河北省衡水市重点中学2025届高三最后一卷数学试卷含解析

河北省衡水市重点中学2025届高三最后一卷数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2
()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则
122313x x x x x x ++=（ ）
A ．12
B ．11
C ．6
D ．3
2．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．5101900-米
B ．510990-米
C ．4109900
-米
D ．410190
-米
4．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．
45
B ．45
-
C ．45
±
D ．
35
5
．集合{
}
|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )
A ．7
B ．8
C ．31
D ．32
6．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD
都是等腰直角三角形，AB =，2
BAD CBD π
∠=∠=
，且二面角
A BD C --的大小为
23
π
，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）
A．22
3
π
B．
28
3
π
C．
2
π
D．
2
3
π
7．设F为双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q
两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．2B．3
C．2 D．5
8．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n的样本.若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）
A．20B．50C．40D．60
9．函数的图象可能是下列哪一个？（）
A．B．
C．D．
10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A
B
．C
D
．11．已知函数31,0
()(),0
x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）
A ．－10
B ．－9
C ．－7
D ．1
12．复数2(1)4
1
i z i -+=+的虚部为（ ）
A ．—1
B ．—3
C ．1
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，4-，1-，0，2，则该组数据的标准差为_______.
14．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆2
2
2440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值
为_________．
15．在数列{}n a 中，已知*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n 项和为21n S +=__________.
16．已知()1,3a =，()2,1b =-，求()
2a b a +⋅=____________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数(
)
()(1)1x
f x x e =+-. （Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.
（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111
eb
x x b e -≤++-. 18．（12分）已知函数2
2
()|||23|,()3f x x a x a g x x ax =-+-+=++. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()6f x ≤；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 19．（12分）已知函数()2
2
x
k f x e x =-
有两个极值点1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；
（2）证明：()()
1212
f x f x k x x +<.
20．（12分）已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 的对边，且cos 2cos a A
b B
=-． （Ⅰ）求
a c
． （Ⅱ）若4b =，1
cos 4
C =
，求ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos 23C π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值． 21．（12分）已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，
（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若过点(10)F ，
的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN
的取值范围.
22．（10分）在四棱锥P ABCD -中，1
,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；
（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值； （3）设直线AM 与平面PBD 相交于点N ，若
AN PM AM PC =，求AN
AM
的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【详解】
作出函数1,2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧
=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ． 【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 2、 B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b
a b c c
==,lg lg a b >，两边同乘以
一个负数
1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 3、D 【解析】
根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由1
10.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪
⎝⎭
，解得4n =，
再求和. 【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设11
100,,0.110
n a q a ==
=， 所以1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，
所以
()
4
4
44111001101111100
1190a q S q
⎛⎫⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=
=-=
--
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 4、B 【解析】
根据题意可得：tan 2α，
所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α
，
则22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15
ααααααααα-⨯=====-++-+
故答案选B 【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 5、A 【解析】
计算{}
2,3,0M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】
{}{
}
2|4,2,3,0M y y x x ==-∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.
故选：A . 【点睛】
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 6、B 【解析】
分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为
23
AMN π
∠=
，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】 如下图所示，
分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，
由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，
2
CBD π
∠=
，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C
--的平面角为23
AMN π∠=
， 2AB AD ==，则2
2
2BD AB AD =
+=，且2BC =，所以，112AM BD =
=，1
12
MN BC ==， ABD ∆是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，
分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，
由图形可知，2326
OMN AMN AMO πππ
∠=∠-∠=
-=， 在Rt OMN ∆中，3cos 2
MN OMN OM =∠=
，23
33OM ∴=
=
， 所以，2221
3
OA OM AM =+=
， 所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为2
2
21284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 7、A 【解析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又
||PQ OF c ==，||,2
c
PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，
A
∴为圆心||2
c OA =．
,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=，故选A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 8、B 【解析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】
由题意，30=150015001000
n
⨯+，解得50n =.
故选：B. 【点睛】
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题. 9、A 【解析】 由排除选项;
排除选项；由函数
有无数个零点，排除选项,从而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数
个零点，可排除选项,故选A. 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一
一排除. 10、B 【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，1
234432
V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 11、B 【解析】
根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】
因为函数3,0
()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，
((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.
故选：B 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力. 12、B 【解析】
对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】
()()2421(1)44213112
i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4 【解析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：C)︒依次为8，4-，1-，0，2， 平均数为：
()1
8410215
--++=， ∴该组数据的方差为：
2222221(81)(41)(11)(01)(21)165
S ⎡⎤=-+--+--+-+-=⎣⎦， ∴该组数据的标准差为1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14、0或6 【解析】
计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =. 【详解】
222440x y x y ++--=，即()()2
2
129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.
AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =
2d ==
，故6a =或0a =. 故答案为：0或6.
【点睛】
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

15、223n +- 【解析】
由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解． 【详解】
解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈， 得112(2)n n n a a n --=，
∴
1
1
2(2)n n a n a +-=， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
∴12
22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，
21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+
212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+
2
1
123(1222)332312
n
n n --=+++⋯+==--．
∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-．
故答案为：223n +-． 【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题． 16、21 【解析】
求出向量2a b +的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果. 【详解】
()1,3a =，()2,1b =-，()()()221,32,10,7a b ∴+=+-=，
因此，()
2017321a b a +⋅=⨯+⨯=.
故答案为：21. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）()11e
y x e
-=+；
（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11e
b x e
-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可. 【详解】
（Ⅰ）由题()'()11x x
f x e e x =-++,故1
'(1)11
1e
f e -=
=---.且(1)0f -=. 故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11e
y x e
-=
+. （Ⅱ）设()()()()
110x
h x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21x
h x x e a =+--.
设函数()()2x
x x e ϕ=+则()()'3x
x x e ϕ=+,故()()2x
x x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在
()3,-+∞上单调递增.
又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值, 当1a =时，此时()()'22x
h x x e =+-,且在(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减.
在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；
当1a >时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾； 当1a <时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
故1a =
（Ⅲ）()()'()2111x x x e x f x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1x
x f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,
又
'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.
又因为()1
1
1'(1110)2f e e ---+=-=--<,()0
02'(010)1f e =-+=>, 故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-. 所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.
因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > . 结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11e
f x x e
-≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11e
b x e
-=
+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311eb
x e
=
--,4x b =. 故214311
eb
x x x x b e -≤-≤++-,得证. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
18、（1）{|33}x x -≤≤；（2）()8
,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >，min ()f x 根据绝对值不等式易求，min ()g x 根据二次函数易求， 然后解不等式即可. 【详解】
解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =-++，则2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪
=-<⎨⎪⎩
当1x <-时，由()6f x 得，26x -，解得31x -<-；
当11x -<时，()6f x 恒成立；
当1x 时，由()6f x 得，26x ，解得13x . 所以()6f x 的解集为{|33}x x -≤≤
（2）对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，得12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >. 因为2
2
23(1)20a a a -+=-+>，所以223a a >-， 且|222|23|
()(23)23x a x a x a x a a a -+-+---+=-+
223a a =-+，①
当223a x a -时，①式等号成立，即2
min ()23f x a a =-+.
又因为22
2
23()33244
a a a x ax x ++=++--，②
当2a x =-时，②式等号成立，即2
min ()34a g x =-
. 所以2
2
2334
a a a -+>-，即2580a a ->
即a 的取值范围为：()8
,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题. 19、（1）(),e +∞ （2）证明见解析 【解析】
（1）先求得导函数()f x '，根据两个极值点可知()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根，构造函数()x
g x e kx =-，求
得()g x '；讨论0k ≤和0k >两种情况，即可确定()g x 零点的情况，即可由零点的情况确定k 的取值范围； （2）根据极值点定义可知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，代入不等式化简变形后可知只需证明
122x x +>；构造函数()x x h x e =
，并求得()h x '，进而判断()x x h x e =的单调区间，由题意可知()()121h x h x k
==，并设1201x x <<<，构造函数()()()2x h x h x ϕ=--，并求得()x ϕ'，即可判断()x ϕ在01x <<内的单调性和最值，
进而可得()()20h x h x --<，即可由函数性质得()()212h x h x <-，进而由单调性证明
212x x >-，即证明122x x +>，从而证明原不等式成立.
【详解】
（1）函数()22
x
k f x e x =-
则()x
f x e kx '=-，
因为()f x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根.
设()()x g x f x e kx '==-，所以()x
g x e k '=-.
①当0k ≤时，()0x
g x e k '=->，
所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当0k >时，令()0x
g x e k '=-=得ln x k =，
所以()()min ln ln 0g x g k k k k ==-<，即k e >. 又因为()010g =>，()2
0k
g k e k =->，
所以()g x 在区间()0,ln k 和()ln ,k k 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数k 的取值范围为(),e +∞.
（2）证明：由题意知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，
所以11x
e kx =，22x
e kx =.
要证明()()
1212
f x f x k x x +<，
只需证明
()12221212
122222
x x k k e x e x k k x x k x x -
-+=-+<，
只需证明122x x +>.
