马井堂-高考数学思想方法分章总结

高考数学思想方法分章总结
第一章集合与简易逻辑思想方法
方法一：化归与转化
【例1】已知集合A={2，3，5，6，8}，B=ll，3，5，7， 10}．集合C满足：①若将C中的各元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；②若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变为B的一个子集；③C中的元素可以是一个一元二次方程的两不等实根,试据以上条件，用列举法表示集合C．【分析】本小题重点检测文字语言向符号语言转换的能力．条件③即就是集合C中的元素个数为2．从子集的定义出发,并将条件①、②分别转换成另一种表述方式，可使问题顺利求解．【解析】将①换一种说法，即若将A中的各个元素均加2，得新集合A l，则C⊆A1，即C⊆{4，5，7，8，10}；将②换一种说法，即若将B中的各个元素均减3，得新集合B2，则C⊆B2，即C⊆{{2，0，2，4，
7}，于是C⊆({4，5，7， 8，lO}{一2，0，2，4，7})={4，7}．又由条件③知，集合C中的元素恰有两个，于是C={4，7}．
【说明】①解题关键点是正确地将文字语言翻译成集合语言(或符号语言)．
②解题规律是当直接求解不易时，可考虑问题的反面或换一种表述方式.如本题中将“C1为A的子集”换为“C⊆A”，再换为“C⊆A1”；将“C2为B的子集”换为“C⊆B”，再换为“C⊆B2”，这样迅速地破解了问题．
③本题的一个拓广是：将条件③去掉，则问题便是求集合{4，7}的非空子集(想一想：为什么集合C不能为空集)，答案为{4}，{7}或{4，7}．
方法二：巧用定义
【例2】已知集合A={a，b，c，d}，B={a2，b2，c2， d2}，其中A⊂≠ N*，B⊂≠N*，a<b<c<d，且A B={a，d}，a+d=10．
(1)求a、d；
(2)若AU B中所有元素的和为124，你能确定集合A、B中的所有元素吗?
【分析】 (1)根据交集的意义及其题设，求解出a， d． (2)由A B中的元素个数为2，而A
与B的元素个数均为4个可知：AUB中共有6个元素，且其中有四个元素分别为1，3，9，81，而另两个元素分别为x与x2．一个未知数，还有一个和的条件，可以求解x，进而可求得集合A与B．
【解析】 (1)因A B={a，d}，且a<b<c<d，又a十d=10。

于是a=a2，解得a=1(a=0，不合题意，舍去)，从而d=9．
(2)A={1，b，c，9}，B={1，b2，C2，81}．
因A B={l，9}，故3∈A，9∈B．
于是可设A={l，3，9，a}，B={1，9，81，x2}，其中x<9．
依题设有1十3+9+x十8l+ x2=124，解得x=5(x=-6，不合题意，舍去)．
故A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．
【说明】①解题关键点是熟练掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互异性、无序性、确定性)进行解题．
②解题规律：对于递进型的综合问题，应采取各个“击破”，“分而治之”，直至“歼灭”的办法．
③解题易错点是求集合的并集运算，不是两个集合所有元素的简单迭加；另外容易忽视集合元素的互异性，即相同的元素在同一集合中只算一个元素．
方法三：数形结合
【例3】(1)已知U为全集，集合M、N⊂≠U，若M∩N=N，则 ( )
A．C U M⊇C U N； B．M∈C U N． C．C U M∈C U N D．M⊇C U N
(2)设U是全集，集合P、Q满足P⊂≠Q，则下面的结论中错误的是 ( )
A．P∪Q=Q B．(C u P)∪Q=U C．P∩(C U Q)=∅．(C U P)∩(C u Q)=C u P 【分析】本题中两小题是一对姊妹题，一对高考题。

