n )（n
∈N +），且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）
A(1，3)
B 9
[34
，） C [)23，
D(2，3) 9. 直线l ：10060x y +-=分别与函数3x
y =和3log y x =的交点
为11(,)A x y ，22(,)B x y 则122()y y +=（ ） A 2010 B 2012 C 2014 D 不确定
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知320122012(1)20140a a -+=，
32333320174029a a a -+=，则下列结论正确的是（）
A 2014201232014,S a a =<
B 2014201232014,S a a =>
C 2014201232013,S a a =<
D 2014201232013,S a a =>
二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.） 11.为了解高2014级学生的身体发育情况，抽查了该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是___________人 12.在平面直角坐标系xoy 中，设D
是由不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的
区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是________.
13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,P Q 在棱1CC 上，且1PQ =，则三棱锥P QBD -的体积是____________________. 14. 若2221
()sin cos f θθθ
=
+(())2k k Z πθ≠∈，则()f θ的最小值为____________
15.设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对I 上任意两点1212,()x x x x ≠和实数(0,1)λ∈，总有
1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-<+-，则称()f x 为I 上的严格下凸函数。

若()f x 为
I 上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x I ∈有//()0f x >成立（//()f x 是函数()f x 导
函数的导函数），则以下结论正确的有________________________. ①22014
()37
x f x x +=
+，[0,2014]x ∈是严格下凸函数.
②设12,(0,
)2
x x π
∈且12x x ≠，则有12121
tan(
)(tan tan )22
x x x x +>+ ③若()f x 是区间I 上的严格下凸函数，对任意0x I ∈，则都有/000()()()()f x f x x x f x >-+ ④31()sin ,((,))663
f x x x x ππ
=+∈是严格下凸函数
成都七中高2014级零诊模拟数学试卷（理科答题卷）
命题人：刘在廷审题人：张世永
二.填空题（每小题5分，共25分）
11、____ 12、______13、
14、 15、
三、解答题（本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）
16.已知函数21
()cos cos ,2
f x x x x x R =--∈． （1）求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（2）已知ABC ∆内角A
B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量
D
C
F
(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．
17.成都七中学生会经过综合考评，新招了14名男生和6名女生到学生会工作，茎叶图表示这20名同学的测试成绩（单位：分），规定：成绩在180分以上者到“M 部门”工作；成绩在180分以下者到“N 部门”工作．
（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值； （2）如果用分层抽样的方法从“M 部门”和“N
部门”共选取5人，再从这5人中选2人，
求至少有一人是“M 部门”的概率.
18.如图，四棱锥E ABCD -中，ABCD 是矩形，平面EAB ⊥平面ABCD ，
AE EB =2,BC F ==为CE 上的点，且BF ⊥平面
ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求三棱锥D —AEC 的体积；
（3）求二面角A —CD —E 的余弦值．
19. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514a =，
720a =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =⋅(n =1,2,3…)，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求n T .
20.已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()
20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于不同两点B C ,，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；
(2) 是否存在满足1122(||)()0PF AF PF AF -+-=的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个,并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
21.已知函数1()ln h x x x
=+
（1）若()()g x h x m =+，求()g x 的极小值;
（2）若21
()()2x h x ax x x
ϕ=-
+-有两个不同的极值点，其极小值为M ，试比较2M 与3-的大小关系，并说明理由;
（3）若1()()f x h x x =-，设/
/*11
1(1),(1),n n
n n k k k k S f T f n N n n ==-=+=+
∈∑∑.是否存在正整数0n ，使得当0n n >时，恒有ln 44028
n n n
S T n +<+.若存在，求出一个满足条件的0n ，若不存在，请说明理由.
成
成都七中高2014级零诊模拟数学试卷（理科）（参考答案）
一.选择题
1—5 DABCA 6—10 CCDBA 二. 填空题
11. 40 12. 1π 13. 8
3
14. 3+ 15. ①④ 三.解答题
16.解：(Ⅰ)
211
()cos cos 2cos 21222
f x x x x x x =--
=--
sin(2)16
x π
=-- ……………………………………………………3分
∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分 （2）∵ ()sin(2)106
f C C π=-
-=， 即sin(2)16C π
-=
∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262
C ππ-=，∴ 3C π
=． ……7分
∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． 由正弦定理
sin sin a b
A B
=
， 得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos
3
a b ab π
=+-， ②……………………10分
解方程组①②，得a b ⎧=⎨
=⎩ …………………………………………12分
17. 解：(Ⅰ) 男生共14人，中间两个成绩是175和176，它们的平均数为175.5. 即男生成绩的中位数是175.5 …………………………………………………2分 女生的平均成绩是168177178185186192
1816
x +++++=
= ………4分
（2）用分层抽样的方法从“M 部门”和“N 部门”抽取5人，每个人被抽中的 概率是
51
204
= ………6分 根据茎叶图，“M 部门”有1824⨯
=人，“N 部门”有1
1234
⨯=人 ……8分 记选中的“M 部门”的人员为12,A A ，选中的“N 部门”人员为123,,B B B ，从这5人中选2人的所有可能的结果为：共10种。

