陕西省宝鸡市2021届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)

陕西省宝鸡市2021届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共计150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，请将试题（卷）和答题纸上密封线内的项目填写清楚.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔填涂在答题卡上.
3. 非选择题用黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，在试题（卷）上作答无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合()(){}
130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A. ()1,3 B. (),1-∞-
C. ()1,1-
D. ()3,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x
，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.复数z 满足()2
11z i i -=+，则z =（ ）．
A.
1
2
B.
2
C. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()
2
11z i i -=+，得2211(1)11
(1)2222
i i i i z i i i i +++⋅=
===-+---，
∴||z == 故选B ．
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3.若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（ ） A. 1 B. －2
C. 1或－2
D. 3
2
-
【答案】A 【解析】 【分析】
分类讨论直线()120x m y ++-=的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．
【详解】①当1m =-时，两直线分别为20x -=和240x y --=，此时两直线相交，不合题意．
②当1m ≠-时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得112
221m m m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪≠-⎪+⎩
，解得1m =．
综上可得1m =． 故选A ．
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则1
2l l ⇔
1221A B A B =且1221B C B C ≠或1221A B A B =且1221A C A C ≠．
4.设向量(1,1)a =，(2,3)b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k 的值等于（ ） A. 1 B. －1
C. 2
D. －2
【答案】B 【解析】
分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可. 详解：向量()()1,1,2,3a b ==-， 则()2k 4,k 6ka b -=-+
若2ka b -与a 垂直，则k 4k 60-++= 解得1k =-. 故选B.
点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.
5.已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =+的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】
做出可行域，根据图像，即可求解.
【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：
由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩
，(1,1)A
由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时， 取得最小值为3. 故选:B.
【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.
6.设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，A （0，－2）
，B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A. x 2＋（y －2）2＝20 B. x 2＋（y －2）2＝5 C. x 2＋（y ＋2）2＝20 D. x 2＋（y ＋2）2＝5
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半
径为
【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ．
【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到
PA =和运用，属于基础题．
7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x
= ④f（x ）＝x 2
则输出的函数是（ ） A. f （x ）＝sinx B. f （x ）＝cosx
C. 1()f x x
=
D. f （x ）＝
x 2
【答案】A 【解析】
试题分析：对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A. 考点：程序框图及函数的性质.
8.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=1
2
．则下列结论中正确的个数为
①AC⊥BE； ②EF∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B 【解析】
试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B ，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
9.函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A. [－2＋12k ，4＋12k]（k∈Z） B. [－5＋12k ，1＋12k]（k∈Z） C. [1＋12k ，7＋12k]（k∈Z） D. [－2＋6k ，1＋6k]（k∈Z）
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6
π
=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．
【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝
⎭
， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π=
ω，
∴()26
3f x sin x π
πϕ⎛⎫=++
⎪⎝⎭．
又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
++=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()26
3f x sin x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
由22,2
6
3
2
k x k k Z π
π
π
π
ππ-
+≤
+
≤
+∈，
得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，
∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ．
【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
10.已知抛物线x 2
＝16y 的焦点为F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是
双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A. 5 B. 7
C. 9
D. 11
【答案】C 【解析】 【分析】 由
题
意
并
结
合
双
曲
线
的
定
义
可
得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可
得所求最小值．
【详解】由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别
为()()123,0,3,0F F -． ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ．
【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
11.已知,R αβ∈，则“αβ>”是“sin sin αβαβ->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分
也不必要条件 【答案】A 【解析】
【详解】考查函数()f x x sinx =-,所以()10f x cosx -'=>， 所以()f x 在(),-∞+∞上递增， 若αβ>，则sin sin αβαβ->-， 若sin sin αβαβ->-，则αβ>，故选A.