第(1)小题为1995年全国高考题，检测根据集合的交并关系判断集合问的包含及包含于关系；第(2)小题为1994年上海市高考题，检测由集合的包含关系判断集合的交并关系．两小题均涉及全集、补集、子集及真子集、集合的交并补运算，题中均未给出具体的集合，因而它们不仅全面检测了考生对集合概念理解和掌握程度，也检测了考生的抽象能力，是两道“题小功能大”的
好题．对于第(1)小题。

作出韦恩图如图(1)，由图
易知C U M⊂≠C U N正确，从而答案选C；对于第(2)小题，
作出韦恩图如图(2)，由图可知，仅D选项的内容错
误，从而答案选D．
【说明】①解题关键点是借助韦恩图法，直接观察得到结论．
②解题规律是当问题比较抽象时，可以将问题特殊化、具体化，不妨取些特例，即用选择题的特例排除法来迅速得到答案．如对于第(1)小题，可令U={1，2，3，4}， M={l，2，3}，N={1，2}，则C U M={4}，C U N={3，4}，显然只有C U M⊂≠C U N成立，故答案非C莫属；对于第(2)小题，亦可令U={1，2，3，4}，Q={1，2，3}，P={l，2}，则错误结论D跃然纸上．
③解题易错点是读题、审题不认真、不仔细，不能注意提示用语，如第(1)小题选的是正确项，而第(2)小题选的则是错误项；另外不能正确理解集合语言及符号，搞错概念的内涵与外延．
方法四：分类讨论法
【例4】已知集合P={x|ax2+4x+1=0，a、x∈R}。

(1)若P中只有一个元素，试求a的值，并把这个元素写出来；(2)若P中至多只有一个元素，试求a的取值范围．
【分析】x2前的系数为a，它在变化，故须对a进行讨论：它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程；它可能有实数根，也可能无实数根．
【解析】集合P表示方程ax2+4x+1=0在实数范围内的解的集合． (1)当a≠0时，△=16—4a=0，a=4，方程有两个相等的实数根x=-1/2，P中只有一个元素；当a=0时，方程为一元一次方程，
方程只有唯一解x=-1
4．故当 P中只有一个元素时，a=4或0．当a=4时，元素为-1
2
；当a =0时，
元素为-1/4．
(2)P中至多只有一个元素，包含P为空集和P中只有一个元素两种情形．当P为空集时，由a≠0及△=16—4a<0解得a>4，从而a的取值范围为a≥4或a=0.
【说明】①解题关键点是正确审题，弄清“只有一个”与“至多只有一个”的真正含义并注意它们的区别，注意参数a所在的位置(这里的a在二次项系数前，因而方程未必为二次的)对解题的影响．
②解题规律是根的判别式△只适用于实系数一元二次方程根的讨论．
③解题易错点是忽视“空集是不含任何元素的集合”的概念,从而遗漏对空集情况的检验讨论;另一方面容易忽视对方程次数即a=0的情况的讨论.
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第一章集合与简易逻辑综合训练
1．设集合M={-1，0，1}，N={y|y=cosx,x∈M}, M∩N是 ( )
A {-1，0，1}
B {0，1}
C {0}
D {1}
2．已知集合M={a,0 }，N={x|x2-3x<0,x∈Z}, M∩N≠∅,则a等于 ( )
A 1
B 2
C 1或2
D 8
3．若方程的两根都大于2，则a的取值范围为（）
- D a>0
A a>5
B a>5
C a>5
4
,1},也可表示为{ a2,a+b,0},则a2003+b2003的值为( ) 4.含有三个实数的集合可表示为{a,b
a
A 0
B 1
C -1
D ±1
5.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q”是假命题，那么（）
A 命题p和命题q都是假命题
B 命题p和命题q都是真命题
C 命题p和命题⌝q真值不同
D 命题q和命题⌝p真值相同
6．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x∉P},则M-(M-P)等于（）
A P
B M∩P
C M∪P
D M
7．若M和N都是非空集合，且M≠N，则a∈ M∩N是a∈ M∪N的( )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件
8.在集合M={1,2,3,⋯,10}的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都不是空集,那么这族子集最多有( )
A 210
B 29
C 102
D 92
9.若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A,则称（A 1,A 2）为集合A 的一种分拆,并规定:当且仅当A 1=A 2时, （A 1,A 2）与（A 2, A 1）为集合A 的同一种分拆,则集合A={a 1,a 2,a 3}的不同分拆种数为( )
A 27
B 26
C 9
D 8
10.调查了100名携带药品出国的旅游者,其中75人带有感冒药,80人带有胃药,那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中,下列说法正确的是( )
A 最多人数是55
B 最少人数是55
C 最少人数是75
D 最多人数是80
11.若不等式ax 2+2ax-4<2x 2+4x,对一切x ∈R 均成立,则a 的范围是( )
A (-2,2)
B (-2,2]
C (-∞,-2)∪(2,+∞)
D (-∞,-2]
12.如果函数f(x)与g(x)的定义域均为R,则f(x)>g(x)成立的充要条件是( )
A 有1个x ∈R 使f(x)>g(x)
B 有无数个x ∈R 使f(x)>g(x)
C 对任意x ∈R,使f(x)>g(x)+1
D R 中不存在x 使f(x)≤g(x)
二、填空题
13．已知集合A={x|x 2-2x+a ≤0},B={x|x 2-3x+2≤0},且A ⊂≠B,则实数a 的取值范围 14．已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0}，B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|},若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为
15．M={x|15≤x ≤125,x ∈R },N={x|x=4n+1,n ∈N *},则M ∩N 中所有元素之和为
16．要使不等式0≤x 2+ax+2≤1恰好有一个解，则实数a=
三、解答题
17．已知A={x|12log (3)x -≥-2}，B={x|2a x a
->1},若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围。

