黑龙江大庆实验中学18-19学度高一下开学考试-数学

黑龙江大庆实验中学18-19学度高一下开学考试-数学
高一数学试题
第一卷〔选择题共60分〕
一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分，在每题只有一项为哪一项正确的〕 1、假设{
222
8}
x
A x Z -=∈≤<，{2R |log 1}
B x x =∈>， 那么
()
R A C B I 的元素个数为〔〕
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2、函数
y =
的定义域为〔〕
A 、
3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、
3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C 、
()1,+∞D 、()3,11,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
U
3、假设四边形ABCD 满足0AB CD +=uu u r uu u r r ，()
AB AD AC -⋅=uu u r uuu r uuu r ，那么该四边形一定是()
A 、直角梯形
B 、菱形
C 、矩形
D 、正方形 4、设
1.5
0.912132
14,log 5,2y y y -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭，那么〔〕
A 、312y y y >>
B 、213y y y >>
C 、123y y y >>
D 、132y y y >>
5、给定函数①
1
2
y x
=，②
12
log (1)
y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，
其中在区间
()0,1上单调递减的函数序号是()
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
6、O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ，那么()
A.AO OD =uuu r uuu r
B.2AO OD =uuu r uuu r
C.3AO OD =uuu r uuu r D 、2AO OD =uuu r uuu r 7、假设θ是△ABC 的一个内角，且
8
1cos sin -
=θθ，那么θθcos sin -的值为〔〕
A 、
23-B 、23C 、25-D 、2
5 8、假设1,2,,a b c a b c a
===+⊥r r r r r r r ，那么向量a r 与b r 的夹角() A 、60︒
B 、120︒
C 、30︒
D 、150︒
9、函数
23
(1)(),()323(1)
x
x x f x g x x x x +≤⎧==⎨-++>⎩，这两个函数图象的交点个数为〔〕
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
10、函数
()()()
2
ln 10f x x x x
=+->的零点所在的大致区间是() A 、
()0,1B 、()1,2C 、()2,e D 、()3,4
11、假设关于x 的方程
12
log 1m x m =
-在区间()0,1上有解，那么实数m 的取值范围是()
A 、
()0,1B 、()1,2C 、()(),12,-∞+∞U D 、()(),01,-∞+∞U
12、当(0,)x ∈+∞时，幂函数21(1)m y m m x --=--为减函数，那么实数m =〔〕
A 、2m =
B 、1m =-
C 、2m =或1m =-D
、
m ≠
第二卷〔非选择题共90分〕
二、填空题(此题共4小题，每题5分，共20分，把正确答案写在答题卡上)
13、点()2,3A ，()
0,1C ，且2AB BC =-uu u r uu u r ，那么点B 的坐标为________;
14、假设sin cos 2
sin cos θθ
θθ
+=-，那么
()3sin 5sin 2πθπθ⎛⎫--=
⎪⎝⎭
________;
15.函数
()
22log 2y x ax =-+在
[)2,+∞上恒为正，那么实数a 的取值范围是________;
16、如右图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
假设,
y x +=那么()
,x y 所对应的点坐标为__________.
三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤〕
17.〔本小题总分值10分〕
点()0,0O 、()1,2A 、()
4,5B ，向量OP OA t AB =+uu u r uu r uu u r .
(Ⅰ)为何值时，点P 在x 轴上？
(Ⅱ)为何值时，点P 在第二象限？
(Ⅲ)四边形ABPO 能否为平行四边形？假设能，求出的值；假设不能，说明理由、 18、〔此题总分值12分〕 设集合A 为函数()()
2ln 28f x x x =--+的定义域，集合B 为不等式
()140
ax x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭
的解集、 (Ⅰ)写出
()f x 的单调区间；
(Ⅱ)假设R B C A ⊆，求a 的取值范围、
19、〔此题总分值12分〕
E A
如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，
PECF 是矩形，用向量法证明以下问题：
(Ⅰ)PA EF =(Ⅱ)PA EF ⊥ 20、〔此题总分值12分〕
函数()2cos() (0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的 最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线
8
π=
x 、
〔Ⅰ〕求ω，ϕ；
〔Ⅱ〕求函数)(x f y =的单调递减区间；
〔Ⅲ〕结合五点法画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象、 21、〔此题总分值12分〕
函数()221
x f x a =-
+.
(Ⅰ)假设函数
()
f x 为奇函数，求a 的值；
(Ⅱ)假设2a =，那么是否存在实数()
,0m n m n <<，使得函数
()
f x 的定义域和值域
都为
[],m n ？假设存在，求出,m n 的值；假设不存在，请说明理由、
22、〔此题总分值12分〕
设函数()(0x x f x a a a -=->且1)a ≠.
〔Ⅰ〕假设(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集； 〔Ⅱ〕假设
3(1),
2
f =且22()2(),x x
g x a a mf x -=+-且()g x 在[1,)+∞上的最小值为
2-，
求m 的值、
高一开学考试数学答案
【一】选择题1—5CABDB6—10ADBBB11-12AA 【二】填空题13.
()2,1--；14.