12.定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)(),()f x f x f x '-=为()f x 的导函数，且3()02x f x ⎛
⎫'-< ⎪⎝
⎭，若12x x <，且123x x +>，则有（ ） A. 12()()f x f x > B. 12()()f x f x < C. 12()()f x f x =
D. 不确定
【答案】A 【解析】
【详解】函数()f x 满足()()3f x f x -=，可得3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 由()302x f x ⎛
⎫⎪⎭'-
< ⎝，易知，当3
2
x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 由123x x +>，12x x <，则23
2
x >. 当13
2x >
,则()()12f x f x >. 当132x <,则13
32
x ->,21
3x x >-，()()123f x f x ->，即()()12f x f x >. 故选A.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.在23
(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． 【答案】-9 【解析】 【分析】
由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．
【详解】()
3
223x x --表示三个(
)
2
23x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况： （1）从三个(
)
2
23x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个(
)
2
23x x --中分别选取3-，
所得结果为1222
3(3)27C x x ⋅⋅-=；
（2）从三个(
)
2
23x x --选取两个分别取2x -，再从剩余一个(
)
2
23x x --中选取3-，
所得结果为222
3(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．
综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．
【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基
础题．
14.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则22
2
sin cos 2sin cos cos αα
ααα
-+的值为__________． 【答案】
3
5
【解析】 【分析】
根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可．
【详解】由()3
23
f x x =
得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．
∴22222
12132212215
sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+． 故答案为
35
． 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．
15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
103
【解析】
如图所示，三视图还原为几何体是棱长为2的正方体中的组合体ABCDEF ，将其分割为四棱锥B CDEF - 和三棱锥F ABC - ，其中：
()122
12232
B CDEF V -+⨯=⨯⨯= ，114222323F AB
C V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ，
该几何体的体积410
233
V =+
= .
16.已知三角形的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =226b c -=，则
角A 最大时，三角形ABC 的面积等于__． 2 【解析】 【分析】 由
题
意
得
22+6
b c =，根据余弦定理得到
2222222
222(2)cos 2(6)26b c a c A bc c c c c
+-+===++⋅，然后利用换元法和二次函数的最值
的求法得到22
cos A ≥
，并求出此时6,3c b == 【详解】∵226b c -=，
∴22+6b c =．
由余弦定理的推论得222222cos 2b c a A bc +-==== 设2
2(2)t c t =+>，
则cos 3A ====≥，
当且仅当8t =
，即c b =
=时等号成立，
∴当角A
最大时，cos 3
A =， ∴1sin 3A =，
∴11
23
ABC
S ∆=⨯=， 即角A 最大时，三角形ABC
．
．
【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到cos A 的表达式，然后根据二次函数求最值的方法
得到cos 3
A ≥
，由于题中涉及到运算量较大，所以在解题中注意换元法的运用，通过减少参数的方法达到求解的目的．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分.
17.设数列{}n a 满足12a = ，12n
n n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
21
32
n
S n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）2n
n a =，32n b n =-；（2）()110352n n T n +=+-⋅
【解析】
【分析】
（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式． （2）利用数列求和的错位相减即可得到数列{}n c 的前n 项和n T ． 【详解】（1）
1212a a ， 232
2a a ，
343
2a a ，……，112n n n a a ---= ，
以上1n - 个式子相加得：
1
1231
1
21222222212
n
n
n n a a
2n n a ∴=
当2n ≥ 时，1n n n b S S -=-
=21
32n n （）
-2
13[112
]n n （）（）---- 32n =-
当1n = 时，111b S == ，符合上式，
32n
b n ；
（2）
322n n
n n c a b n （）
123124272322n n T n （） ① 234
12124272322n n
T n （） ②
①-②得23
123222322n n n
T n （）（）
(
)1
4122312
n --=+⨯
-1322n n
（）
110532n n （）
110352n n
T n （）
【点睛】已知1()n n a a f n +=+ 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前n 项和采用错位相减法．
18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
【答案】(1)19
495
；(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)小明去乙公司应聘
【解析】
【分析】
（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可．（2）(ⅰ) 先求出乙公司送餐员每天的日工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望；(ⅱ)求出甲公司送餐员日平均工资为149元，与(ⅰ)中得到的乙公司送餐员的日平均工资162元作比较后可得结论．
【详解】（1）记“从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，
则()
2
20
2
100
19
495 C
P M
C
==．
即抽取的两天送餐单数都大于40的概率为
19
495
． （2） (ⅰ)设乙公司送餐员日送餐单数为a , 则当38a =时,384152X =⨯=， 当39a =时, 394156X =⨯=， 当40a =时, 404160X =⨯=， 当41a =时, 40416166X =⨯+⨯=， 当42a =时, 40426172X =⨯+⨯=． 所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． 由频数表可得
()10115210010P X ==
=，()2011561005P X ===，()201
1601005P X ===， ()4021661005P X ===，()101
17210010P X ===，
所以X 的分布列为
所以()11121
1521561601661721621055510
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． (ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数
380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
所以甲公司送餐员日平均工资为70+239.5149⨯=元. 由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为162元. 因为149<162，
故推荐小明去乙公司应聘．
【点睛】（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取没一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可．
（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论．
19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是正方形，1AD DE ==，90ADE ∠=︒，
120ADC DCB ∠=∠=︒.