18．设M 是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：①f(x)的定义域是[-1,1]；②若x 1, x 2∈ [-1,1]，则|f(x 1)- f(x 2)|≤4|x 1-x 2|，试问
(1) 定义在[-1,1] 上的函数g(x)=x 2
+3x+2003是否属于集合M ？并说明理由。

(2) 定义在[-1,1] 上的函数h(x)=4sinx+2004是否属于M ？并说明理由。

19.①若ax 2+bx+c=0,求证:关于x 的方程有两个异号根;②命题①的逆命题是什么?它是真命题吗?请予以证明.
20.A={a|a=x2-y2,x,y∈Z},求证:①一切奇数属于A;②偶数4k-2(k∈Z)不属于A.
21.已知集合A={x|-2k+6<x<k2-3},B={x|-k<x<k},若A⊂≠B,求实数k 的取值范围.
22.已知下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0,若至少有一个方程有实数
根,求实数a的取值范围.
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第一章集合与简易逻辑思想方法针对性练习
一、选择题
1．已知y=f(x)(x∈D)是一个函数，设集合A={(x,y)| y=f(x)(x∈D)}，B={(x,y)| x=1 }记card(P)为集合P中的元素个数，则card(A∩B)=( )
A 0
B 1
C 0或1
D 1或2
2．设集合P={x|x=3m,m∈Z}，S={x|x=3m+1,m∈Z}, T={x|x=3m-1,m∈Z},a∈P,b∈S,c∈T,d=a+b-c,则有 ( )
A d∈P
B d∈S
C d∈T
D a+b∈T
3.由以上两个假设：①至少有一个农民不是农艺师；②所有农艺师都不是科学家。

可以推得
A 至少有一个农民不是科学家
B 至少有一个科学家不是农民
C 所有科学家都不是农民
D 所有科学家都不是农艺师
4．若以集合S={a,b,c} (a,b,c∈R)中的三个不同元素为边长可构成一个三角形，那么这个三角形一定不可能是（）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形
5．已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}, B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的a取值范围是( )
A {a|1≤a≤9}
B {a|6≤a≤9}
C {a|a≤9}
D ∅
二、填空题
6．设非空集合A、B满足B⊂≠A，给出以下判断：①A的元素都不是B
的元素；②存在A的元素不是B的元素；③存在A的元素是B的元素；
④不是B的元素都不是A的元素；⑤A的元素不都是B的元素。

