山西省吕梁市西槽头乡中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省吕梁市西槽头乡中学高三数学理模拟试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为( )
A．y=4x B．y=3x C．y=﹣3x D．y=﹣2x
参考答案：
D
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．
解答：解：函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是
f′（x）=3x2+2ax+a﹣2，
由f′（x）是偶函数，
即有f′（﹣x）=f′（x），
即为3x2﹣2ax+a﹣2=3x2+2ax+a﹣2，
可得a=0，
即有f（x）=x3﹣2x，f′（x）=3x2﹣2，
即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为﹣2，
则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=﹣2x，
故选D．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键．
2. 如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
，则的值是( )
A．B．2 C．0 D．1
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），
B（，0），E（，1），F（x，2）
∴=（，0），=（x，2），
∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）
∴=（，1），=（1﹣，2）
∴=（1﹣）+1×2=
故选：A
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．
3. 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2 B．6 C．4D．2
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
4. 若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．
5. 已知抛物线C:的焦点为F,准线为，过抛物线C上一点A作准线的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3:1，则点A的坐标为
A．（1，2）B．（，）C．（4，
1） D．（2，2）
参考答案：
D
略
6. 如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )
A．B．0 C．1 D．或0
参考答案：
B
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的是什么．
解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；
输入x=0，
x＞1？，否；
x＜1？，是；
y=x=0，
输出y=0，结束．
故选：B．
点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
7. 已知集合，，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
8. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（）
A．2 B．1 C．D．
参考答案：
C
试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服
从二项分布，即,所以，故选C.
考点：二项分布.
9. 如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
答案：D
解析：从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有
，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D
10. 若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于
（）
A. B. 2
C. D. 3
参考答案：
C
【分析】
设点，根据焦半径公式可求得的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；
【详解】设点，为抛物线的焦点，
，，
，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝
－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．
参考答案：
【知识点】积分的意义；几何概型..B13 K3
【答案解析】解析：因为，所以在第一象限有，则在第一象限的
阴影部分的面积为，所以概率为，故答案为.
【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积，然后求概率即可.
12. 已知复数（i为虚数单位），则的模为．
参考答案：
5
13. 设函数，那么．
参考答案：
3
14. 点在函数的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为．
参考答案：
略
15. 已知正项数列为等比数列且的等差中项，若，则该数列的前5项的和为_________
参考答案：
【知识点】等比数列的前n项和．D2
【答案解析】31 解析：设正项数列等比数列{a n}的公比为q，∵5a2是a4与3a3的等差中项，
∴10a2=a4+3a3，∴10a2=，又a2=2，∴20=2q2+6q，又q＞0．
解得q=2．∴a1==1．∴该数列的前5项的和==31．故答案为：31．
【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
16.
如图：过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线与点，若，且，则抛物线的方程是
参考答案：
答案:
17. “已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则.”，类比前面结论，若正项数列为等比数列，
参考答案：
正项数列为等比数列，它的前项乘积为，若，则；
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据题意知该旋转体下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，求出它的表面积即可；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，说明∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，设
∠CAM=θ，通过tan∠MFE=1求出，然后求解CM．
【解答】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
19. 高考数学考试中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）得多少分的概率最大？
参考答案：
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余四道题中，有
两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，由此能求出他做选择题得60分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错．类似的，能够求出得45分为的概率、得分为50的概率、得分为55的概率和得分为60的概率由此能得到最终结果．
【解答】解：（Ⅰ）要得60分，必须12道选择题全答对，
依题意，易知在其余四道题中，有两道题答对的概率各为，有一道题答对的概率为，
还有一道题答对的概率为，所以他做选择题得60分的概率为：
（Ⅱ）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5种．
得分为40，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：
类似的，可知得45分为的概率：
得分为50的概率：；得分为55的概率：；得分为60的概率：
∴该生选择题得分为45分或50分的可能性最大．
【点评】本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意概念乘法公式的合理运用．
20. 已知三棱台ABC-A1B1C1中，平面平面A1B1C1，，若
，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
参考答案：
（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）过点作于点，易得平面，，又，可得平面.
（Ⅱ）建立以为原点，以为轴，以为轴空间坐标系，可得的值，求出平面一个法向量，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】解：（I）
过点作于点．
平面平面
平面，
．
，
平面．
（Ⅱ）由（I）可知：平面∴．
建立以为原点，以为轴，以为轴的空间坐标系，
易得，平面一个法向量为，
可得．
【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明、向量法求直线与平面所成的角，相对不难，属于中档题.
21. （本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人
每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互
之间没有影响，用表示甲队总得分．
（I ）求随机变量的分布列及其数学期望E ；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
参考答案：
（1）的可能取值为0，1，2，3
;;
;
……4分
的分布列为
……6分
(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B
则;……8分
1 2 3
……10分
……12分
22. 已知、、是中、、的对边,,，．（1）求；
（2）求的值．
参考答案：
1）在中，由余弦定理得，…………2分
…………2分
即，，解得…………2分
（2）由得为钝角，所以…………2分
在中，由正弦定理，得
则…………2分
由于为锐角，则……2分
所以………2分略。