《三元一次方程组》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

三元一次方程组(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. （2015春•沙坪坝区期末）下列四组数值中，为方程组的解是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知方程组329a b b c a c +=⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩
，则a+b+c 的值为（ ）．
A．6 B．-6 C．5 D．-5
3．已知532y x y z x a b c ++-与254x y
a b c -是同类项，则x-y+z 的值为 ( ) ． A．1 B．2 C．3 D．4
4．若x+2y+3z＝10，4x+3y+2z＝15，则x+y+z 的值为 ( ) ．
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（ ）．
A．30元 B．33元 C．36元 D．39元
6. 如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）正方体的质量.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7. 解三元一次方程组的基本思路是 .
8. （2015春•高新区期末）方程组的解为 ．
9. 在三元一次方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝3中，若ｘ＝－1，ｙ＝2，则ｚ＝ .
10. 若方程－3ｘ－ｍｙ+4ｚ＝6是三元一次方程，则ｍ的取值范围是
.
11. 如果方程组
8
6
4
x y
y z
z x
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
的解满足方程kx+2y-z＝10，则k＝________．
12.已知方程组
23
348
23
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪+-=-
⎩
，若消去z，得到二元一次方程组________；若消去y，得
到二元一次方程组________，若消去x，得到二元一次方程组________．三、解答题
13．解方程组：
（1）
2
321
1
2
2
x y z
x y
x y z
-=
⎧
⎪
⎪+=
⎨
⎪
⎪-=+
⎩
（2）
3252
26
42730
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
--=
⎨
⎪+-=
⎩
14.（2015春•镇江校级期末）已知y=ax2+bx+c，当x=1时，y=3；当x=﹣1时，y=1；当x=0时，y=1．求a，b，c的值．
15. 2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．
胜（场）平（场）负（场）积分
大连实德队82226
上海申花队65123
北京现代队57022
问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D．
【解析】，
①+②得：3x+y=1④，
①+③得：4x+y=2⑤，
⑤﹣④得：x=1，
将x=1代入④得：y=﹣2，
将x=1，y=﹣2代入①得：z=3，
则方程组的解为．
2. 【答案】C；
【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得2()10a b c ++=，两边同除以2便得答案.
3. 【答案】D；
【解析】由同类项的定义得：5235y x x y z x y +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩
，解得：211x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以4x y z -+=.
4. 【答案】D；
【解析】将三个等式左右分别相加，可得5()25x y z ++=，进而得 5x y z ++= .
5. 【答案】D；
【解析】解：设甲乙丙分别有,,x y z 元元元，则有：
2111x y y z x z =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：20109x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，所以三人共有：39x y z ++=（元）.
6. 【答案】D ；
【解析】
解：设一个球的质量为x ，一个圆柱的质量为y ，一个正方体的质量为z . 则：
25,23,
x y z y =⎧⎨=⎩①②由①得25
y x = ③，把③代入②，得2325
x z ⨯=，解得35x z =，故正确答案为D.二、填空题
7. 【答案】消元；
8.【答案】．
9. 【答案】2；
【解析】将ｘ＝－1，ｙ＝2代入得：123z -++=，所以2z =.
10．【答案】0m ≠；
【解析】三元一次方程的定义.11.【答案】13；
【解析】解原方程组得：351x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，代入kx+2y-z＝10得，13k =.12. 【答案】531153x y x y +=⎧⎨-=⎩ 3011320x z x z -=⎧⎨+=⎩ 539517z y y z -=⎧⎨+=⎩
； 【解析】加减或代入消元.
三、解答题
13.【解析】
解：（1） 2321122
x y z x y x y z ⎧⎪-=⎪+=⎨⎪⎪-=+⎩①②③
由①得：2x y z =+④，将④代入②③，整理得：831132
y z y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：121y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，代入④得：0x =，所以，原方程组的解是0,1,21.