其中
正确的判断的序号为
7．右图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有8
21
少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有万元。

8.非空集合P同时满足下列两个性质:①P⊂≠{1,2,3,⋯,2n+1},n∈N;
②若a∈P,则有(2n+2-a)∈P.则集合P的个数是
三、解答题
且a∈Z}中的所有元素的和。

9．求集合{a|2160
-
3a
10．已知命题A：若a≥b，则c≤d；命题B：若e≤f，则a＜b。

若A为真且B的否命题为真，试判断“c≤d”是“e≤f”的什么条件？
11.把8件不同的厂销样品平均送到京、沪两地参加订货会，其中a与b不送到同一地，c、d、e也
不送到同一地，共有多少种这样的方案？
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第二章 函数思想方法
方法一：图象法
【例1】已知函数f(x) =-2x 2，g(x)=x,若f(x)*g(x)=min {f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值
是1 (min 表示最小值)
【分析】将表达式f(x)*g(x)=min {f(x),g(x)}进行展开,得到分段函数
后,画出图象,根据图象得出所求的最大值.
【解析】y=f(x)*g(x)=min {f(x)，g(x)}=(),()()(),()()f x f x g x g x f x g x ≤⎧⎨>⎩
,画出图象如可图所示,图中的最高点A 的纵坐标即为所求.
解方程组2
2y x y x
⎧=-⎨=⎩,得A 、B 两点坐标分别为（1,1）,（-2,-2）,于是所求的最大值为1。

【说明】①解题关键点：准确理解f(x)*g(x)=min {f(x)，g(x)}的含义，在此基础上运用所学的知识和已掌握的方法或解题经验灵活解题。

②解题规律是分段函数的最值一般均用图象法画出各分段函数的图象，然后观察出它们在各段图象上的最值勤点，并比较它们最值的大小。

③解题易错点容易误认为所求的最大值是函数f(x)的最大值或g(x)的最大值。

方法二：定义法
【例2】已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，
f(x)=x 2-2x+2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间。

【分析】由图象的对称性可知,f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定
义求解。

但这里不能忘了求f(0).
【解析】由题意可知f(x)是奇函数，当x<0时，-x>0,故
f(x)=-f(-x)=x 2+2x+2。

又当x=0时，f(0)=0
因此，f(x)=2222,00,0
22,0x x x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪--+<⎩
,作出f(x)的图象如右图所示，增区间是（-∞，-1]，[1，+∞），减区间是（0， 1]，[-1，0）。

【说明】 ①解题关键点：准确理解奇函数的性质，利用分类的办法表示出所求函数的解析式(即分段函数)．
②解题技巧：利用奇偶函数的对称性可简化作图，利用函数图像的直观性可求单调区间． ③解题规律：
(i)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，其基本思想是通过“-x ”实现转化；
(ii)若x=0在奇函数的定义域内，则必有f(0)=0，即其图像必过原点．
④解题易错点：(i)容易漏求当z=0时的解析式；(ii)两个单调区间之间用符号“U ”连接． 方法三：单调性法
【例3】 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米，时．已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．
(1)把全部运输成本y (元)表示成v (千米/时)的函数，并指出它的定义域；
(2)为使y 最小，汽车应以多大速度行驶?
【分析】首先读懂题目，弄清题意，明确题中所给各量的含义及它们之间的关系，并由此得出所求函数y=f(v)，再根据y=f(v)的解析式去解第(2)问．
【解析】(1)依题意2()
S y bv a v =+,v ∈(O ，c ]．化简得()a y S bv v =+，v ∈(O ，c ]． （2）2()2a v a bv bv ab v +
=-+，当且仅当a v bv =，即a b v =时，有最小值2ab 。