………10分
其中至少有一人是“M 部门”的结果有7种， 因此，至少有一人是“M 部门”的概率是
7
10。

……12分 18. 解：（1）ABCD 是矩形，∴BC ⊥AB ，平面EAB ⊥平面ABCD ， 平面EAB ⋂平面ABCD=AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面EAB ，
EA ⊂平面EAB ，∴BC ⊥EA ，BF ⊥平面ACE ，EA ⊂平面ACE ，∴BF ⊥ EA ， BC ⋂BF=B ，BC ⊂平面EBC ，BF ⊂平面EBC ，∴EA ⊥平面EBC ，BE ⊂平面EBC ，∴ EA ⊥
BE 。

……………………………………………………………………4分 （2） EA ⊥ BE ，
∴AB=2222AE BE +=11122222222
ADC
S
AD DC BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= ，设O 为AB 的中点，连结EO ，∵AE=EB=2，∴EO ⊥AB ， 平面EAB ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，
即EO 为三棱锥E —ADC 的高，且EO=1
22
AB =
∴114
222333D AEC E ADC ADC V V S EO --==⨯=⨯⨯=。

………………………………8分
（3）以O 为原点，分别以OE 、OB 所在直线为x y 轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则
(2,0,0),(0,2,2),(0,2,0),(0,2,2E C A D --），
(0,22,0),(2,2,2)OE CD DE ==-=-（2,0,0）， ，由（2）
知OE =（2,0,0）是平面ACD 的一个法向量，设平面ECD 的法向量
为(,,)m x y z =，则00m DE m CD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，即2220
220
x y z y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令
2x =，则0,1y z ==，所以(2,0,1)m =，设二面角A —CD —E 的平面角的大小为θ，由图
得02
π
θ<<
，26
cos cos ,23
OE m θ=<>=
=⨯ 所以二面角A —CD —E 的余弦值为
6。