（1）求证：AE BD ⊥；
（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（25
【解析】 【分析】
（1）根据已知可证AB CD ∥，可得四边形ABCD 为等腰梯形，进而证明AD BD ⊥，再由已知可证DE ⊥平面ABCD ，从而有DE BD ⊥，可得BD ⊥平面ADE ，即可证明结论； （1）以D 为原点建立空间直角坐标系（如下图所示），确定,,A B F 坐标，求出平面BDF 的法向量坐标，根据空间向量线面角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：由已知//DC EF ，且DC ⊄平面ABFE ，
EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .
又平面ABCD
平面ABFE AB =，故//AB CD .
又120ADC DCB ∠=∠=︒， 所以四边形ABCD 为等腰梯形， 因为AD DE =，所以AD CD BC ==， 因为120DCB ∠=︒，所以30CDB ∠=︒， 所以1203090ADB ∠=︒-︒=︒，所以AD BD ⊥. 因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，且AD
DC D =，
所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥. 又AD DE D ⋂=，∴BD ⊥平面ADE ， 又AE ⊂平面ADE ，所以AE BD ⊥.
（2）如图，以D 为原点，且DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴，
建立空间直角坐标系Dxyz.
则()
0,0,0
D，()
1,0,0
A，
13
,,1
2
F
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，()
0,3,0
B，
∴
33
,,1
22
FA
→⎛⎫
=--
⎪
⎪
⎝⎭
，()
0,3,0
DB
→
=，
13
,,1
22
DF
→⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
设平面BDF的法向量为()
,,
n x y z
→
=，
由
30
13
22
n DB y
n DF x y z
⎧⋅==
⎪
⎨
⋅=-++=
⎪
⎩
，得
2
y
x z
=
⎧
⎨
=
⎩
，
令1
z=，得()
2,0,1
n
→
=.
设直线与平面BDF所成的角为θ，
5
sin cos,
25
FA n
FA n
FA n
θ
→→
→→
→→
⋅
=<>===
⨯
，
所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为
5
.
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线垂直，用空间向量法求直线与平面所成的角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20.已知动圆P恒过定点
1
(,0)
4
，且与直线
1
4
x=-相切．
（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．
【答案】（1）2y x = ；（2）18S =或50S = 【解析】 【分析】
（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹M 的方程为2
y x =；（2）设CD 边所在直线方程为
y x t =+，代入抛物线方程后得到关于x 的二次方程，进而由根与系数的关系可得
CD =，又由两平行线间的距离公式可得AD =
，由AD CD =求出
2t =-或6t =-，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．
【详解】（1）由题意得动圆P 的圆心到点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离与它到直线14x =-的距离相等，
所以圆心P 的轨迹是以1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点，以14x =-为准线的抛物线，且12p =，
所以圆心P 的轨迹方程为2
y x =．
（2）由题意设CD 边所在直线方程为y x t =+， 由2
y x t y x
=+⎧⎨
=⎩消去y 整理得()22
210x t x t +-+=， ∵直线CD 和抛物线交于两点， ∴
()2
2124140t t t =--=->，解得14
t <
． 设()11,C x y ，()22,D x y ，
则2
121212,x x t x x t +=-=.