若
a b ≤c ，则当a b v =（千米/时）时，y=2S ab 最小。

若a
b >
c ，设o<v 1<v 2，考虑函数y=f(v)的单调性。

f(v 1)-f(v 2)= ⋯=22121212121
()()()()S v v S v v bv v a bc a v v v v ---<-<0 因此，y=f(v)是减函数。

于是，当v=c(千米/时)，y 最小。

综上可知，当a
b ≤
c 时，取a
b v =（千米/时）时；当a
b >
c 时，取v=c(千米/时)，这样
可使 y=最小。

【说明】 ①解题关键点：对于应用问题，首先读懂题目，理解题意，其次正确看待常数参数a,b,c 在解题中的作用，注意比较它们的大小，分情况进行讨论。

②解题技巧：运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一 ．另处，本题中的S 纯属我余，完全是为了解题的统一现时引进的一个参数。

③解题易错点：容易忽略第（2）不问中分a
b ≤
c 与∅>c 两种情况的讨论。

方法四：建模法
【例4】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1,a 2, ⋯,a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值a “是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的绝对值的平方和最小。

依此规定，从a 1,a 2, ⋯,a n 推出的a=
【分析】这是一道1994年全国高考题，其实际背景是物理学科的统计问题，跨学科应用是一种大势的趋，形势必然。

要很好地完成这类题型，须做到：①读题找出关键词：“n 次测量”、“n 个数据”，“最佳近似值a ”;②对新定义概念“最佳近似值a ”的准确理解；③抓住“a 与各个数据的差的平方和最小”的条件建立关于a 的目标函数f(a)；④求出f(a)的最小值。

【解析】f(a)=(a一a1)2+(a-a2)2+…+(a-a n)2 =na2一2(a l+a2+…+a n)a+(a l2+a22+…+a n2)
( a l+a2+…+a n)时，f(a)最小．显然，f(a)是关于a的二次函数，且二次项系数n>0，故当a=1
n
( a l+a2+…+a n)”．
故结果应填写“1
n
【说明】①解题关键点：正确审题(包括读题、翻译、挖掘、领悟等)、理解题意，而善于将f(a)的表达式展开后化为以a为主元的二次函数的形式，则是解本题的重要环节．
②解题规律：解实际应用问题可以分为审题、建模、解模三个方面．本题中的审题包括读出关键词，领悟新的定义，文字语言“a与各数据的差的平方和最小”向数学语言或符号语言的准确转换等．
③解题易错点：对“最佳近似值”的含义不理解．
方法五：分类讨论‘
【例5】已知函数y=f(x)=log a(1一a x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)证明f(x)在定义域上是减函数；
(3)求证函数f(x)的图像关于直线y=x对称．
【分析】 (1)函数f(x)的定义域即不等式1一a x>0的解集，利用指数函数的单调性不难得到．而其值域必须由中间变量u=1一a x的取值范围来确定．(2)分a>l和0<a<1两种情况讨论指数函数与对数函数的单调性可以证得．(3)即证明f(x)与自身互为反函数．
【解析】 (1)由1一a x>0得a x<1．当a>1时，得x<0；当0<a<1时，得x>0.
又0<a x<1，故0<1-a x<1，于是当a>1时,y<0；当0<a<l时，y>0．
综合得，当a>l时，函数f(x)的定义域、值域都是(-∞，O)；
当0<a<l时，函数f(x)的定义域、值域都是(0，+∞)．
(2)当a>1时，任设x1<x2<0，则易得f(x1)>f(x2)；当0<a<1时，任设0< x1<x2，则易得f(x1)>f(x2)
所以，无论a>1还是0<a<1，f(x)在其定义域内都是减函数．
(3)由y=log a(1- a x)得1- a x =a y，即a x =1- a y，故x= log a(1- a y)，于是f-1(x)= log a(1- a x)．
又由(1)知，f(x)的定义域与值域相同，从而f(x)与f-1(x)的定义域相同，因此f(x)= f-1(x)，即函数的反函数即为它本身．
因互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称，故函数f(x)和图像关于直线y=x对称．
【说明】①解题关键点：掌握指数函数、对数函数的图像与性质，理解函数单调性的定义；掌握互为反函数的图像的对称性．
②解题规律：与指、对数函数有关的问题，当底数不定时，一般都要分两种情况讨论；另外，与自身互为反函数的函数的定义域、值域必定相同.
③解题易错点：容易错误地将定义域表示为(-∞，0)∪(o，+∞)；证明两个函数图像关于直线y=x对称,易忽视函数的定义域．
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第二章函数思想方法针对性训练
一、选择题
1．函数f(x)=
2
1
|2|2
x
x
-
+-
一定是 ( )
A 奇函数
B 偶函数
C 既是奇函数又是偶函数
D 非奇非偶函数
2．若函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=|f(x)|的值域是 ( )
A [-2，3]
B [2，3]
C [0，2]
D [0，3]
3. 若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=m,f(3)=n，则f(72)=( )
A m+n
B 3m+2n
C 2m+3n
D m3+n2
4．已知f(x)= |2x-1|, 当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)，则下列各式中正确的是( )
A 2a>2c
B 0<2b<1
C 2-a>2c
D 2a+2c<2
5．曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为（）
A (1,0)
B (2,8)
C (1,0)或(-1,-4)
D (2,8)或(-1,-4)
6．已知函数f(x)=x3-3x，则它的单调递增区间是（）
A (-∞,0)
B (0,+∞)
C (-1,1)
D (-∞,-1)或(1,+∞)
二、填空题
7．设有三个函数的图象分别是C1、C2、C3，其中函数y=f(x)的图象是C1,C2与C1关于原点对称，C3与C2关于直线y=x对称.(1)与图象C3对应的函数是；（2）图象C3与C1关于直线对称。