因为11x
e kx =，22x
e kx =，所以
12
121x x x x e e k
==. 设()x x h x e =
，则()1x
x
h x e -'=， 所以()h x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数. 因为()()121
h x h x k
==
， 不妨设1201x x <<<，
设()()()2x h x h x ϕ=--，01x <<， 则()()()()22111
1+21x x x x x x x h x h x x e e e e ϕ----⎛⎫
'''=-=-=-- ⎪⎝⎭
， 当()0,1x ∈时，10x ->，
211x x
e e ->， 所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上是增函数， 所以()()10x ϕϕ<=，
所以()()20h x h x --<，即()()2h x h x <-. 因为()10,1x ∈，所以()()112h x h x <-， 所以()()212h x h x <-.
因为()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞，且()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以212x x >-， 即122x x +>， 所以原命题成立，得证. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
20、（Ⅰ）12
；【解析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 【详解】 （Ⅰ）因为
cos sin 2cos sin a A A
b B B
==-， 所以2sin sin cos sin cos A A B B A -=，
所以2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=， 由正弦定理可得，
sin 1sin 2
a A c C ==； （Ⅱ）由余弦定理可得，22
116448a a a
+-=，
整理可得，232160a a +-=， 解可得，2a =，
因为sin 4
C =
所以11sin 2422ABC S ab C ∆==⨯⨯=
（Ⅲ）由于1sin 22sin cos 24C C C ===
，2
7cos22cos 18C C =-=-．
所以117cos(2)cos22()3228C C C π+==⨯--=
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 21、 (1)见解析;(2)108⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，. 【解析】
试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2
C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα
=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入2
212x
y +=，利用韦达定理、直线参
数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2
212
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =；
（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）
又直线l 与曲线2C ：2
4y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.
联立直线l 与曲线1C ：2212
x y +=可得()
22
1sin 2cos 10t t αα++-=则12211sin FA FB t t α⋅==
+ 联立直线l 与曲线2C ：2
4y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则122
4
sin FM FN t t α
⋅==
即2222211sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα
⋅⎛⎤+==⋅=⋅∈ ⎥⋅+⎝⎦+ 22、（1）证明见解析（2
（3）
12AN AM = 【解析】
（1）取AD 中点为O ,连接PO ,由等边三角形性质可得PO AD ⊥,再由面面垂直的性质可得PO DC ⊥,根据平行直线的性质可得CD PA ⊥,进而求证；
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设
2AB AD ==,由点M 在棱PC 上,
可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈,即可得到AM ,再求得平
面PBC 的法向量,进而利用数量积求解； （3）设2,AD DC m ==,
AN PM
k AM PC
==,则,PM k PC AN k AM ==,求得AM ,AN ,即可求得点N 的坐标,再由DN 与平面PBD 的法向量垂直,进而求解.
【详解】
（1）证明:取AD 中点为O ,连接PO , 因为PAD △是等边三角形,所以PO AD ⊥,
因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以PO DC ⊥, 因为//,AB CD AB PA ⊥,所以CD PA ⊥, 因为PO
PA P =,在平面PAD 内,所以CD PAD ⊥平面,
所以PCD PAD ⊥平面平面.
（2）以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA ,OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设
2AB AD ==,则(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,4,0)C -
,P ,
因为M 在棱PC 上,
可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈,
所以(1,4))AM t t t =---,
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =,
因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-,
所以00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩,
即22040x y x y -+=⎧⎪
⎨-+-=⎪
⎩,令1x =,
可得1
1x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,即(1,1,3)n =, 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ,所以sin cos ,5(5AM n AM n AM n
θ⋅=<>=
=
,
可知当110t =
时,sin θ
. （3）设2,AD DC m
==,则有(1,,0)P C m -,得(1,,PC m =-, 设
AN
PM k AM PC
==,那么,PM k PC AN k AM ==,
所以(,,)PM k mk =-
, 所以(,))M k mk k --.
因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---所以,
22,(,
(1))AN k AM AN k k mk k ==---因为所以,
所以22(1,(1))N k k mk k --+-
. 又因为(1,0,0),1,
,02m D B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,所以22(2,(1))DN k k mk k =--+-, (1,0,3),2,,02m PD DB ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
,设平面PDB 的法向量为(,,)m x y z =,
则
00m PD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即
020
2x m x y ⎧-
=⎪
⎨+=
⎪⎩,x =令可得1
x y
z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
即3,m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为N 在平面PDB 内,所以DN m ⊥,所以0DN m ⋅=,
所以22433(2)3(1)0k k mk k k m ---++
⋅+-=,即2210k k +-=, 所以12k =或者1k =-（舍）,即12
AN AM =.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.。