∴CD =
==．
又直线AB 与直线CD 间的距离为AD =，
∵AD CD =，
=
，解得2t =-或6t =-，
经检验2t =-和6t =-都满足
0>．
∴正方形边长AD =
AD =， ∴正方形ABCD 的面积18S =或50S =．
【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则||MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线． （2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． 21.已知函数()()ln 1
ax
f x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()
f x 的
单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点12x x <，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()f x '，对()0f x '≥（或()0f x '
≤）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立，得出()
f x 的单调性，若不恒成立，求解()0,()0f x f x '
'
><，即可得出结论； （2）由（1）得出知4a >，且122x x a +=-，121=x x ，将()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
表示为关于a 的函数()h a ，求导得出()h a 的单调性，即可证明结论.
详解】（1）()()()
()()()2
22
121
101'1a x ax x f x a x x x x x x +-+-+=-=>++， 令()()()2
210p x x a x x =+-+>.
①当()2
240a ∆=--≤，即04a ≤≤时，()'0f x ≥恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
②当0a <时，()1p x >，故()'0f x >恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
③当4a >时，由于()'0f x =
的两根为：0x =>，
()0f x '>
的解集是220,22a a ⎛⎫
⎛⎫
--+
+∞ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()0f x '<的解集是22
,22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭
.
所以(
)f x 分别在区间⎛ ⎝⎭
，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 在
⎝⎭
上递减， 综上，4a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上递增；
4a >时，函数()
f x 分别在区间⎛
⎝⎭
，
⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，在⎝⎭
上递减.
（2）由（1）知4a >，且122x x a +=-，121=x x ， ∴()()12
121212ln ln 11ax ax f x f x x x x x +=-
+-++()()()()
1221121211ln 11ax x ax x x x a x x +++=-=-++， 而122
222ln 22221
2
a a x x a a f f a -⋅
+--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+()2ln 22a a -=--， ∴()()12122ln 22222f x f x x x a a f a ++-⎛⎫-=-++
⎪
⎝⎭
2ln 222a a -=-+， 设()()2ln
2422
a a h a a -=-+>，则()()211402222'2a h a a a -=
⋅-=<--， ()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <，
所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、证明不等式，考查分
类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4—4：坐标系与参数方程】
22.选修4-4：坐标系与参数方程
点P 是曲线1C ：22
(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C .
（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；
（2）射线3πθ=
，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（Ⅱ）M 到射线3π
θ=的距离为2sin 3d π
==B A AB ρρ=-可求得S
试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（Ⅱ）M 到射线3π
θ=的距离为2sin 3d π
==
)
4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝
⎭，
则132
S AB d =⨯=． 【选修4—5：不等式选讲】
23.选修4—5：不等式选讲
设函数f （x ）＝x 2－x －1．
（Ⅰ）解不等式：|f （x ）|＜1；
（Ⅱ）若|x －a|＜1，求证：|f （x ）－f （a ）|＜2（|a|＋1）．
【答案】（1）()()-1,01,2⋃；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得2111x x -<--<，转化为不等式组求解即可．（2）将原不等式变形后再利用绝对值的三角不等式证明即可．
【详解】（1）由()1f x <得()11f x -<<，即2111x x -<--<，
所以22020x x x x ⎧->⎨--<⎩
，解得10x -<<或12x <<， 所以原不等式的解集为()()1,01,2-⋃．
（2）证明： 因为1x a -<，
所以()()22
f x f a x a a x -=-+- ()()1x a x a =-+- ＝1x a x a -+-
1x a <+-
()21x a a =-+- 21x a a ≤-++
()2221a a <+=+．
【点睛】本题考查二次不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，用三角不等式证明时一是要注意将式子进行变形，使得满足能使用不等式的形式，同时还要注意等号成立的条件，属于基础题．。