8．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当时x∈(0,1]时,f(x)=x,则f(7.5)= .
9. 设函数f(x)的反函数 f-1(x)，给出下列四个命题：①若f(x)为奇函数，则f-1(x)的图象必关于原
点对称；②若f(x)在区间[a,b]上是增函数，则f-1(x)在[a,b]上也是增函数；③若f(x)的图象与y轴有公共点，则方程f-1(x)=0必有解；④f(x)的图象与f-1(x)的图象不可能相交。

其中所有真命题的序号是
三、解答题
10．已知f(x)=a x =a-x,g(x) =a x +a-x(0<a≠1).(1)求f2(x)- g2(x)的值;(2)设f(x)f(y)=4,
g(x)g(y)=8,求
()
()
g x y
g x y
+
-
的值。

11.设函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且曲线在P点处切线方程为24x+y-12=0，
若函数在x=2处取得极值-16,试求函数解析式，并确定函数的单调递减区间。

12．已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]是一次函数，在[3,6]上是二次函数，又当x∈[3,6]时，f(x)≤f(5)=3,f(6)=2，求f(x)的表达式。

13．已知函数f(x)=1
3x3-4x+m,在(-∞,+∞)内有极大值28
3
，试确定常数m的取值，并求出这个函
数 f(x)在(-∞,+∞)上的极大值。

高考数学思想方法分章总结
第二章 函数综合训练
1.设集合M={(x,y)| x 、y ∈R },建立集合M 到R 的映射f:M →R ，且f(x,y)=|x+y|,则2的原象在平面直角坐标系下所对应的点的轨迹是 ( )
A 两条平行直线
B 两条垂直直线
C 一个点
D 两个点
2.定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间在[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设，给出下列不等式：
① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
② ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
其中成立的是（ ）
A ①④
B ②③
C ①③
D ②④
3.若x ∈R ，n ∈N *,定义n x E =x(x+1)⋯(x-n+1),则函数f(x)=x 19
9x E -的奇偶性为 ( )
A 是偶函数而不是奇函数
B 是奇函数而不是偶函数
C 既是偶函数又是奇函数
D 既不是偶函数又不是奇函数
4.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如右图,
则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 ( )
5.已知函数f(x)的值域为[-2,3],则函数f(x-2)的值域为（ ）
A [-4,1]
B [0,5]
C [-4,1]∪[0,5]
D [-2,3]
6．已知a>0,函数f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则a 的最大值是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
7．已知函数f(x)是R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,f(a)=0(a>0),那么,不等式xf(x)<0的解集是 ( )
A {x|0<x<a }
B {x|-a<x<0或x>a }
C {x|-a<x<a }
D {x|x<-a 或0<x<a }
8.已知函数f(x)=
231
x x +-,函数g(x)的图象与函数f -1(x+1)的图象关于直线y=x 对称,则g(-1)的值是 ( ) A -1
2 B -1 C -32 D
-3
9.若函数f(x)=2(2)m x x m
-+的图象如右图所示,则m 的范围为 ( ) A (-∞,-1) B (-1,2) C (1,2) D (0,2)
10.函数y=f(x-1)的图象如右图所示,它在r 上单调递减,现有如下结论:①
f(0)>1;②f(1
2)<1;③f -1(0)=0;④f -1(12)>0.其中正确结论的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4