………………………………………………12分 19. 解：（1）数列{}n a 为等差数列，公差751
()32
d a a =
-=,可得31n a n =-……2分 由22n n b S =-，令1n =，则1122b S =-，又11S b = 所以12
3
b = 当2n ≥时，由22n n b S =-，可得112()2n n n n n b b S S b ---=--=- 即
11
3n n b b -= 所以{}n b 是以123b =为首项，13
为公比的等比数列， 于是1
23n n
b =⋅
…………………………………………………………………………6分
（2） 从而12(31)3n n n n
c a b n =⋅=-⋅
231
1112258(31)3333n n T n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+
+-⋅
⎢⎥⎣⎦
， 23111
111225(34)(31)33
333n n n T n n +⎡⎤
=⋅+⋅++-⋅
+-⋅
⎢⎥⎣⎦ 23121
111122333(31)33
3333n n n T n +⎡⎤
∴=⋅+⋅+⋅++⋅
--⎢⎥⎣⎦
27131
2233n n n
n T --=
--
⋅. ……………………………………………………………12分 20. 解：（1）设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>,
依题意: 222222231,
4.
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得: 2
2
16,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为
22
11612
x y +=. ……………5分 (2)显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()
23y k x =-+，
由()2234y k x x y ,,
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=.
设()()
1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. 由24x y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=
-，即21112
1
2x y x x y -+=.…7分 ∵2
114
1x y =
， ∴211124x y x x =-.
同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2
22
124
x y x x =
-. 由2
1
1222124124
x y x x x y x x ,,
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
∴()
223P k k ,-. …………… ……………………………………………………8 分 ∵1122(||)()0PF AF PF AF -+-=,
∴点P 在椭圆22
111612x y C :
+=上. ∴()
()
2
2
223116
12
k k -+
=.
化简得2
71230k k --=.………………………………………………………10分 由()
2124732280Δ=-⨯⨯-=
>
, k =
，
∴12
9(
)77P --或129
(,)77
P +
∴满足条件的
点P 有两个，坐标为. ∴
129
(
,)77
P --或P ………………………………13分 21. 解：（1）∵()()g x h x m =+
∴1()ln()()g x x m x m x m
=++
>-+ /22111
()()()x m g x x m x m x m +-=-=+++
()(1)1g x g m =-=极小值…………………………………………………………4分
（2）221
()()22ln (0)x h x ax x ax x x x x
ϕ=-
+-=-+> 2/
1221
()22(0)ax x x ax x x x
ϕ-+=-+=> ∵()x ϕ有两个不同的极值点，
∴22210ax x -+=在(0,)+∞有两个不同的实根。

设2()221p x ax x =-+
则01
01
02a
a ⎧
⎪∆>⎪
⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩ 即：102a << 设()0p x =在(0,)+∞的两根12,x x 且12x x <
∴2
2222()()2ln x M x ax x x ϕϕ===-+极小值
又()0p x =在(0,)+∞的两根为12,x x ∴2222210ax x -+= ∴2
2222()()2ln x M x ax x x ϕϕ===-+极小值2222211
2ln ln 22
x x x x x =-
-+=-+- ∴22212ln 2M x x =-+-， ∵ 2x =
102
a <<
∴21x > 令()12ln 2v x x x =-+-， /
2
()2v x x
=
- ∴1x >时，/()0v x <，()v x 在(1,)+∞递减， ∴1x >时，()12ln 2(1)3v x x x v =-+-<=-
∴2M 3<-………………………………………………………………9分
（3）要使0n n >时，恒有ln 44028
n n n
S T n +<
+即：1ln 228056n n S T n +<+
∵/
1
()ln ,()f x x f x x
==
. 11112111n S n n
n
n
=
+
++
+++；111
011111n T n n
n
n
=
+
++
-+++
1111()12111n S n
n n n n
n
=++
+
+++11112
2n n n
=
+++
++ 同理：
n T n =111
1
21
n n n +++
+-
∴
11111
11
[()()(
)]22112
212n n S T n n n n n n n
+=+++++++++- 由（1）的结论，令1m =得
ln(1)(01)1x
x x x
<+<<+ 即：11
ln(1)(1)11x
x x x
<+>+
∴
11ln()1x x x +<+ 即：11
ln 1n n n
+<+ 12
ln 21
n n n +<++ ……
12ln 221
n
n n <- 累加：
11
1
12
2n n n +++
++ln2
< 即：ln 2n S n
<
又
11111
111
[()()(
)]221122124n n n S T S n n n n n n n n n
+=++++++=++++- ∴
1
ln 224n n S T n n
+<+ 要使
1ln 228056n n S T n +<+ 只需要1ln 24n +
1ln 28056
<+ 即：2014n > 综上所述，存在正整数02014n =，使得当0n n >时，恒有ln 4ln 44028
n n n
n S T n <+<+ ………………………………………………………………………………14分。