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩（2）325226
42730x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩
①②③ 由①+②得：448x z +=，即2
x z +=④，
由②+③得：5836x z -=⑤，
由④×5－⑤，整理得：2z =-，
将2z =-代入④，解得：4x =，
将4x =，2z =-代入①，解得0y =，所以，原方程组的解是4,0,
2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
14.【解析】
解：∵y=ax 2+bx+c ，当x=1时，y=3；当x=﹣1时，y=1；当x=0时，y=1，
∴代入得：
把③代入①和②得：，
解得：a=1，b=1，
即a=1，b=1，c=1．
15.【解析】
解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x 分，y 分，z 分
根据题意，得8222665235722x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩
①②
③由①得4x+y+z＝13 ④
②一④，得x+2y＝5 ⑤
⑤×5-③，得y＝1．
把y＝1代入⑤，得x＝5-2×1＝3，即x＝3．把x＝3，y＝1代入④，得z＝0．
∴31
0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0
分．
三元一次方程组（基础）知识讲解
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )
A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩
B ．111216y x
z y x z
⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．1812
0m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D
【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z
不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．
【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．
类型二、三元一次方程组的解法
2. (韶关)解方程组275322344y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩
①②
③【思路点拨】方程①是用未知数x 表示y 的式子，将①代入②可得二元一次方程组．
【答案与解析】
解：将①代入②得：5x+3(2x -7)+2z ＝2，
整理得：11x+2z ＝23 ④
由此可联立方程组34411223x z x z -=⎧⎨+=⎩
③④，③+④×2得：25x ＝50，x ＝2．
把x ＝2分别代入①③可知：y ＝-3，12
z =．
所以方程组的解为2312
x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩．
【总结升华】解三元一次方程组的思想仍是消元，是用加减消元法，还是用代入消元法，要根据方程组的特征来确定，一定要选择较简便的方法．
【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】
举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311
x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤
由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤
④－⑤得：48y =，2
y =将2y =代入⑤知：1
x = 将1x =，2y =代入①得：3z =
所以方程组的解为：12
3x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】
3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②
【答案与解析】解法一：原方程可化为：2535
20x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪++=⎪⎩
①②③23348
23x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩
①②③
由①③得：25x z =，35
y z = ④将④代入②得：232055
z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：46
10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235
x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③将③代入②得：23520t t t ++=，2
t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210
y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：46
10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．
举一反三：
【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．﹣2
D ．4
【答案】B ．解：，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
类型三、三元一次方程组的应用
4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．
【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
【答案】5．
【解析】
解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
，
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，
解得：a=5.
【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
举一反三：
【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?
【答案】
解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．
依题意，得
24
1
229
2
6
x y z
x y z
x y
++=
⎧
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
⎪+=
⎩
①
②
③
把③分别代入①和②，得
218
1
323
2
x z
x z
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
④
⑤
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7．
把x＝7代入③，得y＝13．
把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．
∴方程组的解是
7
13
4
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
．
答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．
三元一次方程组(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列方程组中是三元一次方程组的是 （ ）.
A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
C ．1141171110x y y z
z x
⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩2. 已知方程370x y --=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则k 的值为（ ）.
A. 3
B.4
C.0
D.-1
3. （2015春•威海期末）若==，且a ﹣b+c=12，则2a ﹣3b+c 等于（ ）
A ．
B ．2
C ．4
D ．124．已知代数式2ax bx c ++，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，
其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）.
A ．4
B ．8
C ．62
D ．52
5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .
A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
二、填空题
7. 若12||(1)5210b a a x y
z +--++=是一个三元一次方程，那么a ＝_______，b ＝________．
8．已知2234
x y y z x z +++===-，则x+2y+z ＝________．9．（2015春•和县期末）若x 、y 的值满足3x ﹣y ﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则k 的值等于 ．
10．已知303340
x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则x :y :z ＝________．
11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙
2
件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．
12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ．
三、解答题
13．（2015春•繁昌县期末）解方程组：．
14. 已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对于一切有理数x 都成立，求A，B 的值．
15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D ；
2. 【答案】B；
【解析】联立370x y --=，231x y +=，可得：2,1x y ==-，将其代入9y kx =-，得k 值．
3.【答案】C ．
【解析】设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=7k ，代入方程a ﹣b+c=12得：2k ﹣3k+7k=12，解得：k=2，即a=4，b=6，c=14，则2a ﹣3b+c=2×4﹣3×6+14=4．
4. 【答案】D；
【解析】由条件知484225a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得521a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
当x ＝3时，22
52152ax bx c x x ++=++=．
5. 【答案】C；
【解析】
解：设夫妇现在的总年龄为M,子女现在总年龄m,设子女共k 名,则有：62210(2)
623(6)M m M m k M m k =⎧⎪-⨯=-⎨⎪+⨯=+⨯⎩
解三元一次方程组得：2
k=.
6. 【答案】D；
【解析】
解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得
45660 34548
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝12．
∵y＞0，∴x＜6，∴ x为小于6的正整数，∴选D.