310；15.5|2a a ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭
；
16.1⎛+ ⎝
【三】解答题：
17、解：∵OP uu u r ＝OA uu r ＋t AB uu u r ＝(1,2)＋t (3,3)
＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )、-------------------2分
(Ⅰ)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－2
3.-----------------4分
(Ⅱ)由题意得130
230t t +<⎧⎨
+>⎩.∴－23<t <－1
3.-------------------7分
(Ⅲ)∵AB uu u r ＝(3,3)，OP uu u r ＝(1＋3t,2＋3t )、
假设四边形ABPO 为平行四边形，那么AB uu u r ＝OP uu u r ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3t ＝3
2＋3t ＝3
，而上述方程组无解，
∴四边形ABPO 不可能为平行四边形、----------------------10分
18、解：(Ⅰ)由－x 2
－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，
单调递增区间为(－4，－1)，单调递减区间(－1，2)，………………4分 (Ⅱ)因为∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)、………………5分
由⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)≤0，知a ≠0.………………6分
①当a >0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2(x ＋4)≤0，得B ＝⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－4，1a 2，不满足B ⊆∁R A ；………8分
②当a <0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2(x ＋4)≥0，得B ＝(－∞，－4)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a 2
，＋∞，
欲使B ⊆∁R A ，那么1
a 2
≥2，解得－22≤a <0或0<a ≤22，
又a <0，因此－2
2≤a <0；………………11分
综上所述，所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.………………12分 19、证明：建立如下图坐标系，设正方形边长为1，
DP
uu u r =λ,那么A(0，1)，P(2
2λ，2
2λ)，E(1，2
2λ)， F(22λ，0)∴=(－22λ,1－2
2λ),
=(2
2λ－1,－2
2λ)-------------4分
(Ⅰ)｜PA ｜2
=(－2
2λ)2
+(1－22λ)2
=λ2
－2λ+1
｜EF ｜2
=(22λ－1)2
+(－22λ)2
=λ2
－2λ+1
∴｜PA ｜2=｜EF ｜2,故PA=EF--------8分
(Ⅱ)PA ·EF =(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－2
2λ)=0
∴⊥∴PA ⊥EF-----------------12分 20、解：〔Ⅰ〕
)
(8
x f y x ==
是函数π
的图像的对称轴，因此
sin(2)1,
8
π
φ⨯
+=±
因此,.
4
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈又因为0,πφ-<<因此
3.
4
πφ=-ω=2………3分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知
3,4πφ=-因此3sin(2)
4
y x π=- 由题意得
.
,2
243222Z k k x k ∈+≤-≤-π
πππ
π 因此函数
3sin(2)4y x π=-的增区间为()5[,].
88k k k Z ππππ++∈………………7分 〔Ⅲ〕由
知
)4
32sin(π
-=x y
故函数()y f x =在[0,]π区间上图像是………………12分
21、解：(I)∵f (x )为R 上的奇函数，
∴f (0)＝0，∴a ＝1.-----------------3分 (II)法一：不存在实数m 、n 满足题意、
f (x )＝2－2
2x ＋1，
∵y ＝2x
在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数、 假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧
2－2
2m ＋1＝m ，①2－2
2n
＋1＝n ，②
∵m ＜0，∴0＜2m
＜1，∴0＜2－2
2m
＋1＜1. 而①式左边＞0，右边＜0，故①式无解、 同理②式无解、
故不存在实数m 、n 满足题意、------------------------------12 法二：不存在实数m 、n 满足题意、
易知f (x )＝2－2
2x ＋1，
∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴f (x )在R 上是增函数、 假设存在实数m 、n (m ＜n ＜0)满足题意，那么有
()()f m m f n n
=⎧⎪⎨=⎪⎩
即m 、n 是方程f (x )＝x 的两个不等负根、
由2－22x ＋1＝x ，得2x
＋1＝－2
x －2.
令h (x )＝2x
＋1，g (x )＝－2
x －2.
∵函数g (x )在(－∞，0]上单调递增， ∴当x ＜0时，g (x )＜g (0)＝1. 而h (x )＞1，∴h (x )＞g (x )，
∴方程2x
＋1＝－2
x －2在(－∞，0)上无解、 故不存在实数m 、n 满足题意、 22、〔12分〕解：〔I 〕
1
(1)0,0,01
f a a a a
>∴->>≠又且，1,()x x a f x a a -∴>=- ()f x ∴在R 上为增函数………………2分
原不等式分为：2(2)(4)f x x f x +>-2224,340x x x x x ∴+>-+->即
14,x x ∴><-或∴不等式的解集为{|14}x x x ><-或…………5分
〔II 〕
313(1),22f a a =∴-=，即212320,22
a a a a --=∴==-
或〔舍去〕
∴g (x )＝22x
＋2
－2x
－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x
)＋2.
令t ＝f (x )＝2x
－2－x
，由(1)可知f (x )＝2x
－2－x
为增函数∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝3
2，
令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2
(t ≥3
2)………………8分
假设m ≥3
2，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2
＝－2，∴m ＝2
假设m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>3
2，舍去 综上可知m ＝2.………………12分。