11.已知函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,
则y=f(x)与y=log 5x 的图象的交点的个数为 ( )
A 3个
B 4个
C 5个
D 6个
12.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关
系:y=a t ,有以下叙述:①这个指数函数的底数为2;②第5个月时,浮萍面积就
会超过30m 2;③浮萍从4m 2蔓延到12m 2需要经过1.5个月;④浮萍每增加的面积
都相等;⑤若浮萍蔓延2m 2、3m 2、4m 2到所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则
t 1+t 2=t 3。

其中正确的是( )
A ①②
B ①②③④
C ②③④⑤
D ①②⑤
二、填空题
13．定义符号函数sgnx=1(0)
0(0)1(0)x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
,则不等式x+2>(2x-1)sgnx 的解集是
14．已知函数f(x)=x 2-6x+8,x ∈[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a 的取值范围是
15．对任意的函数f(x),g(x)，在公共定义域内，规定f(x)∙g(x)=min {f(x),g(x)}，若f(x)=3-x,g(x)=23x -,则f(x)∙g(x)的最大值为
16．若定义在区间D 上的函数f(x)对于D 的任意n 个值x 1,x 2, ⋯,x n ，总满足1
n [f(x 1)+f(x 2)+
⋯+f(x n )]≤f(12n
x x x n +++),则f(x)称为D 上的凸函数，现已知f(x)=cosx 在（0，2π
）上是凸函数，
则锐角△ABC 中，cosA+cosB+cosC 的最大值是
三、解答题
17．函数f(x)对任意的a 、b ∈R ，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1
(1)求证：f(x)是R 上的增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m 2-m-2)<3．
18．已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，都满足f(ab)=bf(a)+af(b),
(1)求 f(0)、f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若f(2)=2，a n =(2)n f n
-(n ∈N *)，求a n 关于n 的表达式． 19．某商场经营一批进价是30元／台的商品．在市场试销中发现，此商品销售单价x 元与日销售
量y 台之间有如下关系：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，Y)的对应点，
并确定x 与Y 的一个函数关系式y=f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于z 的函
数关系式，并指出当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润?
20.已知函数f(x)=log 32x ax b x
++,x ∈(0,+∞),问是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列两个条件:
(1)在(0，1)上是减函数，在[1，+∞]上是增函数；
(2)f(x)的最小值是1．若存在，求出a ，b ；若不存在,请说明理由.
21．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费为12万美元，以后每年都增加4万美元．每年销售蔬菜收入50万美元．
(1)若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案:
①年平均纯利润最大时，以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算?
22．已知定义在R 上的奇函数f(x)，在x ∈(0，1)时，f(x)= 241
x
x +,且f(-1)=f(1). (1)求f(x)在x ∈[-1，1]上的解析式；
(2)证明在x ∈(O ，1)时f(x)<1
2；
(3)若x ∈(0，1)，常数λ∈(2，5
2)，解关于x 的不等式f(x)> 1λ。