二、填空题
7. 【答案】-1，0；
【解析】由题意得
10
11
21
a
b
a
⎧-≠
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
，解得
1
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
.
8.【答案】-10；
9.【答案】﹣4．
【解析】由题意可得，
①×3+②得11x﹣22=0，
解得x=2，
代入①得y=﹣1，
将x=2，y=﹣1代入③得，
﹣1﹣2k+9=0，
解得k=﹣4．
10．【答案】15:7:6；
【解析】原方程组化为
3
334
x y z
x y x
-=-
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
②－①得2x＝5z，
5
2
x z
=．故
7
6
y z
=．
∴
57
::::15:7:6
26
x y z z z z
==．
11.【答案】150；
【解析】设甲种商品的单价为x元，乙种商品的单价为y元，丙种商品的单价为z元，
根据题意可得：
32315,
23285,
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
根据三元一次方程组中每一个三元一次方程中系数的特点和所求的结论可将方程①与方程②相加得：4(x+y+z)＝600，∴x+y+z＝150．
12. 【答案】123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
；
【解析】
解：x＜y＜z，所以2233x y x z
<⎧⎨<⎩，62314x x y z <++=，所以123x <，同理可得：123
z >，又因为均为正整数，经验证,满足条件的解只有一组，即答案．
三、解答题
13.【解析】
解：①+②得：4x+y=16④，
②×2+③得：3x+5y=29⑤，
④⑤组成方程组
解得
将x=3，y=4代入③得：z=5，
则方程组的解为．14.【解析】
解：由题意可得：
2783810
A B A B -=⎧⎨-=⎩解得：6545A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
15.【解析】
解：（1）设甲队单独做x 天完成，乙队单独做y 天完成，丙队单独做z 天完成，则111611*********x y y z x z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⨯⎪⎩，解得111011151130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴ 101530x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30
天．
（2）设甲队做一天应付给a 元，乙队做一天应付给b 元，丙队做一天应付给c 元，则6()870010()80005()5500a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得875575225a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
∵ 10a ＝8750（元），15b ＝8625（元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．
三元一次方程组（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）．
A．
1
22
36
x y
y z
y
+=
⎧
⎪
+=-
⎨
⎪=
⎩
B．
240
1
3
x
y x
xy z
⎧-=
⎪
+=
⎨
⎪-=-
⎩
C．
2
23
1
x
y
x z
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪-=
⎩
D．
1
3
21
y x
x z
y z
-=-
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B
【解析】
解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选B．
【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．
类型二、三元一次方程组的解法
2.（2015春•苏州校级期末）若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．
【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．
【答案与解析】
解：∵x：y：z=2：7：5，
∴设x=2k，y=7k，z=5k，
代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，
解得：k=2，
∴x=4，y=14，z=10，
∴==0.18．
【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元．
举一反三：
【变式】解方程组:2:3,:4:5,
2329x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩
①②③
【答案】
解：由①，得3x ＝2y ，即23
x y =， ④由②，得5y ＝4z ，即54
z y =，⑤把④、⑤代入③，得21522934
y y y -+=．解得y ＝12．⑥
把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．
所以原方程组的解为8,12,
15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
【高清课堂：三元一次方程组 409145 例3】
3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
①②③的解使得代数式x -2y+3z 的值等于-10，求a 的值．
【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z (含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x -2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值．
【答案与解析】
解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④
③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a
把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x -2y+3z ＝10得
a -2×2a+3×3a ＝-10．解得53
a =-．解法二：①+②+③，得2(x+y+z )＝12a ．
即x+y+z=6a ④
④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x -2y+3z ＝10得
a -2×2a+3×3a ＝-10．解得53
a =-．【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．
【高清课堂：三元一次方程组409145 例4】
举一反三：
【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩
①② ，则x：y：z＝ .【答案】15:7:6
类型三、三元一次方程组的应用
4. (凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地133
公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?
【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示，设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组．
【答案与解析】
解：设每公顷草地原有牧草akg ，每周每公顷草地生长草bkg ，每头牛每周吃草ckg ，丙地24公顷地可供x 头牛吃18周．根据题意得10104412331091092124182418a b c a b c a b xc ⎧+⨯=⨯⎪⎪⎨+⨯=⨯⎪⎪⎩+⨯=⨯①②③由①②得545910
a c
b
c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入③，得x ＝36．
答：丙地24公顷可供36头牛吃18周．
【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的重要一环．举一反三：
【变式】（2015•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
【答案】B．
解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z=1.05（元）．。